Boîte à moustaches : exemples commentés, et pourquoi deux logiciels dessinent différemment les mêmes données

Douze nombres, une figure, et trois réponses également défendables à la question de savoir où s’arrête la boîte. Cette situation se reproduit chaque fois qu’une boîte à moustaches est tracée sans que la convention employée soit précisée, et elle explique que deux collègues puissent représenter la même colonne d’un tableur avant de diverger sur l’existence d’une valeur aberrante.

Les calculs qui suivent sont assez courts pour être vérifiés à la main. Les parcourir une fois est le moyen le plus rapide de cesser de deviner ce que montrent les figures des autres, et le seul de savoir ce qu’affirme la vôtre.

Un exemple chiffré, de douze nombres à la figure

Douze diamètres de colonies, en millimètres, mesurés sur une même boîte de gélose :

12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 29, 40

Ils sont déjà triés, ce par quoi commence toute boîte à moustaches. Avec n = 12, la médiane tombe entre la sixième et la septième valeur et vaut donc (19 + 21) / 2 = 20. Toutes les méthodes examinées ici s’accordent sur ce nombre ; les divergences apparaissent une étape plus loin.

Avec le réglage par défaut de ggplot2, matplotlib et NumPy — l’interpolation linéaire entre statistiques d’ordre, dite de type 7 —, le premier quartile vaut 15,75 et le troisième 24,5. L’écart interquartile est la distance qui les sépare :

IQR = 24,5 − 15,75 = 8,75

La règle de Tukey place une barrière à 1,5 écart interquartile au-delà de chaque bord de la boîte :

barrière inférieure = 15,75 − 1,5 × 8,75 = 2,625

barrière supérieure = 24,5 + 1,5 × 8,75 = 37,625

C’est ici que se produit l’erreur de lecture la plus répandue. Les moustaches ne vont pas jusqu’aux barrières, mais jusqu’à l’observation la plus extrême qui s’y trouve encore comprise, ce que la documentation de R énonce sans détour : les moustaches s’étendent jusqu’au point le plus extrême situé à une distance de la boîte n’excédant pas range fois l’écart interquartile. Dans ce jeu de données, la plus grande valeur inférieure à 37,625 est 29, si bien que la moustache supérieure s’arrête à 29. La plus petite valeur supérieure à 2,625 est 12, donc la moustache inférieure s’arrête à 12. Le 40, situé au-delà de la barrière, est tracé comme un point isolé.

Une boîte à moustaches n’est donc pas un résumé en cinq nombres, bien que les deux soient couramment confondus. Le résumé de ce jeu de données va de 12 à 40 ; la figure va de 12 à 29 avec un point à 40. Les deux descriptions sont exactes et ne sont pas interchangeables, car l’une d’elles avance une affirmation sur les observations qui sont typiques.

Pourquoi Excel, R et SPSS donnent des quartiles différents sur les mêmes données

La médiane d’un échantillon ne prête pas à discussion. Les quartiles, si : un quartile de douze observations tombe entre deux d’entre elles, et il existe plusieurs manières défendables d’interpoler.

Hyndman et Fan ont examiné la question dans The American Statistician en 1996 et ont trouvé une situation pire qu’un simple désaccord entre logiciels. Leur résumé mérite d’être cité tel quel, car il décrit un phénomène que la plupart des utilisateurs ne soupçonnent pas :

Often within the same package one definition will be used to compute a quantile explicitly while other definitions may be used when producing a boxplot, a probability plot or a QQ-plot.

R en est l’illustration la plus nette. Sa fonction quantile() implémente les neuf définitions de cet article et retient le type 7 par défaut. Sa fonction boxplot() n’appelle pas quantile() du tout : elle appelle boxplot.stats(), qui calcule les charnières de Tukey, et la documentation précise explicitement que ces charnières coïncident avec les quartiles pour n impair et en diffèrent pour n pair. Le geom_boxplot() de ggplot2 emprunte une troisième voie en exposant un argument quantile.type dont la valeur par défaut est 7. R de base et ggplot2 dessinent donc, dans la même session et sur le même vecteur, deux boîtes différentes dès que n est pair.

Excel ajoute son propre axe de variation. Son graphique « Zone et valeur » comporte, sous Mettre en forme une série de données, un réglage Calcul des quartiles offrant deux options que Microsoft décrit comme la médiane incluse — la médiane entre dans le calcul lorsque N est impair — et la médiane exclue. La méthode inclusive correspond à QUARTILE.INC et donc au type 7 ; la méthode exclusive correspond à QUARTILE.EXC, que Microsoft documente comme reposant sur des valeurs de percentile de 0 à 1 exclus, et que la documentation de R identifie comme le type 6, celui de Minitab et de SPSS. La page de Microsoft n’indique pas laquelle des deux le graphique applique par défaut : sur une machine inconnue, la seule manœuvre fiable consiste à ouvrir le réglage et à regarder.

Voici ce que ces trois choix font des mêmes douze colonies.

Les bords de la boîte se déplacent d’un quart de millimètre de part et d’autre, ce que personne ne remarquerait sur une figure imprimée. La conséquence, elle, n’a rien de subtil. Sous le type 7 comme sous les charnières de Tukey, la colonie de 40 mm est tracée en point isolé au-dessus de la moustache et la figure affirme qu’une boîte s’est comportée anormalement. Sous le type 6, elle se situe à l’intérieur de la moustache et la figure affirme que rien d’inhabituel ne s’est produit. Même boîte, mêmes douze mesures, lectures opposées — et dans les deux cas la légende dirait « boîte à moustaches ».

Hyndman et Fan concluent leur article en recommandant l’estimateur non biaisé en médiane, que R implémente sous le type 8 et que sa propre documentation signale comme leur recommandation. Aucun logiciel courant ne l’applique par défaut. Il y a là moins un scandale qu’un fait avec lequel composer : les définitions diffèrent de moins que l’erreur de mesure de la plupart des expériences, et de bien assez pour renverser un verdict d’aberrance. Choisissez-en une, appliquez-la à chaque panneau d’un article, et notez-la.

Trois conventions de moustaches, et comment reconnaître celle qui s’applique

Le désaccord sur les quartiles ne se voit pas. Celui sur les moustaches se voit, à condition de savoir où regarder.

La règle de 1,5 × IQR de Tukey est le réglage par défaut presque partout : range = 1.5 dans boxplot() de R, coef = 1.5 dans geom_boxplot(), whis = 1.5 dans matplotlib.pyplot.boxplot comme dans seaborn.boxplot. Elle est assez répandue pour que les lecteurs la présument, et c’est précisément ce qui rend les autres conventions dangereuses.

Le manuel du NIST/SEMATECH documente une deuxième convention comme forme de base du graphique : un trait du quartile inférieur jusqu’au minimum et un autre du quartile supérieur jusqu’au maximum, la version à 1,5 × IQR n’étant présentée qu’ensuite, comme une variante qui identifie plus précisément les valeurs aberrantes. Des moustaches tracées jusqu’aux extrêmes ne peuvent, par construction, montrer aucune valeur aberrante, puisque chaque observation se trouve à l’intérieur d’une moustache. matplotlib reproduit ce comportement avec whis=(0, 100).

La troisième convention remplace la règle par des percentiles fixes. matplotlib et seaborn acceptent tous deux un couple de nombres à la place du multiplicateur : whis=(5, 95) trace les moustaches aux 5e et 95e percentiles et représente en points tout ce qui les dépasse. C’est courant dans les disciplines à grands échantillons, où la règle de Tukey signalerait des centaines d’observations.

Deux indices fiables pour lire la figure d’autrui. Si des points isolés apparaissent au-delà des moustaches, celles-ci ne vont pas du minimum au maximum. Si aucun point n’apparaît nulle part dans une figure comptant des centaines d’observations par groupe, ou bien les données sont remarquablement sages, ou bien les moustaches atteignent les extrêmes. Au-delà, la convention reste irrécupérable à partir de l’image, ce qui fonde les règles de légende exposées deux sections plus loin.

Deux autres variantes méritent d’être reconnues. Le NIST définit un second couple de barrières à 3,0 × IQR et distingue les points situés entre les barrières intérieures et extérieures de ceux qui les dépassent, en les traçant en petits et en grands cercles ; sur ce jeu de données, les barrières extérieures tombent à −10,5 et 50,75, le 40 est donc une valeur aberrante modérée et non extrême. Quant à la boîte à encoches, elle matérialise un intervalle de confiance autour de la médiane s’étendant sur ±1,58 × IQR/√n, un calcul que la documentation de R fait remonter à McGill, Tukey et Larsen (1978). Sur nos douze valeurs, cela donne ±1,58 × 8,75 / √12 = ±3,99 : l’encoche irait de 16,01 à 23,99, donc à l’intérieur de la boîte, ce qui est exactement la condition posée par Krzywinski et Altman pour en afficher une. La documentation de boxplot() explique pourquoi l’effort vaut la peine : si les encoches de deux boîtes ne se recouvrent pas, c’est un indice fort que les deux médianes diffèrent.

Lire l’asymétrie, la dispersion et les valeurs aberrantes dans la boîte

Une boîte à moustaches répond à quatre questions, et il vaut mieux les poser délibérément dans l’ordre plutôt que de se forger une impression d’ensemble.

Où est le centre ? Au trait de la médiane, ici 20. Pas à la moyenne : celle de ces douze valeurs vaut 21,33 et se trouve tirée 1,33 au-dessus de la médiane par le seul 40. Cet écart est en soi un diagnostic, puisque les deux coïncident sur un échantillon symétrique et que l’ampleur de la différence mesure le travail accompli par l’une des queues.

Quelle est la largeur de la moitié centrale ? La boîte, de 15,75 à 24,5. La moitié des boîtes de gélose tient dans une plage de 8,75 mm. C’est le nombre à comparer entre groupes lorsque la question porte sur la régularité plutôt que sur le niveau.

L’échantillon est-il asymétrique, et où ? Deux lectures distinctes. Dans la boîte, la médiane se situe 4,25 au-dessus de Q1 et 4,5 en dessous de Q3, assez près du centre pour que la moitié centrale soit à peu près symétrique. En dehors, la moustache inférieure descend de 3,75 mm et la supérieure monte de 4,5 mm, avec un point supplémentaire 15,5 mm plus haut. L’asymétrie de cet échantillon réside entièrement dans la queue supérieure. Une boîte à moustaches dont la médiane colle à un bord raconte autre chose qu’une boîte aux moustaches déséquilibrées, et ramener les deux à « asymétrique » fait perdre ce qui importe.

Quelles observations sont inhabituelles ? Seulement les points tracés à part, et seulement sous la convention en vigueur. Dans une boîte à moustaches, « valeur aberrante » qualifie une distance à la boîte, pas une mesure erronée. Une colonie de 40 mm sur une gélose où les autres font de 12 à 29 mm justifie un second examen de la boîte ; elle ne prouve pas une erreur de pipetage, et aucune figure ne peut faire cette distinction à votre place.

Ce à quoi la boîte à moustaches ne répond pas, c’est la forme de la distribution. Deux amas à 14 et 26 sans rien entre eux produisent les mêmes cinq nombres qu’une répartition régulière sur la même étendue, donc la même boîte. Si la forme constitue le résultat, la boîte à moustaches est la mauvaise figure, et c’est un histogramme, un diagramme en violon ou les points eux-mêmes qui répondent à la question.

Ce qu’une légende doit dire d’une boîte à moustaches

Le guide de mise en forme de Nature contient une phrase qui tranche la question : toutes les barres d’erreur et statistiques doivent être définies dans la légende de la figure. Une boîte à moustaches est une statistique — cinq, en réalité, plus une règle de classement des points —, l’exigence s’applique donc pleinement. Le même guide limite les légendes à moins de 300 mots et donne comme largeurs standard de Nature 90 mm pour une colonne et 180 mm pour deux, la hauteur de page utile étant de 170 mm.

Concrètement, cela fait quatre éléments, dont aucun ne se récupère à partir de l’image :

• Les bornes de la boîte. « 25e–75e percentile » est sans ambiguïté ; « les quartiles » ne l’est pas, au vu des deux sections précédentes.
• La nature du trait central. La médiane presque toujours, mais certaines disciplines tracent la moyenne, et rien ne les distingue à l’œil.
• La portée des moustaches. La règle, pas une paraphrase : « 1,5 × IQR », « du minimum au maximum », « 5e et 95e percentiles ».
• n par groupe. Une boîte issue de six observations et une boîte issue de six cents se ressemblent et signifient des choses très différentes.

Une légende qui fait son travail se lit à peu près ainsi : Boîte : 25e–75e percentile ; trait central : médiane ; moustaches : valeur la plus extrême située à moins de 1,5 × IQR de la boîte ; points : observations au-delà des moustaches ; n = 12 colonies par gélose. Trente mots, dans le budget de n’importe quelle revue.

Sur la précision des sources : aucune revue dont les consignes aux auteurs ont pu être consultées ne publie de modèle de légende propre aux boîtes à moustaches. Le guide de mise en forme de Nature et les normes de publication de Nature Portfolio énoncent l’exigence générale ; les consignes de figures de PLOS ONE traitent des légendes et de la préparation des fichiers sans aborder les conventions de tracé ; les règles de PeerJ recommandent de superposer aux diagrammes en barres des nuages de points montrant les données individuelles, ou de recourir à un autre moyen de montrer la distribution, comme les boîtes à moustaches ou les diagrammes en violon — un conseil sur le choix de la figure, donc, et non sur la légende. Cell Press, le Journal of Cell Biology et l’American Physiological Society ont refusé l’accès automatisé à leurs pages auteurs ; leurs règles ne sont donc pas représentées ici. L’absence de règle spécifique explique la variété des légendes de boîtes à moustaches dans la littérature imprimée, et fait de la liste ci-dessus une norme de travail plutôt qu’une citation.

Le reste de la figure obéit aux mêmes spécifications que n’importe quel autre panneau — résolution, polices, épaisseurs de trait et format de fichier —, et celles-ci se fixent revue par revue. Notre guide de création de figures scientifiques traite du métier en général, et la page consacrée aux exigences de figures de Scientific Reports détaille intégralement les chiffres d’une revue.

Quand une boîte à moustaches masque vos données

La réputation de la boîte à moustaches comme solution de rechange sérieuse au diagramme en barres est méritée, et elle connaît une limite qu’il est facile de franchir sans s’en apercevoir.

Weissgerber et ses collègues ont examiné 703 articles de recherche complets parus entre janvier et mars 2014 dans le quartile supérieur des revues de physiologie, en comptant ce que montraient réellement les figures. 85,6 % des articles contenaient au moins un diagramme en barres. Seuls 5,3 % contenaient une boîte à moustaches, 13,4 % un nuage de points univarié et 8,0 % un histogramme. Le diagramme en barres reste le réflexe par défaut, et la boîte à moustaches est plus rare que les deux solutions au profit desquelles on la recommande habituellement.

La même revue a mesuré les effectifs derrière ces figures, et c’est le nombre qui borne l’usage de la boîte à moustaches. Le plus petit groupe représenté sur une figure comptait quatre observations indépendantes en médiane, pour un écart interquartile de trois — dans 75 % des articles, le plus petit groupe de toute figure comptait entre deux et six observations. La conclusion des auteurs est directe : les statistiques résumées que présentent diagrammes en barres, graphiques en lignes et boîtes à moustaches n’ont de sens que s’il y a assez de données à résumer, et les nuages de points univariés sont le meilleur choix pour ces études, les boîtes à moustaches et les histogrammes y étant difficiles à interpréter.

Krzywinski et Altman fixent un seuil précis dans Nature Methods et déconseillent la boîte à moustaches pour les très petits échantillons, n < 5. Entre cinq et une dizaine d’observations par groupe, la boîte reste défendable, mais une bande des points réels à côté vaut mieux et ne coûte rien. Au-dessus, la boîte commence à justifier sa place — d’autant plus que la figure compare de nombreux groupes, car douze boîtes tiennent dans un panneau où douze histogrammes ne tiendraient pas.

La règle qui en découle n’est pas « utilisez des boîtes à moustaches ». Elle est : montrez la distribution quand vous le pouvez, résumez-la quand vous le devez, et laissez n trancher. En dessous d’une dizaine de valeurs par groupe, tracez les points. Au-dessus, tracez la boîte et envisagez d’y superposer les points malgré tout.

Questions fréquentes

Pourquoi ma boîte à moustaches diffère-t-elle entre Excel et R ? Parce que les quartiles n’y sont pas calculés de la même façon. Le graphique « Zone et valeur » d’Excel propose un réglage Calcul des quartiles offrant une méthode à médiane incluse et une méthode à médiane exclue ; la fonction boxplot() de R dessine les charnières de Tukey ; ggplot2 utilise le quantile d’échantillon de type 7. Sur les douze valeurs 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 29, 40, ces trois choix placent Q3 à 25, à 24,5 et à 25,5 respectivement, ce qui déplace la barrière supérieure de 39,25 à 37,625 puis à 40,875 — et décide si le 40 apparaît comme valeur aberrante.

Quelle différence entre un résumé en cinq nombres et une boîte à moustaches ? Le résumé en cinq nombres se compose du minimum, du premier quartile, de la médiane, du troisième quartile et du maximum. Une boîte à moustaches de Tukey dessine bien les quartiles et la médiane, mais ses moustaches s’arrêtent à la dernière observation située à l’intérieur des barrières à 1,5 × IQR, et non au minimum et au maximum. Dans l’exemple chiffré, le résumé s’achève à 40 alors que la moustache supérieure s’arrête à 29, puisque le 40 est tracé comme un point isolé.

Les moustaches doivent-elles aller au minimum et au maximum ? Uniquement si vous le précisez. Le manuel du NIST/SEMATECH définit la forme de base de la boîte à moustaches avec des moustaches tracées jusqu’au minimum et au maximum, et matplotlib la reproduit avec whis=(0, 100). La convention est légitime, mais par construction elle ne peut afficher aucune valeur aberrante, puisque toute observation tombe à l’intérieur d’une moustache. Un lecteur qui suppose le réglage de Tukey lira donc la figure de travers.

Que signifie une encoche sur une boîte à moustaches ? C’est un intervalle de confiance autour de la médiane, s’étendant sur ±1,58 × IQR/√n. La documentation de R attribue ce calcul à McGill, Tukey et Larsen (1978) et précise que si les encoches de deux boîtes ne se recouvrent pas, c’est un indice fort que les deux médianes diffèrent. Krzywinski et Altman recommandent de n’afficher les encoches que lorsqu’elles restent dans l’écart interquartile ; quand l’encoche dépasse les charnières, R la dessine retournée et émet un avertissement.

Combien de mesures faut-il pour une boîte à moustaches ? Krzywinski et Altman déconseillent la boîte à moustaches pour les très petits échantillons et fixent le seuil à n < 5. Weissgerber et ses collègues vont plus loin pour les effectifs habituels en laboratoire : dans leur revue de 703 articles de physiologie, le plus petit groupe figurant sur une figure comptait 4 observations en médiane, et ils recommandent des nuages de points univariés pour ces études, une boîte à moustaches y résumant des données trop peu nombreuses pour être résumées.

Que doit contenir la légende d’une boîte à moustaches ? Le guide de mise en forme de Nature impose que toutes les barres d’erreur et statistiques soient définies dans la légende de la figure. Pour une boîte à moustaches, cela fait quatre éléments : les bornes de la boîte, la nature du trait central, la portée des moustaches et n par groupe. Une légende du type « boîte : 25e–75e percentile ; trait central : médiane ; moustaches : 1,5 × IQR ; points : valeurs au-delà des moustaches ; n = 12 colonies par boîte » ne laisse rien à deviner.

Une boîte à moustaches peut-elle montrer une distribution bimodale ? Non. Elle ne trace que cinq nombres, et deux amas séparés par un vide donnent les mêmes quartiles qu’une répartition régulière sur la même étendue. Si la forme de la distribution constitue le résultat, un histogramme, un diagramme en violon ou les points bruts la montreront, une boîte à moustaches non.

La médiane est-elle toujours au milieu de la boîte ? Non, et sa position est l’indice le plus rapide d’asymétrie dans la moitié centrale des données. Dans l’exemple chiffré, la médiane à 20 se situe 4,25 au-dessus de Q1 et 4,5 en dessous de Q3, si bien que les 50 % centraux sont presque symétriques — alors que la queue supérieure est assez longue pour projeter une valeur au-delà de la barrière. L’asymétrie dans la boîte et l’asymétrie dans les queues sont deux lectures distinctes.

Pour aller plus loin

Les conventions décrites ici représentent, pour un seul type de figure, la part d’un problème plus vaste : chaque élément d’une figure publiée est une affirmation que le lecteur doit pouvoir décoder. Notre guide de création de figures scientifiques traite de ce qui vaut pour toutes — résolution, corps de caractère, épaisseurs de trait et test de réduction qui décide si une mention en 5 pt survit à l’impression.

Si les données derrière la boîte proviennent d’une microplaque, le guide sur le format des plaques 96 puits rattache chaque cote de la plaque aux normes ANSI/SLAS, y compris les quatre qu’aucune norme ne fixe et qui varient d’un fournisseur à l’autre.

Et lorsque les nombres sont prêts, le générateur de boîte à moustaches calcule quartiles, moustaches et valeurs aberrantes à partir de votre fichier avant de tracer quoi que ce soit, pour que la figure et la légende disent la même chose.