Boxplot-Beispiele: Wie Sie einen lesen und warum zwei Programme dieselben Daten unterschiedlich zeichnen

Zwölf Zahlen, eine Abbildung und drei vertretbare Antworten auf die Frage, wo die Box endet. Genau diese Lage entsteht jedes Mal, wenn jemand einen Boxplot zeichnet, ohne die verwendete Konvention zu nennen. Sie ist der Grund dafür, dass zwei Kolleginnen dieselbe Tabellenspalte darstellen können und danach uneins darüber sind, ob das Experiment einen Ausreißer hervorgebracht hat.

Die folgende Rechnung ist klein genug, um sie von Hand nachzuvollziehen. Wer sie einmal durchgeht, hört auf, fremde Abbildungen zu erraten, und weiß, was die eigene behauptet.

Ein durchgerechnetes Boxplot-Beispiel: von zwölf Zahlen zur Abbildung

Zwölf Koloniedurchmesser in Millimetern, gemessen auf einer Platte:

12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 29, 40

Sie sind bereits sortiert, womit jeder Boxplot beginnt. Bei n = 12 fällt der Median zwischen den sechsten und den siebten Wert und beträgt daher (19 + 21) / 2 = 20. In dieser Zahl stimmen alle hier behandelten Verfahren überein. Die Unterschiede setzen einen Schritt später ein.

Nach der Voreinstellung von ggplot2, matplotlib und NumPy – lineare Interpolation zwischen Ordnungsstatistiken, genannt Typ 7 – liegt das erste Quartil bei 15,75 und das dritte bei 24,5. Der Interquartilsabstand ist ihr Abstand:

IQR = 24,5 − 15,75 = 8,75

Tukeys Regel legt jenseits jeder Boxkante einen Zaun im Abstand von 1,5 Interquartilsabständen:

unterer Zaun = 15,75 − 1,5 × 8,75 = 2,625

oberer Zaun = 24,5 + 1,5 × 8,75 = 37,625

An dieser Stelle entsteht das mit Abstand häufigste Missverständnis. Die Whisker reichen nicht bis zu den Zäunen, sondern bis zur äußersten Beobachtung, die noch innerhalb liegt. Die R-Dokumentation formuliert es unmissverständlich: Die Whisker erstrecken sich bis zum äußersten Datenpunkt, der nicht weiter als das range-Fache des Interquartilsabstands von der Box entfernt liegt. Der größte Wert unterhalb von 37,625 ist hier 29, also endet der obere Whisker bei 29. Der kleinste Wert oberhalb von 2,625 ist 12, also endet der untere Whisker bei 12. Die 40 liegt jenseits des Zauns und wird als eigener Punkt gezeichnet.

Damit ist ein Boxplot auch keine Fünf-Zahlen-Zusammenfassung, obwohl beide regelmäßig gleichgesetzt werden. Die Zusammenfassung dieses Datensatzes reicht von 12 bis 40, die Abbildung von 12 bis 29 mit einem Punkt bei 40. Beide Beschreibungen stimmen, austauschbar sind sie nicht, weil eine davon eine Aussage darüber trifft, welche Beobachtungen typisch sind.

Warum Excel, R und SPSS bei denselben Daten verschiedene Quartile liefern

Der Median einer Stichprobe ist eindeutig. Quartile sind es nicht, denn ein Quartil von zwölf Beobachtungen fällt zwischen zwei von ihnen, und es gibt mehr als eine vertretbare Art zu interpolieren.

Hyndman und Fan haben das Problem 1996 in The American Statistician untersucht und eine Lage vorgefunden, die über die Uneinigkeit zwischen Programmen hinausgeht. Ihre Zusammenfassung verdient ein wörtliches Zitat, weil sie etwas beschreibt, womit die wenigsten rechnen:

Often within the same package one definition will be used to compute a quantile explicitly while other definitions may be used when producing a boxplot, a probability plot or a QQ-plot.

R ist der deutlichste Fall. Die Funktion quantile() kennt alle neun Definitionen aus jener Arbeit und verwendet standardmäßig Typ 7. Die Funktion boxplot() ruft quantile() überhaupt nicht auf, sondern boxplot.stats(), das Tukeys Hinges berechnet, und die Dokumentation hält ausdrücklich fest, dass diese Hinges bei ungeradem n mit den Quartilen übereinstimmen und bei geradem n davon abweichen. Der geom_boxplot() von ggplot2 geht einen dritten Weg und stellt ein Argument quantile.type bereit, das auf 7 voreingestellt ist. Basis-R und ggplot2 zeichnen in derselben Sitzung und aus demselben Vektor folglich zwei verschiedene Boxen, sobald n gerade ist.

Excel bringt eine eigene Variationsachse mit. Sein Diagramm „Kastengrafik“ hat unter Datenreihen formatieren die Einstellung Quartilberechnung mit zwei Optionen, die Microsoft als inklusiven Median – der Median wird bei ungeradem N in die Berechnung einbezogen – und als exklusiven Median beschreibt. Die inklusive Methode entspricht QUARTILE.INC und damit Typ 7, die exklusive entspricht QUARTILE.EXC, das Microsoft als auf Perzentilwerten von 0 bis 1 ohne die Grenzen beruhend dokumentiert und das die R-Dokumentation als Typ 6 einordnet, verwendet von Minitab und SPSS. Welche der beiden das Diagramm voreingestellt anwendet, sagt Microsofts Seite nicht, weshalb auf einem fremden Rechner nur der Blick in die Einstellung Gewissheit bringt.

Was diese drei Entscheidungen mit denselben zwölf Kolonien anstellen:

Die Boxkanten verschieben sich um jeweils einen Viertelmillimeter, was auf einer gedruckten Abbildung niemandem auffiele. Die Folge ist alles andere als subtil. Unter Typ 7 und unter Tukeys Hinges wird die 40-mm-Kolonie als einzelner Punkt über dem Whisker gezeichnet, und die Abbildung sagt, dass sich eine Platte auffällig verhalten hat. Unter Typ 6 liegt sie innerhalb des Whiskers, und die Abbildung sagt, dass nichts Ungewöhnliches geschehen ist. Dieselbe Platte, dieselben zwölf Messwerte, entgegengesetzte Lesarten – und in beiden Fällen stünde in der Legende „Boxplot“.

Hyndman und Fan schließen ihre Arbeit mit der Empfehlung des medianunverzerrten Schätzers, den R als Typ 8 führt und den die R-Dokumentation ausdrücklich als ihre Empfehlung nennt. Kein verbreitetes Programm verwendet ihn voreingestellt. Das ist weniger ein Skandal als eine Tatsache, um die herum zu planen ist: Die Definitionen unterscheiden sich um weniger als der Messfehler der meisten Experimente und um mehr als genug, um ein Ausreißerurteil zu kippen. Wählen Sie eine, wenden Sie sie auf jede Teilabbildung einer Arbeit an und schreiben Sie sie auf.

Drei Whisker-Konventionen und woran Sie erkennen, welche vorliegt

Die Uneinigkeit über Quartile sieht man einer Abbildung nicht an. Die über Whisker schon, sofern man weiß, worauf zu achten ist.

Tukeys Regel mit 1,5 × IQR ist nahezu überall voreingestellt: range = 1.5 in boxplot() von R, coef = 1.5 in geom_boxplot(), whis = 1.5 sowohl in matplotlib.pyplot.boxplot als auch in seaborn.boxplot. Sie ist so verbreitet, dass Lesende sie unterstellen – und genau das macht die Alternativen gefährlich.

Das NIST/SEMATECH-Handbuch dokumentiert eine zweite Konvention als Grundform: eine Linie vom unteren Quartil zum Minimum und eine weitere vom oberen Quartil zum Maximum, wobei die Variante mit 1,5 × IQR erst danach als Fassung folgt, die Ausreißer genauer kennzeichnet. Whisker bis zu den Extremwerten können konstruktionsbedingt keinen Ausreißer zeigen, weil jede Beobachtung innerhalb eines Whiskers liegt. matplotlib bildet das mit whis=(0, 100) nach.

Die dritte Konvention ersetzt die Regel durch feste Perzentile. Sowohl matplotlib als auch seaborn nehmen anstelle des Faktors ein Zahlenpaar entgegen: whis=(5, 95) zeichnet die Whisker am 5. und am 95. Perzentil und setzt alles darüber hinaus als Punkte. In Feldern mit großen Stichproben ist das üblich, weil Tukeys Regel dort Hunderte von Beobachtungen markieren würde.

Zwei verlässliche Anhaltspunkte beim Lesen fremder Abbildungen: Werden einzelne Punkte jenseits der Whisker gezeichnet, reichen die Whisker nicht bis zu den Extremwerten. Fehlen in einer Abbildung mit Hunderten von Beobachtungen je Gruppe die Punkte vollständig, sind die Daten entweder bemerkenswert brav oder die Whisker reichen bis zu den Extremwerten. Darüber hinaus lässt sich die Konvention aus dem Bild nicht rekonstruieren, was das Argument für die Legendenregeln zwei Abschnitte weiter unten liefert.

Zwei weitere Varianten sollte man wiedererkennen. NIST definiert ein zweites Zaunpaar bei 3,0 × IQR und unterscheidet Punkte zwischen innerem und äußerem Zaun von jenen darüber hinaus, indem es sie als kleine und große Kreise zeichnet; bei diesem Datensatz liegen die äußeren Zäune bei −10,5 und 50,75, die 40 ist also ein milder und kein extremer Ausreißer. Und ein eingekerbter Boxplot markiert ein Konfidenzintervall um den Median, das ±1,58 × IQR/√n reicht – eine Rechnung, die die R-Dokumentation auf McGill, Tukey und Larsen (1978) zurückführt. Bei unseren zwölf Werten sind das ±1,58 × 8,75 / √12 = ±3,99, die Kerbe liefe also von 16,01 bis 23,99 und damit innerhalb der Box, was genau die Bedingung ist, die Krzywinski und Altman für das Zeichnen einer Kerbe stellen. Warum sich der Aufwand lohnt, sagt die Dokumentation zu boxplot(): Überlappen die Kerben zweier Boxen nicht, ist das ein starker Beleg dafür, dass sich die beiden Mediane unterscheiden.

Schiefe, Streuung und Ausreißer aus der Box ablesen

Ein Boxplot beantwortet vier Fragen, und es lohnt sich, sie bewusst der Reihe nach zu stellen, statt sich einen Eindruck von der Gesamtform zu bilden.

Wo liegt die Mitte? Bei der Medianlinie, hier 20. Nicht beim Mittelwert – der liegt für diese zwölf Werte bei 21,33 und wird von der einzelnen 40 um 1,33 über den Median gezogen. Dieser Abstand ist selbst diagnostisch: Bei einer symmetrischen Stichprobe fallen beide zusammen, und die Größe der Differenz misst, wie viel ein Ende der Verteilung leistet.

Wie breit ist die mittlere Hälfte? Die Box, 15,75 bis 24,5. Die Hälfte der Platten liegt in einer Spanne von 8,75 mm. Das ist die Zahl, die man zwischen Gruppen vergleicht, wenn es um Gleichmäßigkeit statt um Niveau geht.

Ist die Stichprobe schief, und wo? Zwei getrennte Beobachtungen. Innerhalb der Box liegt der Median 4,25 über Q1 und 4,5 unter Q3, also nahe genug an der Mitte, dass die zentrale Hälfte annähernd symmetrisch ist. Außerhalb reicht der untere Whisker 3,75 mm nach unten und der obere 4,5 mm nach oben, dazu kommt ein Punkt weitere 15,5 mm darüber. Die Schiefe dieser Stichprobe sitzt vollständig im oberen Ende. Ein Boxplot, dessen Median an einer Boxkante klebt, erzählt etwas anderes als einer mit ungleich langen Whiskern, und wer beides zu „schief“ zusammenzieht, verliert den Teil, auf den es ankommt.

Welche Beobachtungen sind ungewöhnlich? Nur die einzeln gezeichneten Punkte, und nur unter der jeweils geltenden Konvention. „Ausreißer“ ist im Boxplot eine Aussage über den Abstand zur Box und keine darüber, dass der Messwert falsch wäre. Eine 40-mm-Kolonie auf einer Platte mit sonst 12 bis 29 mm rechtfertigt einen zweiten Blick auf die Platte; ein Beleg für einen Pipettierfehler ist sie nicht, und diese Unterscheidung kann eine Abbildung nicht für Sie treffen.

Was ein Boxplot nicht beantwortet, ist die Form der Verteilung. Zwei Häufungen bei 14 und 26 ohne irgendetwas dazwischen ergeben dieselben fünf Zahlen wie eine gleichmäßige Streuung über denselben Bereich und damit dieselbe Box. Wenn die Form das Ergebnis ist, ist der Boxplot die falsche Abbildung, und ein Histogramm, ein Violinplot oder die Punkte selbst beantworten die Frage.

Was eine Abbildungslegende über einen Boxplot sagen muss

Der Formatierungsleitfaden von Nature enthält einen Satz, der die Frage klärt: Alle Fehlerbalken und Statistiken müssen in der Abbildungslegende definiert werden. Ein Boxplot ist eine Statistik – genauer fünf davon, dazu eine Regel zur Einordnung von Punkten –, die Vorgabe gilt also uneingeschränkt. Derselbe Leitfaden begrenzt Legenden auf weniger als 300 Wörter und nennt als Standardbreiten von Nature 90 mm für eine Spalte und 180 mm für zwei, bei 170 mm Satzspiegelhöhe.

In der Praxis sind das vier Angaben, von denen sich keine aus dem Bild zurückgewinnen lässt:

• Die Grenzen der Box. „25. bis 75. Perzentil“ ist eindeutig, „die Quartile“ nach den vorangegangenen beiden Abschnitten nicht.
• Die Bedeutung der mittleren Linie. Fast immer der Median, in manchen Fächern aber der Mittelwert, und unterscheiden lassen sie sich im Bild nicht.
• Die Reichweite der Whisker. Die Regel, nicht eine Umschreibung: „1,5 × IQR“, „Minimum bis Maximum“, „5. und 95. Perzentil“.
• n je Gruppe. Eine Box aus sechs Beobachtungen und eine aus sechshundert sehen gleich aus und bedeuten sehr Verschiedenes.

Eine brauchbare Legende liest sich etwa so: Box: 25. bis 75. Perzentil; mittlere Linie: Median; Whisker: äußerster Wert innerhalb von 1,5 × IQR der Box; Punkte: Beobachtungen jenseits der Whisker; n = 12 Kolonien je Platte. Dreißig Wörter, innerhalb jedes Zeitschriftenbudgets.

Zur Genauigkeit der Quellenlage: Keine Zeitschrift, deren Autorenrichtlinien erreichbar waren, veröffentlicht eine eigene Legendenvorlage für Boxplots. Der Formatierungsleitfaden von Nature und die Berichtsstandards von Nature Portfolio formulieren die allgemeine Anforderung; die Abbildungsrichtlinien von PLOS ONE behandeln Bildunterschriften und Dateivorbereitung, ohne auf Diagrammkonventionen einzugehen; die Richtlinien von PeerJ empfehlen, Balkendiagramme mit Streudiagrammen einzelner Datenpunkte zu überlagern oder die Verteilung anders zu zeigen, etwa durch Boxplots oder Violinplots – Rat zur Wahl der Abbildung also, nicht zur Legende. Cell Press, das Journal of Cell Biology und die American Physiological Society verweigerten den automatisierten Zugriff auf ihre Autorenseiten, ihre Vorgaben sind hier deshalb nicht vertreten. Dass eine spezifische Regel fehlt, erklärt, warum Boxplot-Legenden im Druck so stark variieren, und macht die obige Vierpunktliste zu einem Arbeitsstandard statt zu einem Zitat.

Der Rest der Abbildung folgt denselben Vorgaben wie jede andere Teilabbildung – Auflösung, Schriftgrad, Strichstärke und Dateiformat –, und die legt jede Zeitschrift für sich fest. Unser Leitfaden zum Erstellen wissenschaftlicher Abbildungen behandelt das Handwerk allgemein, und die Seite zu den Abbildungsanforderungen von Scientific Reports rechnet die Zahlen einer einzelnen Zeitschrift vollständig durch.

Wann ein Boxplot Ihre Daten verbirgt

Der Ruf des Boxplots als verantwortungsvolle Alternative zum Balkendiagramm ist verdient, und er hat eine Grenze, die sich leicht unbemerkt überschreiten lässt.

Weissgerber und Kolleginnen haben 703 vollständige Forschungsarbeiten ausgewertet, die zwischen Januar und März 2014 im obersten Viertel der physiologischen Zeitschriften erschienen sind, und ausgezählt, was die Abbildungen tatsächlich zeigten. 85,6 % der Arbeiten enthielten mindestens ein Balkendiagramm. Nur 5,3 % enthielten einen Boxplot, 13,4 % ein univariates Streudiagramm und 8,0 % ein Histogramm. Das Balkendiagramm ist weiterhin die Voreinstellung, und der Boxplot ist seltener als beide Alternativen, für die er üblicherweise empfohlen wird.

Dieselbe Auswertung hat die Stichprobengrößen hinter jenen Abbildungen erfasst, und das ist die Zahl, die den Boxplot begrenzt. Die kleinste in einer Abbildung gezeigte Gruppe umfasste im Median vier unabhängige Beobachtungen bei einem Interquartilsabstand von drei – in 75 % der Arbeiten lag die kleinste Gruppe einer Abbildung zwischen zwei und sechs Beobachtungen. Der Schluss der Autorinnen und Autoren ist unmissverständlich: Die in Balken-, Linien- und Boxplots gezeigten zusammenfassenden Kennwerte sind nur dann aussagekräftig, wenn genügend Daten zum Zusammenfassen vorliegen, und für solche Studien sind univariate Streudiagramme die bessere Wahl, weil Boxplots und Histogramme schwer zu interpretieren wären.

Krzywinski und Altman setzen in Nature Methods eine konkrete Untergrenze und raten davon ab, bei sehr kleinen Stichproben mit n < 5 einen Boxplot zu verwenden. Zwischen fünf und etwa zehn Beobachtungen je Gruppe ist ein Boxplot vertretbar, ein danebengesetzter Streifen der tatsächlichen Punkte aber besser und kostenlos. Darüber beginnt die Box sich zu lohnen – und je mehr Gruppen eine Abbildung vergleicht, desto mehr, denn zwölf Boxen passen in eine Teilabbildung, in die zwölf Histogramme nicht passen.

Die Regel, die daraus folgt, lautet nicht „Boxplots verwenden“. Sie lautet: Zeigen Sie die Verteilung, wo es geht, fassen Sie sie zusammen, wo es sein muss, und lassen Sie n entscheiden. Unter etwa zehn Werten je Gruppe zeichnen Sie die Punkte. Darüber zeichnen Sie die Box und überlegen, die Punkte trotzdem darüberzulegen.

Häufige Fragen

Warum sieht mein Boxplot in Excel anders aus als in R? Weil die Quartile unterschiedlich berechnet werden. Das Excel-Diagramm „Kastengrafik“ bietet unter Quartilberechnung die Methoden inklusiver und exklusiver Median an, das R-Basispaket zeichnet in boxplot() Tukeys Hinges, und ggplot2 verwendet das Stichprobenquantil vom Typ 7. Bei den zwölf Werten 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 29, 40 liegt Q3 damit bei 25, bei 24,5 beziehungsweise bei 25,5, wodurch der obere Zaun von 39,25 über 37,625 auf 40,875 wandert – und darüber entscheidet, ob die 40 als Ausreißer erscheint.

Worin unterscheiden sich Fünf-Zahlen-Zusammenfassung und Boxplot? Die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung besteht aus Minimum, erstem Quartil, Median, drittem Quartil und Maximum. Ein Tukey-Boxplot zeichnet zwar Quartile und Median, seine Whisker enden aber bei der letzten Beobachtung innerhalb der Zäune bei 1,5 × IQR und nicht bei Minimum und Maximum. Im durchgerechneten Beispiel endet die Zusammenfassung bei 40, der obere Whisker dagegen bei 29, weil die 40 als eigener Punkt gezeichnet wird.

Sollen die Whisker bis zum Minimum und Maximum reichen? Nur wenn Sie es dazuschreiben. Das NIST/SEMATECH-Handbuch definiert die Grundform des Boxplots mit Whiskern bis zum Minimum und Maximum, und matplotlib bildet sie mit whis=(0, 100) nach. Die Konvention ist legitim, kann aber konstruktionsbedingt keine Ausreißer zeigen, da jeder Wert innerhalb eines Whiskers liegt. Wer die Tukey-Voreinstellung unterstellt, liest die Abbildung deshalb falsch.

Was bedeutet die Kerbe in einem Boxplot? Sie ist ein Konfidenzintervall um den Median und reicht ±1,58 × IQR/√n. Die R-Dokumentation führt die Rechnung auf McGill, Tukey und Larsen (1978) zurück und hält fest, dass sich nicht überlappende Kerben zweier Boxen ein starker Beleg für verschiedene Mediane sind. Krzywinski und Altman empfehlen, Kerben nur dann zu zeichnen, wenn sie innerhalb des Interquartilsabstands bleiben; reicht die Kerbe über die Hinges hinaus, zeichnet R sie nach innen gestülpt und warnt.

Wie viele Messwerte braucht ein Boxplot? Krzywinski und Altman raten bei sehr kleinen Stichproben von Boxplots ab und setzen die Grenze bei n < 5. Weissgerber und Kolleginnen gehen für laborübliche Stichprobengrößen weiter: In ihrer Auswertung von 703 physiologischen Arbeiten umfasste die kleinste in einer Abbildung gezeigte Gruppe im Median 4 Beobachtungen, weshalb sie für solche Studien univariate Streudiagramme empfehlen – ein Boxplot fasst dort Daten zusammen, von denen es zu wenige für eine Zusammenfassung gibt.

Was muss in der Legende eines Boxplots stehen? Der Formatierungsleitfaden von Nature verlangt, dass alle Fehlerbalken und Statistiken in der Abbildungslegende definiert werden. Für einen Boxplot sind das vier Angaben: die Grenzen der Box, die Bedeutung der mittleren Linie, die Reichweite der Whisker und n je Gruppe. Eine Legende wie „Box: 25. bis 75. Perzentil; mittlere Linie: Median; Whisker: 1,5 × IQR; Punkte: Werte jenseits der Whisker; n = 12 Kolonien je Platte“ lässt nichts zu raten übrig.

Kann ein Boxplot eine zweigipflige Verteilung zeigen? Nein. Der Boxplot zeichnet fünf Zahlen, und zwei durch eine Lücke getrennte Häufungen ergeben dieselben Quartile wie eine gleichmäßige Streuung über denselben Bereich. Wenn die Form der Verteilung das Ergebnis ist, zeigen ein Histogramm, ein Violinplot oder die Rohdatenpunkte sie – ein Boxplot nicht.

Liegt der Median immer in der Mitte der Box? Nein, und wo er liegt, ist der schnellste Hinweis auf Schiefe in der mittleren Hälfte der Daten. Im durchgerechneten Beispiel liegt der Median bei 20 und damit 4,25 über Q1 und 4,5 unter Q3, die zentralen 50 % sind also nahezu symmetrisch – während der Bereich oberhalb der Box lang genug ist, um einen Wert über den Zaun zu tragen. Schiefe in der Box und Schiefe in den Enden sind zwei getrennte Beobachtungen.

Wie es weitergeht

Die Konventionen hier sind der auf einen Abbildungstyp entfallende Anteil eines größeren Problems: Jedes Element einer veröffentlichten Abbildung ist eine Behauptung, die Lesende entschlüsseln können müssen. Unser Leitfaden zum Erstellen wissenschaftlicher Abbildungen behandelt, was für alle gilt – Auflösung, Schriftgrade, Strichstärken und der Verkleinerungstest, der darüber entscheidet, ob eine 5-pt-Beschriftung den Druck übersteht.

Stammen die Daten hinter der Box von einer Mikrotiterplatte, führt der Beitrag zum 96-Well-Plattenformat jede Abmessung der Platte auf die ANSI/SLAS-Normen zurück, einschließlich der vier, die keine Norm festlegt und die sich zwischen Herstellern unterscheiden.

Und wenn die Zahlen bereitliegen, berechnet der Boxplot-Generator Quartile, Whisker und Ausreißer aus Ihrer Datei, bevor irgendetwas gezeichnet wird – damit Abbildung und Legende dasselbe aussagen.