Creare un diagramma ad albero delle probabilità online
Genera diagrammi ad albero per matematica e statistica: alberi delle probabilità con ogni ramo etichettato e ogni esito moltiplicato, oltre ad alberi decisionali e di classificazione, per lezioni, schede di esercizi e relazioni.
Stili di diagramma ad albero
Ogni stile è mostrato su un albero diverso: i numeri reali suddivisi nei loro sottoinsiemi, una ruota della fortuna girata due volte, pioggia e ritardi, un esame della patente con seconda prova. Clicca su una scheda per caricare il prompt che c'è dietro.
Esempi di diagramma ad albero
Render reali dei quattro spunti iniziali: due palline estratte senza reimmissione da un sacchetto con 3 rosse e 2 blu, un test di screening con prevalenza del 2% sviluppato fino a P(test positivo), tutti gli otto esiti di tre lanci di una moneta e il lancio di un prodotto risolto all'indietro fino al suo valore atteso. Clicca su uno per caricarne il prompt.
Che cos'è un diagramma ad albero?
Un diagramma ad albero è uno schema ramificato che elenca tutti gli esiti di una sequenza di eventi; in probabilità è l'albero delle probabilità, in cui ogni ramo porta la probabilità di un esito condizionata ai rami precedenti e il prodotto lungo un percorso dà la probabilità di quel percorso. Si legge da sinistra a destra: il primo ventaglio di rami è il primo evento (la prima estrazione, il primo lancio o l'esito del test), ogni ventaglio successivo si ripete dall'estremità di tutti i rami precedenti, e la fine di ogni percorso è un esito dell'intero esperimento. I rami che escono da uno stesso punto sommano a 1, e lo stesso vale per tutti gli esiti insieme. Lo stesso schema serve per gli alberi decisionali, che aggiungono scelte e guadagni, e per gli alberi gerarchici, che mostrano solo che cosa sta sotto che cosa.
Che cosa calcola questo generatore di diagrammi ad albero
- I prodotti si calcolano, non si indovinano. Ogni esito viene moltiplicato dal codice lungo il suo percorso e scritto come prodotto, come frazione non semplificata e come frazione semplificata, per esempio 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10.
- Le frazioni restano frazioni. I rami scritti come frazioni mantengono il loro denominatore, quindi il 2/4 di una seconda estrazione non diventa di nascosto 1/2; decimali e percentuali vengono moltiplicati come decimali e percentuali.
- Il complementare mancante viene completato. Quando un ramo in un punto non ha probabilità, riceve 1 meno gli altri (Niente pioggia dopo Pioggia 0.3 diventa 0.7). I rami che fornisci e che sommano a più o meno di 1 vengono disegnati esattamente come li hai scritti, mai corretti alle tue spalle.
- Gli eventi che nomini vengono sommati. Chiedi P(esattamente una rossa), almeno due teste, stesso colore o un singolo esito come test positivo, e gli esiti corrispondenti vengono sommati e scritti sotto l'albero.
- Dimensioni sempre leggibili. Fino a quattro stadi e 48 esiti in un albero: due dadi (36 esiti) ci stanno, tre dadi (216) no.
I diagrammi ad albero più richiesti e che cosa serve a ciascuno
Quasi tutte le richieste sono uno di questi sei. Si differenziano per ciò che va sui rami e per ciò che si scrive alle estremità.
Diagramma ad albero delle probabilità
L'albero a due o tre stadi del liceo e dei primi esami universitari di statistica: un ventaglio di rami per evento, una probabilità su ogni ramo e la colonna degli esiti a destra con ogni percorso moltiplicato. Dai le probabilità come le hai (3/5, 0.6 o 60%) e indica gli eventi da sommare, come P(esattamente una rossa).
Diagramma ad albero senza reimmissione
Estrarre palline, carte o caramelle senza rimetterle a posto cambia il secondo ventaglio: con 3 rosse e 2 blu, Rossa 3/5 è seguita da Rossa 2/4 e Blu 2/4, e Blu 2/5 da Rossa 3/4 e Blu 1/4. Descrivi il sacchetto e il numero di estrazioni e le frazioni successive vengono calcolate dal codice. Con reimmissione ogni stadio ripete semplicemente il primo.
Albero della probabilità condizionata (Bayes)
Problemi di screening e di controllo qualità: i primi rami separano in base alla condizione (la sua prevalenza), i secondi in base all'esito del test (sensibilità in presenza della condizione, tasso di falsi positivi in sua assenza). Con prevalenza del 2%, sensibilità del 90% e 5% di falsi positivi, P(test positivo) = 1.8% + 4.9% = 6.7%, quindi solo il 27% circa dei positivi ha la malattia.
Alberi di monete e dadi (spazio campionario)
Tutti i rami equiprobabili: 1/2 per una moneta equa, 1/6 per un dado. Tre lanci danno 8 esiti da 1/8 ciascuno e due dadi danno 36 esiti da 1/36; chiedi un evento come almeno due teste (4/8 = 1/2) e viene contato sull'albero, il modo più chiaro di mostrare uno spazio campionario.
Albero decisionale
Quadrati per le decisioni, cerchi per gli eventi aleatori e un guadagno alla fine di ogni ramo. I valori attesi si calcolano all'indietro a partire dai guadagni: un lancio che riesce con probabilità 0.6 e frutta 500 000 $, e fallisce con −200 000 $, vale 0.6 × 500 000 + 0.4 × (−200 000) = 220 000 $, quindi batte il non lanciare, e l'opzione scartata viene barrata con un doppio tratto.
Albero gerarchico e di classificazione
Nessuna probabilità, solo che cosa sta sotto che cosa: i numeri reali si dividono in razionali e irrazionali, i razionali in interi e frazioni non intere, e così via. Disegnato dall'alto in basso in riquadri, a meno che tu non chieda da sinistra a destra, con fino a quattro livelli sotto il riquadro principale.
Le regole del prodotto e della somma dietro ogni albero
Moltiplica lungo un percorso per ottenere la probabilità di quel percorso, poi somma i percorsi che formano un evento. La prima è la regola generale del prodotto: ogni ramo dopo il primo stadio è una probabilità condizionata, la probabilità di B sapendo che A si è già verificato. La seconda è la regola della somma per esiti incompatibili: due percorsi diversi dello stesso albero non possono mai verificarsi entrambi, quindi le loro probabilità si sommano e basta.
P(A e B) = P(A) × P(B | A) P(evento) = Σ P(percorso)
In parole
probabilità di un percorso = prodotto dei suoi rami; probabilità di un evento = somma dei suoi percorsi
Il teorema di Bayes si legge sullo stesso albero: P(A | B) = P(A e B) / P(B), l'unico percorso che passa per A e B diviso per la somma di tutti i percorsi che finiscono in B. Nell'esempio dello screening è 1.8% / 6.7% ≈ 26.9%.
Tabella degli esiti svolta: due palline da un sacchetto con 3 rosse e 2 blu
La colonna degli esiti del primo esempio, messa in tabella. Sono i numeri che l'albero scrive alla fine di ogni percorso.
| Percorso | Rami moltiplicati | Probabilità |
|---|---|---|
| Rossa, Rossa | 3/5 × 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| Rossa, Blu | 3/5 × 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| Blu, Rossa | 2/5 × 3/4 | 6/20 = 3/10 |
| Blu, Blu | 2/5 × 1/4 | 2/20 = 1/10 |
| Tutti e quattro i percorsi | 20/20 = 1 |
P(esattamente una rossa) = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5. Con reimmissione le seconde frazioni sarebbero di nuovo 3/5 e 2/5, e P(Rossa, Rossa) sarebbe 9/25 invece di 3/10.
Come fare un diagramma ad albero
Elenca gli stadi e i loro esiti
Scrivi gli eventi in ordine (prima estrazione, seconda estrazione) e gli esiti possibili di ciascuno. Ogni esito di uno stadio ha il suo ramo che parte dall'estremità di ogni ramo dello stadio precedente.
Metti una probabilità su ogni ramo
Usa la probabilità tenendo conto di ciò che è già successo: se una rossa viene estratta e non rimessa, nel sacchetto c'è una rossa in meno. I rami che escono da uno stesso punto sommano a 1, il controllo più rapido che non manchi nulla.
Moltiplica lungo, poi somma in colonna
Alla fine di ogni percorso scrivi il prodotto dei suoi rami; su tutto l'albero quei prodotti sommano a 1. Per un evento, somma i percorsi che gli appartengono e nessun altro.
Diagramma ad albero, tabella a doppia entrata o diagramma di Venn
Un diagramma ad albero mostra gli eventi in ordine con le probabilità condizionate sui rami; una tabella a doppia entrata mostra le stesse probabilità congiunte come una griglia di celle; un diagramma di Eulero-Venn mostra le intersezioni tra eventi ma non l'ordine.
| Diagramma ad albero | Tabella a doppia entrata | Diagramma di Venn | |
|---|---|---|---|
| Ordine degli eventi | Mostrato, stadio per stadio | Non mostrato | Non mostrato |
| Probabilità condizionate | Scritte sui rami successivi | Ricavate dal totale di una riga o di una colonna | Non mostrate direttamente |
| Probabilità congiunte | Alla fine di ogni percorso | In ogni cella | In ogni regione |
| Più di due stadi | Un ventaglio in più per stadio | Scomoda oltre due variabili | Scomodo oltre tre insiemi |
| Ideale per | Estrazioni, lanci e test in sequenza | Conteggi di sondaggi divisi per due categorie | Domande su A o B, A e B |
La maggior parte dei problemi del libro si può rappresentare in tutti e tre i modi. Scegli l'albero quando la domanda riguarda una probabilità condizionata o gli eventi si susseguono uno dopo l'altro.
Domande sui diagrammi ad albero
Che cos'è un diagramma ad albero in matematica e statistica?
È uno schema che elenca ogni esito di un esperimento in più fasi come un percorso di rami, e serve a trovare la probabilità di eventi composti. Ogni ventaglio di rami è una fase; il numero di percorsi è il numero di esiti (2 × 2 × 2 = 8 per tre monete), e moltiplicando le probabilità lungo un percorso si ottiene la probabilità di quell'esito. I problemi di calcolo combinatorio usano lo stesso albero senza le probabilità.
Come si costruisce un diagramma ad albero per un problema di probabilità?
Disegna un ventaglio di rami per evento, etichetta ogni ramo con il suo esito e la sua probabilità, poi moltiplica lungo ogni percorso. Qui puoi scrivere il problema come frase (un sacchetto con 3 rosse e 2 blu, due estrazioni senza reimmissione) oppure scrivere i rami come elenco rientrato, uno per riga, con 3/5, 0.6 o 60% dopo ogni etichetta; rientra una riga di un livello in più per appenderla a quella sopra.
Come si leggono le probabilità alla fine dell'albero?
Ogni numero alla fine di un percorso è una probabilità congiunta: la probabilità che tutti gli eventi di quel percorso si verifichino, in quell'ordine. P(Rossa, Blu) = 3/5 × 2/4 = 3/10 significa prima rossa e poi blu. Per rispondere a una domanda su un evento, trova tutti i percorsi che lo soddisfano e somma i loro valori finali; tutti i valori finali insieme sommano a 1.
Come cambia l'albero senza reimmissione?
Senza reimmissione il secondo ventaglio usa ciò che resta dopo la prima estrazione, quindi le sue frazioni cambiano da ramo a ramo. Con 3 rosse e 2 blu, dopo una rossa i rami sono Rossa 2/4 e Blu 2/4, dopo una blu Rossa 3/4 e Blu 1/4. Con reimmissione ogni ventaglio ripete 3/5 e 2/5, e le estrazioni sono indipendenti.
Perché i rami che partono da un punto devono sommare a 1?
Perché i rami che escono da un punto sono tutti i possibili esiti di quella fase, e se ne verifica esattamente uno. Se dopo Pioggia i rami dicono In ritardo 0.4 e Puntuale 0.5, manca un esito o c'è un numero sbagliato. Questo strumento completa un singolo ramo mancante con il complementare e disegna così come l'hai scritto qualsiasi gruppo che non sommi a 1, senza correggerlo.
Come si trova una probabilità condizionata con il diagramma ad albero?
Dividi il percorso che ti interessa per il totale di tutti i percorsi che soddisfano la condizione data. Per il test di screening, P(malattia | test positivo) = P(malattia e positivo) / P(test positivo) = 1.8% / (1.8% + 4.9%) ≈ 26.9%. È il teorema di Bayes letto sull'albero, ed è il motivo per cui un risultato positivo a un test per una malattia rara è spesso un falso allarme.
Le frazioni sull'albero vanno semplificate?
I rami di solito si lasciano come sono, e i valori finali si mostrano spesso sia non semplificati sia semplificati. Tenere 6/20 accanto a 3/10 mette in evidenza il denominatore comune, così si vede che i quattro esiti sommano a 20/20. Vanno bene anche decimali e percentuali; mescolali solo se lo fa il tuo corso, perché un albero in una sola forma è più facile da controllare.
Un diagramma ad albero è la stessa cosa di un albero genealogico, un albero filogenetico, un cladogramma o una chiave dicotomica?
No: sono quattro figure diverse con le loro convenzioni, e ognuna ha qui il suo strumento. Un albero di famiglia dei caratteri ereditari è un albero genealogico genetico, un albero evolutivo con lunghezze dei rami è un albero filogenetico, uno costruito su caratteri derivati condivisi è un cladogramma, e una guida all'identificazione per scelte a coppie è una chiave dicotomica. In matematica un diagramma ad albero riguarda gli esiti e le loro probabilità.
L'IA cambierà le probabilità che inserisco?
No. Il valore di ogni ramo, ogni prodotto, ogni somma e ogni valore atteso vengono calcolati dal codice prima del disegno, e al modello vengono dettati parola per parola. Non gli viene mai chiesto di moltiplicare 3/5 per 2/4. Se i tuoi rami non sommano a 1, l'albero viene disegnato come l'hai scritto invece di essere corretto in silenzio, quindi controlla i numeri che scrivi.
Come si scrive la didascalia di un diagramma ad albero in una relazione o in un articolo?
Indica quali sono gli stadi, se le estrazioni erano con reimmissione e quali numeri sono condizionati. Per esempio: Figura 1. Albero delle probabilità per due estrazioni senza reimmissione da un sacchetto con 3 palline rosse e 2 blu. I valori sui rami sono probabilità condizionate; i valori alle estremità sono probabilità congiunte. Per un albero decisionale indica anche l'unità dei guadagni e come sono stati calcolati all'indietro i valori attesi.
Un albero decisionale disegnato con l'IA può finire in un articolo scientifico?
Spesso sì, perché è un'immagine esplicativa e non un'immagine dei tuoi dati, ma decide la rivista. La policy di Elsevier sull'IA generativa per le riviste cita gli alberi decisionali tra le immagini esplicative che gli strumenti di IA possono aiutare a creare, mentre le immagini di dati di ricerca primari non possono essere generate. Controlla la policy della tua rivista e indica nei metodi o in legenda come è stata realizzata la figura.
Quanti esiti può contenere un diagramma ad albero?
Qui fino a quattro stadi e 48 esiti, che coprono due dadi (36 esiti) e quattro lanci di moneta (16). Oltre, un albero non si legge più su una pagina: usa il principio fondamentale del calcolo combinatorio o una tabella, oppure disegna solo i rami che servono alla domanda (per esempio solo i percorsi con almeno un sei).
Fonti
- 3.5 Tree and Venn Diagrams — OpenStax Introductory Statistics 2e
- Introduction to Probability (Grinstead and Snell), tree diagrams and conditional probability — Dartmouth College
- Generative AI policies for journals — Elsevier
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