Diagrama de caja: ejemplos resueltos y por qué dos programas dibujan los mismos datos de forma distinta

Doce números, una figura y tres respuestas igual de defendibles a la pregunta de dónde termina la caja. Esa es la situación cada vez que alguien dibuja un diagrama de caja sin decir qué convenio ha usado, y explica que dos colegas representen la misma columna de una hoja de cálculo y acaben discrepando sobre si el experimento produjo un valor atípico.

Las cuentas que siguen son lo bastante breves como para comprobarlas a mano. Recorrerlas una vez es la manera más rápida de dejar de adivinar qué muestran las figuras ajenas, y la única de saber qué afirma la propia.

Un ejemplo resuelto, de doce números a la figura

Doce diámetros de colonias, en milímetros, medidos en una misma placa:

12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 29, 40

Ya están ordenados, que es por donde empieza cualquier diagrama de caja. Con n = 12 la mediana cae entre el sexto y el séptimo valor, de modo que es (19 + 21) / 2 = 20. Todos los métodos tratados aquí coinciden en esa cifra; las discrepancias empiezan un paso después.

Con lo predeterminado en ggplot2, matplotlib y NumPy —interpolación lineal entre estadísticos de orden, el llamado tipo 7—, el primer cuartil vale 15,75 y el tercero 24,5. El rango intercuartílico es la distancia entre ambos:

IQR = 24,5 − 15,75 = 8,75

La regla de Tukey coloca una valla a 1,5 rangos intercuartílicos más allá de cada borde de la caja:

valla inferior = 15,75 − 1,5 × 8,75 = 2,625

valla superior = 24,5 + 1,5 × 8,75 = 37,625

Aquí se produce, con diferencia, el error de lectura más común. Los bigotes no llegan hasta las vallas, sino hasta la observación más extrema que todavía queda dentro de ellas, algo que la documentación de R enuncia sin rodeos: los bigotes se extienden hasta el dato más extremo que no dista de la caja más de range veces el rango intercuartílico. En este conjunto el mayor valor por debajo de 37,625 es 29, así que el bigote superior termina en 29. El menor valor por encima de 2,625 es 12, así que el bigote inferior termina en 12. El 40 queda fuera de la valla y se dibuja como punto propio.

Un diagrama de caja tampoco es, por tanto, un resumen de cinco números, aunque ambos se den por equivalentes con frecuencia. El resumen de este conjunto va de 12 a 40; la figura va de 12 a 29 con un punto en 40. Las dos descripciones son correctas y no son intercambiables, porque una de ellas afirma algo sobre qué observaciones son típicas.

Por qué Excel, R y SPSS dan cuartiles distintos con los mismos datos

La mediana de una muestra no admite discusión. Los cuartiles sí: un cuartil de doce observaciones cae entre dos de ellas, y hay más de una forma defendible de interpolar.

Hyndman y Fan examinaron el problema en The American Statistician en 1996 y encontraron algo peor que un desacuerdo entre programas. Su resumen merece cita literal, porque describe algo que casi ningún usuario sospecha:

Often within the same package one definition will be used to compute a quantile explicitly while other definitions may be used when producing a boxplot, a probability plot or a QQ-plot.

R es el caso más claro. Su función quantile() implementa las nueve definiciones de aquel artículo y toma el tipo 7 por defecto. Su función boxplot() no llama a quantile() en ningún momento: llama a boxplot.stats(), que calcula las bisagras de Tukey, y la documentación indica explícitamente que esas bisagras coinciden con los cuartiles cuando n es impar y difieren cuando n es par. El geom_boxplot() de ggplot2 sigue una tercera vía y expone un argumento quantile.type cuyo valor por defecto es 7. R base y ggplot2 dibujan así, en la misma sesión y sobre el mismo vector, dos cajas distintas siempre que n sea par.

Excel añade su propio eje de variación. Su gráfico de cajas y bigotes tiene, en Dar formato a serie de datos, el ajuste Cálculo de cuartiles con dos opciones que Microsoft describe como mediana inclusiva —la mediana entra en el cálculo cuando N es impar— y mediana exclusiva. El método inclusivo corresponde a QUARTILE.INC y por tanto al tipo 7; el exclusivo corresponde a QUARTILE.EXC, que Microsoft documenta como basado en valores de percentil de 0 a 1 excluidos y que la documentación de R identifica como el tipo 6, el de Minitab y SPSS. La página de Microsoft no dice cuál de los dos aplica el gráfico por defecto, de modo que en un equipo ajeno lo único fiable es abrir el ajuste y mirarlo.

Esto es lo que esas tres decisiones hacen con las mismas doce colonias.

Los bordes de la caja se desplazan un cuarto de milímetro en cada dirección, algo que nadie advertiría en una figura impresa. La consecuencia no tiene nada de sutil. Con el tipo 7 y con las bisagras de Tukey, la colonia de 40 mm se dibuja como punto solitario por encima del bigote y la figura dice que una placa se comportó de forma anómala. Con el tipo 6 queda dentro del bigote y la figura dice que no ocurrió nada raro. La misma placa, las mismas doce medidas, lecturas opuestas, y en ambos casos el pie diría «diagrama de caja».

Hyndman y Fan cierran su artículo recomendando el estimador insesgado en mediana, que R implementa como tipo 8 y que la propia documentación de R señala como su recomendación. Ningún programa extendido lo aplica por defecto. Más que un escándalo es un dato con el que hay que diseñar: las definiciones difieren en menos que el error de medida de la mayoría de los experimentos y en bastante más que suficiente para invertir un veredicto de atipicidad. Conviene elegir una, aplicarla a todos los paneles de un artículo y dejarla por escrito.

Tres convenios de bigotes y cómo reconocer cuál se está usando

El desacuerdo sobre los cuartiles no se ve. El de los bigotes sí, si se sabe qué mirar.

La regla de 1,5 × IQR de Tukey viene predeterminada casi en todas partes: range = 1.5 en boxplot() de R, coef = 1.5 en geom_boxplot(), whis = 1.5 tanto en matplotlib.pyplot.boxplot como en seaborn.boxplot. Es lo bastante habitual como para que quien lee la dé por supuesta, y eso es precisamente lo que hace peligrosas a las alternativas.

El manual del NIST/SEMATECH documenta un segundo convenio como forma básica del gráfico: una línea del cuartil inferior al mínimo y otra del cuartil superior al máximo, con la versión de 1,5 × IQR presentada después como variante que identifica los valores atípicos con mayor precisión. Unos bigotes trazados hasta los extremos no pueden, por construcción, mostrar ningún valor atípico, ya que toda observación queda dentro de un bigote. matplotlib lo reproduce con whis=(0, 100).

El tercer convenio sustituye la regla por percentiles fijos. Tanto matplotlib como seaborn admiten un par de números en lugar del multiplicador: whis=(5, 95) traza los bigotes en los percentiles 5 y 95 y dibuja como puntos todo lo que los rebasa. Es habitual en campos con muestras grandes, donde la regla de Tukey señalaría cientos de observaciones.

Dos señales fiables al leer una figura ajena. Si hay puntos sueltos más allá de los bigotes, los bigotes no van de mínimo a máximo. Si en una figura con cientos de observaciones por grupo no aparece ningún punto, o los datos son extraordinariamente dóciles o los bigotes llegan a los extremos. Más allá de eso, el convenio no se recupera a partir de la imagen, que es el argumento a favor de las reglas de pie de figura de dos secciones más adelante.

Conviene reconocer otras dos variantes. El NIST define un segundo par de vallas a 3,0 × IQR y distingue los puntos situados entre la valla interior y la exterior de los que la rebasan, dibujándolos como círculos pequeños y grandes; en este conjunto las vallas exteriores caen en −10,5 y 50,75, de modo que el 40 es un atípico moderado y no extremo. Y un diagrama de caja con muesca marca un intervalo de confianza alrededor de la mediana que se extiende ±1,58 × IQR/√n, un cálculo que la documentación de R remonta a McGill, Tukey y Larsen (1978). Con nuestros doce valores eso da ±1,58 × 8,75 / √12 = ±3,99: la muesca iría de 16,01 a 23,99, es decir, dentro de la caja, que es justo la condición que Krzywinski y Altman ponen para dibujar una. La documentación de boxplot() explica por qué merece la pena: si las muescas de dos cajas no se solapan, hay indicio firme de que ambas medianas difieren.

Leer la asimetría, la dispersión y los valores atípicos en la caja

Un diagrama de caja responde a cuatro preguntas, y conviene formularlas deliberadamente en orden en lugar de quedarse con la impresión de la forma general.

¿Dónde está el centro? En la línea de la mediana, aquí 20. No en la media: la de estos doce valores es 21,33 y el único 40 la arrastra 1,33 por encima de la mediana. Esa distancia es de por sí un diagnóstico, porque en una muestra simétrica ambas coinciden y el tamaño de la diferencia mide cuánto trabajo está haciendo una de las colas.

¿Cuánto mide la mitad central? La caja, de 15,75 a 24,5. La mitad de las placas queda en un margen de 8,75 mm. Es la cifra que se compara entre grupos cuando la pregunta es de regularidad y no de nivel.

¿Es asimétrica la muestra, y por dónde? Dos lecturas separadas. Dentro de la caja, la mediana está 4,25 por encima de Q1 y 4,5 por debajo de Q3, lo bastante centrada como para que la mitad central sea casi simétrica. Fuera de ella, el bigote inferior baja 3,75 mm y el superior sube 4,5 mm, con un punto adicional 15,5 mm más arriba. La asimetría de esta muestra reside por completo en la cola superior. Un diagrama de caja cuya mediana se pega a un borde cuenta algo distinto de otro con bigotes desiguales, y reducir ambos casos a «asimétrico» pierde justo lo que importa.

¿Qué observaciones son inusuales? Solo los puntos dibujados aparte, y solo bajo el convenio vigente. En un diagrama de caja, «atípico» afirma algo sobre la distancia a la caja, no sobre que la medida esté mal. Una colonia de 40 mm en una placa donde las demás miden de 12 a 29 mm merece una segunda mirada a la placa; no prueba un error de pipeteo, y ninguna figura puede hacer esa distinción por usted.

Lo que un diagrama de caja no responde es qué forma tiene la distribución. Dos agrupaciones en 14 y 26 sin nada entre medias producen los mismos cinco números que un reparto uniforme en el mismo recorrido, y por tanto la misma caja. Si la forma es el hallazgo, el diagrama de caja es la figura equivocada, y son un histograma, un diagrama de violín o los propios puntos los que responden a la pregunta.

Qué debe decir el pie de figura sobre un diagrama de caja

La guía de formato de Nature contiene una frase que zanja la cuestión: todas las barras de error y estadísticas deben quedar definidas en el pie de figura. Un diagrama de caja es una estadística —cinco, de hecho, más una regla para clasificar puntos—, así que la exigencia se aplica por entero. La misma guía limita los pies a menos de 300 palabras y da como anchuras estándar de Nature 90 mm para una columna y 180 mm para dos, con 170 mm de altura útil de página.

En la práctica son cuatro datos, y ninguno se recupera de la imagen:

• Los límites de la caja. «Percentiles 25 a 75» es inequívoco; «los cuartiles» no lo es, a la vista de las dos secciones anteriores.
• Qué es la línea central. Casi siempre la mediana, pero algunos campos dibujan la media, y a simple vista no se distinguen.
• Hasta dónde llegan los bigotes. La regla, no una paráfrasis: «1,5 × IQR», «del mínimo al máximo», «percentiles 5 y 95».
• La n por grupo. Una caja hecha con seis observaciones y otra hecha con seiscientas se ven igual y significan cosas muy distintas.

Un pie que cumple su función se lee más o menos así: Caja: percentiles 25 a 75; línea central: mediana; bigotes: valor más extremo dentro de 1,5 × IQR de la caja; puntos: observaciones más allá de los bigotes; n = 12 colonias por placa. Treinta palabras, dentro del presupuesto de cualquier revista.

Sobre la precisión de las fuentes: ninguna revista cuyas instrucciones para autores se pudieron consultar publica una plantilla de pie específica para diagramas de caja. La guía de formato de Nature y las normas de publicación de Nature Portfolio enuncian la exigencia general; las instrucciones de figuras de PLOS ONE tratan los pies y la preparación de archivos sin entrar en convenios de trazado; las normas de PeerJ recomiendan superponer a los gráficos de barras diagramas de dispersión con los datos individuales, o mostrar la distribución de otro modo, por ejemplo con diagramas de caja o de violín, lo que es un consejo sobre la elección de figura y no sobre el pie. Cell Press, el Journal of Cell Biology y la American Physiological Society denegaron el acceso automatizado a sus páginas de autores, de modo que sus normas no están representadas aquí. Que falte una regla específica explica lo mucho que varían los pies de los diagramas de caja en la literatura impresa, y convierte la lista anterior en un estándar de trabajo y no en una cita.

El resto de la figura sigue las mismas especificaciones que cualquier otro panel —resolución, tipografías, grosores de línea y formato de archivo—, y eso lo fija cada revista. Nuestra guía para hacer figuras científicas cubre el oficio en general, y la página de requisitos de figuras de Scientific Reports desglosa por completo las cifras de una revista concreta.

Cuándo un diagrama de caja esconde sus datos

La fama del diagrama de caja como alternativa responsable al gráfico de barras está merecida, y tiene un límite que es fácil cruzar sin darse cuenta.

Weissgerber y sus colegas revisaron 703 artículos de investigación completos publicados entre enero y marzo de 2014 en el cuartil superior de las revistas de fisiología, y contaron qué mostraban realmente las figuras. El 85,6 % de los artículos contenía al menos un gráfico de barras. Solo el 5,3 % contenía un diagrama de caja, el 13,4 % un diagrama de dispersión univariante y el 8,0 % un histograma. El gráfico de barras sigue siendo la opción por defecto, y el diagrama de caja es más raro que las dos alternativas frente a las cuales suele recomendarse.

La misma revisión midió los tamaños muestrales que había detrás de esas figuras, y esa es la cifra que limita al diagrama de caja. El grupo más pequeño mostrado en una figura tenía una mediana de cuatro observaciones independientes, con un rango intercuartílico de tres: en el 75 % de los artículos, el grupo más pequeño de cualquier figura estaba entre dos y seis observaciones. La conclusión de los autores es directa: los estadísticos resumen que muestran los gráficos de barras, los de líneas y los diagramas de caja solo tienen sentido cuando hay datos suficientes que resumir, y los diagramas de dispersión univariantes son la mejor opción para esos estudios, porque los diagramas de caja y los histogramas resultarían difíciles de interpretar.

Krzywinski y Altman fijan un suelo concreto en Nature Methods y desaconsejan el diagrama de caja con muestras muy pequeñas, n < 5. Entre cinco y unas diez observaciones por grupo el diagrama de caja es defendible, pero una franja con los puntos reales al lado es mejor y no cuesta nada. Por encima de ahí la caja empieza a ganarse el sitio, y cuantos más grupos compare una figura, más se lo gana, porque doce cajas caben en un panel donde no cabrían doce histogramas.

La regla que se desprende de todo esto no es «use diagramas de caja». Es: muestre la distribución cuando pueda, resúmala cuando deba y deje que decida la n. Por debajo de unas diez observaciones por grupo, dibuje los puntos. Por encima, dibuje la caja y valore superponer los puntos de todos modos.

Preguntas frecuentes

¿Por qué mi diagrama de caja sale distinto en Excel y en R? Porque los cuartiles no se calculan igual. El gráfico de cajas y bigotes de Excel ofrece un ajuste de Cálculo de cuartiles con los métodos de mediana inclusiva y mediana exclusiva; la función boxplot() de R dibuja las bisagras de Tukey; ggplot2 usa el cuantil muestral de tipo 7. Con los doce valores 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 29, 40 esas tres opciones sitúan Q3 en 25, en 24,5 y en 25,5 respectivamente, con lo que la valla superior pasa de 39,25 a 37,625 y a 40,875, y eso decide si el 40 aparece como valor atípico.

¿Qué diferencia hay entre un resumen de cinco números y un diagrama de caja? El resumen de cinco números lo forman el mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el máximo. Un diagrama de caja de Tukey dibuja los cuartiles y la mediana, pero sus bigotes terminan en la última observación situada dentro de las vallas de 1,5 × IQR, no en el mínimo y el máximo. En el ejemplo resuelto el resumen acaba en 40 mientras que el bigote superior acaba en 29, porque el 40 se dibuja como punto propio.

¿Los bigotes deben llegar al mínimo y al máximo? Solo si se hace constar. El manual del NIST/SEMATECH define la forma básica del diagrama de caja con bigotes trazados hasta el mínimo y el máximo, y matplotlib la reproduce con whis=(0, 100). El convenio es legítimo, pero por construcción no puede mostrar ningún valor atípico, ya que toda observación cae dentro de un bigote. Quien dé por supuesto el ajuste de Tukey leerá mal la figura.

¿Qué significa una muesca en un diagrama de caja? Es un intervalo de confianza alrededor de la mediana, con una extensión de ±1,58 × IQR/√n. La documentación de R atribuye el cálculo a McGill, Tukey y Larsen (1978) y señala que, si las muescas de dos cajas no se solapan, hay indicio firme de que ambas medianas difieren. Krzywinski y Altman recomiendan mostrar muescas solo cuando quedan dentro del rango intercuartílico; si la muesca rebasa las bisagras, R la dibuja invertida y avisa.

¿Cuántos datos hacen falta para un diagrama de caja? Krzywinski y Altman desaconsejan el diagrama de caja con muestras muy pequeñas y fijan el umbral en n < 5. Weissgerber y sus colegas van más lejos para los tamaños habituales de laboratorio: en su revisión de 703 artículos de fisiología, el grupo más pequeño mostrado en una figura tenía una mediana de 4 observaciones, y recomiendan diagramas de dispersión univariantes para esos estudios, porque ahí un diagrama de caja resume datos que son demasiado pocos para resumirse.

¿Qué debe decir el pie de un diagrama de caja? La guía de formato de Nature exige que todas las barras de error y estadísticas queden definidas en el pie de figura. Para un diagrama de caja eso son cuatro datos: los límites de la caja, qué representa la línea central, hasta dónde llegan los bigotes y la n por grupo. Un pie como «caja: percentiles 25 a 75; línea central: mediana; bigotes: 1,5 × IQR; puntos: valores más allá de los bigotes; n = 12 colonias por placa» no deja nada por adivinar.

¿Puede un diagrama de caja mostrar una distribución bimodal? No. El diagrama de caja dibuja cinco números, y dos agrupaciones separadas por un hueco dan los mismos cuartiles que un reparto uniforme en el mismo recorrido. Si la forma de la distribución es el hallazgo, lo mostrarán un histograma, un diagrama de violín o los propios puntos, y un diagrama de caja no.

¿La mediana está siempre en el centro de la caja? No, y dónde queda es la lectura más rápida de la asimetría en la mitad central de los datos. En el ejemplo resuelto la mediana de 20 está 4,25 por encima de Q1 y 4,5 por debajo de Q3, de modo que el 50 % central es casi simétrico, mientras que la cola superior es lo bastante larga como para empujar un valor más allá de la valla. La asimetría dentro de la caja y la asimetría en las colas son dos lecturas distintas.

Por dónde seguir

Los convenios descritos aquí son, para un solo tipo de figura, la parte de un problema mayor: cada elemento de una figura publicada es una afirmación que quien la lee tiene que poder descifrar. Nuestra guía para hacer figuras científicas cubre lo que vale para todas: resolución, cuerpos de letra, grosores de línea y la prueba de reducción que decide si un rótulo de 5 pt sobrevive a la imprenta.

Si los datos que hay detrás de la caja salen de una microplaca, la guía sobre el formato de placa de 96 pocillos rastrea cada cota de la placa hasta las normas ANSI/SLAS, incluidas las cuatro que ninguna norma fija y que varían entre proveedores.

Y cuando los números estén listos, el generador de diagramas de caja calcula cuartiles, bigotes y valores atípicos a partir de su archivo antes de trazar nada, para que la figura y el pie digan lo mismo.