伯德图在线绘制工具
输入传递函数即可：因式分解形式、分子分母系数，或零点、极点与增益都行。幅值、相位、转折频率和稳定裕度由代码精确计算，AI 按这些数值画出可发表的伯德图。
或从示例开始
伯德图风格
每种风格一张真实生成图，各用一个不同的传递函数——点击卡片应用风格，或把它的传递函数填入输入框。
什么是伯德图？
伯德图用共享同一对数频率轴的两张图表示线性系统的频率响应：上图是以分贝表示的幅频特性，下图是以度表示的相频特性。 每个极点和零点都会在其转折频率处让幅频曲线的斜率改变固定的量，因此 G(s) 的结构可以直接从图上读出。
关于本伯德图工具
- G(s) 可写成因式分解形式如 100/((s+1)(s+100))，也可写成 MATLAB 风格的系数列表 num = [1 10], den = [1 3 2]，或给出 K、零点和极点（支持 −1±2j 这样的复数根）。
- 定义了符号就会自动代入：ωn²/(s²+2ζωn s+ωn²)，ζ = 0.2，ωn = 10。
- 根、转折频率、斜率、谐振峰、剪切频率与穿越频率以及两个稳定裕度，都在绘图前由代码算好。
- 频率轴覆盖转折频率上下各两个十倍频程，单位 rad/s；要求 Hz 时改用 Hz。
- 分子和分母最高 8 阶；右半平面的零极点也按计算结果绘制。
幅值的分贝数怎么算
幅值等于 |G(jω)| 的常用对数乘以 20，相位是 G(jω) 的辐角（度）。 放大 10 倍是 +20 dB，0.1 倍是 −20 dB，|G| = 1 是 0 dB。
|G(jω)|dB = 20 · log₁₀ |G(jω)|, ∠G(jω) = Σ∠零点 − Σ∠极点
换句话说
把 s = jω 代入，求复数结果的模并换算成分贝；相位则把各零点因子的辐角相加，再减去各极点因子的辐角。位于 ω = a 的实极点在其转折频率处贡献 −3 dB 和 −45°，并使更高频段的幅值每十倍频程下降 20 dB。
|G| 是幅值比，所以用 20·log₁₀；功率比才用 10·log₁₀。
如何绘制伯德图
输入传递函数
写 G(s) = 10(s+2)/(s(s+10))，或粘贴 MATLAB 的 num、den 列表，或给出 K、零点和极点。一经识别，计算好的两张图就会显示在输入框上方。
选择风格
渐近线画成虚线的教材风格、带网格的 MATLAB bode() 风格、IEEE 论文单栏插图，或深色演示文稿。写上“标出幅值裕度和相位裕度”即可加上裕度标注。
生成并修改
AI 让每条曲线严格经过计算出的点，不估算任何斜率或相位。可在对话中继续修改坐标轴、标题和风格，再导出为 PNG、SVG 或 PPTX。
各典型环节在伯德图上的作用
任何伯德图都是少数几个典型环节的叠加，所以折线近似才成立。
| G(s) 中的环节 | 幅频斜率 | 相位贡献 | 转折频率处 |
|---|---|---|---|
| 比例环节 K | 0 dB/dec，高度 20·log₁₀|K| | 0°（K < 0 时 ±180°） | — |
| 积分环节 1/s | 全频段 −20 dB/dec | 所有频率 −90° | 在 ω = 1 处穿过 0 dB |
| 惯性环节 1/(s/a + 1) | 先 0，a 之后 −20 dB/dec | 0° 到 −90° | ω = a 处 −3 dB、−45° |
| 一阶微分 (s/a + 1) | 先 0，a 之后 +20 dB/dec | 0° 到 +90° | ω = a 处 +3 dB、+45° |
| 振荡环节 (ωn, ζ) | 先 0，ωn 之后 −40 dB/dec | 0° 到 −180° | ωn 处 −90°；ζ < 0.707 出现谐振峰 |
| 右半平面零点 (1 − s/a) | 先 0，a 之后 +20 dB/dec | 0° 到 −90° | 像极点一样滞后——非最小相位 |
折线近似在实极点转折处的误差最多 3 dB，但欠阻尼的振荡环节会远高于折线——ζ = 0.2 时谐振峰约为 +8 dB。
伯德图、奈奎斯特图与尼科尔斯图的区别
三者表示的是同一个频率响应 G(jω)：伯德图把幅值和相位分别画成频率的函数，奈奎斯特图把它画成复平面上的一条曲线，尼科尔斯图则画幅值随相位的变化。
| 比较项 | 伯德图 | 奈奎斯特图 | 尼科尔斯图 |
|---|---|---|---|
| 坐标轴 | 频率（对数）对 dB、对度 | 实部对虚部 | 相位（度）对幅值（dB） |
| 能否直接读频率 | 能，在横轴上 | 只能靠曲线上的标注 | 只能靠曲线上的标注 |
| 幅值裕度与相位裕度 | 在剪切频率、穿越频率处直接读 | 到 −1 点的距离和角度 | 到 (−180°, 0 dB) 点的距离 |
| 开环不稳定时 | 仅靠裕度无法判断 | 用奈奎斯特判据判断 | 不能直接判断 |
| 手工绘制 | 用渐近线很容易 | 较难 | 很少 |
从伯德图读出的稳定裕度以开环稳定为前提。G(s) 含右半平面极点时，工具仍会绘出并标注裕度，但闭环稳定性需要用奈奎斯特判据判断。
伯德图用在哪里
凡是响应随频率变化的系统都会用到伯德图——反馈控制、滤波器、放大器和机械振动。
控制系统设计
标出幅值裕度和相位裕度的开环伯德图，用来整定控制器，判断回路能容忍多少增益或时延。
滤波器设计
低通、高通、带通响应的截止频率与衰减斜率，用于模拟电路和信号处理。
超前与滞后校正
超前网络的相位凸起及其最大值所在频率，是校正设计报告里最常见的图。
课程与考试
渐近线画成虚线的教材风格图，用于实验报告、课件和习题解答。
伯德图常见问题
怎样根据传递函数画伯德图？
在输入框写入传递函数（如 G(s) = 100/((s+1)(s+100))），选择风格后生成。 幅值、相位、转折频率和稳定裕度会在消耗积分之前显示在输入框上方，成图严格按这些数值绘制。
怎样从伯德图求幅值裕度和相位裕度？
相位裕度等于幅值穿过 0 dB 的剪切频率处的相位加 180°；幅值裕度等于相位到达 −180° 的穿越频率处幅值（dB）取负。 工具会算出两者，你要求时还会标在图上；相位始终不到 −180° 时，幅值裕度为无穷大。
什么是转折频率？
转折频率是极点或零点开始改变幅频斜率的频率，等于该根的模。 对实极点而言，曲线在此处比渐近线低 3 dB，相位已转过 45°。
极点和零点会让斜率变化多少？
每个实极点在其转折频率之后带来 −20 dB/dec，每个实零点 +20 dB/dec，一对共轭复根 ±40 dB/dec。 积分环节（s = 0 处的极点）从最低频开始就是 −20 dB/dec。
幅值怎样换算成分贝？
取幅值的常用对数再乘 20：20·log₁₀|G(jω)|。 增益 10 为 20 dB，100 为 40 dB，0.707 约为 −3 dB，1 为 0 dB。
和 MATLAB 的 bode() 一样吗？
计算内容相同——在对数频率网格上求 |G(jω)|（dB）和 ∠G(jω)（度），也接受同样的 num/den 列表。 MATLAB 风格模仿 bode() 的外观；成图由 AI 按计算出的曲线绘制，是一张图，而不是数据导出。
能用阻尼比和自然频率画二阶系统吗？
可以——写 ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²)，ζ = 0.2，ωn = 10，或直接写数字。 阻尼比小于 0.707 时会出现谐振峰，其高度和频率都会精确算出并画出。
伯德图的渐近线是什么？
就是折线近似：在各转折频率处相接的水平或倾斜直线段。 教材风格会把它们画成真实曲线后面的虚线；其他风格只在你要求时绘制。
频率轴可以用 Hz 而不是 rad/s 吗？
可以——在描述里写“用 Hz”，所有频率都会除以 2π。 否则按 s 域传递函数的习惯使用 rad/s。
AI 会改动或编造曲线吗？
不会。根、斜率、曲线上的点、转折频率和裕度都由代码计算并写进提示词。 每次重新生成都会从你的传递函数重新计算，换风格也不会让转折频率移动。
这个伯德图计算工具免费吗？
起步免费——每个新账号赠送 100 积分，注册无需绑卡。 计算预览不收费，只有生成图片时才消耗积分。
参考资料
- bode — Bode frequency response of dynamic system — MathWorks（MATLAB 文档）
- Control Systems Engineering, 8th Edition (Norman S. Nise) — Wiley
- 波德图 — 维基百科
