箱ひげ図の例：読み方と、同じデータを2つのソフトが別々に描いてしまう理由

12個の数値、1枚の図、そして箱がどこで終わるのかという問いに対する3つの成り立つ答え。使った流儀を書かずに箱ひげ図を描けば、毎回この状況が生まれます。同僚2人が同じ表計算の同じ列を図にしたうえで、実験が外れ値を出したかどうかで意見が割れるのは、これが理由です。

以下の計算は手で追える程度の分量です。一度通しておけば、他人の図を推測で読むことがなくなり、自分の図が何を主張しているのかも分かります。

12個の数値から図までを実際に計算する

1枚のプレートで測ったコロニー径12個、単位はミリメートルです。

12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 29, 40

すでに昇順に並んでいます。箱ひげ図はここから始まります。n = 12なので中央値は6番目と7番目の間に落ち、(19 + 21) / 2 = 20となります。本記事で扱うどの方法もこの値では一致します。食い違いはその次の段階から始まります。

ggplot2、matplotlib、NumPyの既定である順序統計量間の線形補間、いわゆるタイプ7では、第1四分位数が15.75、第3四分位数が24.5になります。四分位範囲はその差です。

IQR = 24.5 − 15.75 = 8.75

Tukeyの規則は、箱の両端からIQRの1.5倍の位置にフェンスを置きます。

下側フェンス = 15.75 − 1.5 × 8.75 = 2.625

上側フェンス = 24.5 + 1.5 × 8.75 = 37.625

箱ひげ図で最も多い読み違いは、ここで起こります。ひげはフェンスまで伸びるのではなく、フェンスの内側にある最も外側の観測値まで伸びます。Rのドキュメントは、ひげは箱からIQRのrange倍を超えない範囲で最も外側にあるデータ点まで伸びる、と明記しています。このデータで37.625より下にある最大の値は29なので、上側のひげは29で止まります。2.625より上にある最小の値は12なので、下側のひげは12で止まります。40はフェンスの外にあり、独立した点として描かれます。

したがって箱ひげ図は五数要約ではありません。両者は同じものとして説明されがちですが、このデータの五数要約は12から40までで、図は12から29までと40の点です。どちらの記述も正しく、そして交換可能ではありません。一方は、どの観測値が典型的かについての主張を含んでいるからです。

Excel、R、SPSSが同じデータで違う四分位数を返す理由

標本の中央値には曖昧さがありません。四分位数にはあります。12個の観測値の四分位数は必ず2つの値の間に落ち、補間の仕方には成り立つ選択肢が複数あるからです。

HyndmanとFanは1996年にThe American Statisticianでこの問題を整理し、ソフト間の不一致より厄介な状況を見つけました。要旨は原文のまま引く価値があります。ほとんどの利用者が想像もしていないことを述べているからです。

Often within the same package one definition will be used to compute a quantile explicitly while other definitions may be used when producing a boxplot, a probability plot or a QQ-plot.

Rが最も分かりやすい例です。quantile()はこの論文の9つの定義をすべて実装し、既定はタイプ7です。ところがboxplot()はquantile()を呼びません。呼ぶのはboxplot.stats()で、これはTukeyのヒンジを計算します。ドキュメントには、ヒンジはnが奇数のとき四分位数と一致し、nが偶数のときは異なる、と明記されています。ggplot2のgeom_boxplot()は第3の道を採り、既定値7のquantile.type引数を用意しています。つまり標準のRとggplot2は、同じセッションで同じベクトルから、nが偶数であるかぎり別々の箱を描きます。

Excelはさらに独自の軸を加えます。箱ひげ図の「データ系列の書式設定」には四分位数の計算という設定があり、Microsoftは2つの選択肢を、Nが奇数のとき中央値を計算に含める「包括的な中央値」と、含めない「排他的な中央値」として説明しています。包括的な方式はQUARTILE.INC、つまりタイプ7に対応します。排他的な方式はQUARTILE.EXCに対応し、Microsoftはこれを0から1までの両端を含まないパーセンタイル値に基づくものと記載しています。Rのドキュメントはこれをタイプ6、MinitabとSPSSが使う定義として位置づけています。どちらが図の既定なのかはMicrosoftのページに書かれていないため、自分以外の環境では設定を開いて確かめるほかありません。

同じ12個のコロニーに対して、この3つの選択が何をするかを並べます。

箱の端は上下それぞれ0.25ずつ動くだけで、印刷された図で気づく人はいません。しかし結果はまったく微妙ではありません。タイプ7とTukeyのヒンジでは、40 mmのコロニーはひげの上に単独の点として描かれ、図は1枚のプレートが異常な挙動を示したと語ります。タイプ6ではひげの内側に収まり、図は特に変わったことは起きていないと語ります。同じプレート、同じ12個の測定値、正反対の読み。そしてどちらの説明文にも「箱ひげ図」と書かれます。

HyndmanとFanは論文の最後に中央値不偏推定量を推奨しており、Rはこれをタイプ8として実装し、ドキュメントでも彼らの推奨として言及しています。既定にしている主要なソフトはありません。これは不祥事というより、前提として設計に織り込むべき事実です。定義の差はたいていの実験の測定誤差より小さく、それでいて外れ値の判定をひっくり返すには十分な大きさがあります。1つ選び、論文のすべてのパネルに同じものを適用し、書き残してください。

ひげの3つの流儀と、どれが使われているかの見分け方

四分位数の不一致は図から見えません。ひげの不一致は、どこを見るか知っていれば見えます。

Tukeyの1.5×IQRの規則はほぼどこでも既定です。Rのboxplot()ではrange = 1.5、geom_boxplot()ではcoef = 1.5、matplotlib.pyplot.boxplotとseaborn.boxplotではいずれもwhis = 1.5です。あまりに一般的なため読み手はこれを前提にします。他の流儀が危ういのは、まさにそのためです。

NIST/SEMATECHのハンドブックは、第2の流儀を図の基本形として記載しています。下側四分位数から最小値へ線を引き、上側四分位数から最大値へもう1本引くというもので、1.5×IQRの版はその後に、外れ値をより明確に示す変形として置かれています。両端まで引いたひげは、すべての観測値がひげの内側に入るため、構造上どんな外れ値も示せません。matplotlibではwhis=(0, 100)で再現できます。

第3の流儀は、規則を固定のパーセンタイルに置き換えます。matplotlibもseabornも倍率の代わりに数値の組を受け取り、whis=(5, 95)とすれば第5パーセンタイルと第95パーセンタイルにひげを引き、それを超えるものはすべて点として描きます。標本の大きい分野では、Tukeyの規則が数百個の観測値を印付けてしまうため、これが一般的です。

他人の図を読むときに頼れる手がかりが2つあります。ひげの外に個別の点が描かれていれば、そのひげは最小値から最大値までではありません。1グループあたり数百の観測値がある図に点が1つも描かれていなければ、データが驚くほど行儀がよいか、ひげが両端まで伸びているかのどちらかです。それ以上は画像から流儀を復元できません。2つ先の節で説明文の規則を扱うのは、このためです。

もう2つ、見分けられるようにしておきたい変形があります。NISTは3.0×IQRの位置に第2のフェンスを定義し、内側と外側のフェンスの間にある点と、その外にある点とを、小さい円と大きい円で描き分けます。このデータでは外側のフェンスは−10.5と50.75なので、40は極端な外れ値ではなく穏やかな外れ値です。もう1つ、ノッチ付きの箱ひげ図は中央値まわりの信頼区間を±1.58×IQR/√nの幅で示します。Rのドキュメントはこの計算をMcGill, Tukey and Larsen (1978)に帰しています。今回の12個の値では±1.58 × 8.75 / √12 = ±3.99なので、ノッチは16.01から23.99までとなり箱の内側に収まります。これはKrzywinskiとAltmanがノッチを描く条件として挙げているとおりです。手間をかける理由はboxplot()のドキュメントが述べています。2つの箱のノッチが重ならなければ、2つの中央値が異なる強い証拠になります。

箱から歪み、ばらつき、外れ値を読む

箱ひげ図は4つの問いに答えます。全体の形から印象をつくるのではなく、意識して順番に読む価値があります。

中心はどこか。 中央値の線、ここでは20です。平均ではありません。この12個の平均は21.33で、たった1つの40によって中央値より1.33高いところへ引っ張られています。この差自体が診断になります。対称な標本では両者は一致し、差の大きさは片側の裾がどれだけ働いているかを測るからです。

中央半分の幅はどれくらいか。 箱、15.75から24.5までです。プレートの半分が8.75 mmの幅に収まっています。水準ではなく安定性が問題であるとき、グループ間で比べるべき数値はこれです。

標本は歪んでいるか、どこが歪んでいるか。 読みは2つに分かれます。箱の中では、中央値がQ1より4.25上、Q3より4.5下にあり、中央半分はほぼ対称と言える位置です。箱の外では、下側のひげが3.75 mm、上側が4.5 mm伸び、さらにその15.5 mm上に点が1つあります。この標本の歪みは、完全に上側の裾にあります。中央値が箱の端に寄った図と、ひげの長さが偏った図は別のことを語っており、両方を「歪んでいる」でまとめると、肝心な部分が失われます。

どの観測値が異常か。 個別に描かれた点だけ、しかもその図で採用されている流儀のもとでの話です。箱ひげ図の「外れ値」は箱からの距離についての言明であって、測定が誤りだという意味ではありません。他が12から29 mmのプレートにある40 mmのコロニーは、プレートをもう一度見る理由にはなります。ピペット操作の誤りの証拠にはならず、その区別を図が代わりにつけてくれることもありません。

箱ひげ図が答えないのは、分布の形です。14と26に塊があり間に何もないデータは、同じ範囲に一様に散らばったデータと同じ5つの数値になり、したがって同じ箱になります。形そのものが結果であるなら箱ひげ図は不適切な図であり、ヒストグラム、バイオリンプロット、あるいは点そのものが問いに答えます。

箱ひげ図について図の説明文に書くべきこと

Natureの書式ガイドには、この問題を片づける一文があります。すべてのエラーバーと統計量は図の説明文で定義しなければならない、というものです。箱ひげ図は統計量であり、正確には5つの統計量に点を分類する規則が加わったものなので、この要求はそのまま当てはまります。同じガイドは説明文を300語未満に制限し、Natureの標準の図幅を1段組で90 mm、2段組で180 mm、版面の高さを170 mmとしています。

実務上は4項目で、いずれも画像からは復元できません。

• 箱の上下が何か。 「25〜75パーセンタイル」なら曖昧さがありません。前の2つの節を踏まえれば「四分位数」では足りません。
• 中央の線が何か。 ほとんどの場合は中央値ですが、平均を描く分野もあり、見た目では区別できません。
• ひげがどこまで伸びるか。 説明ではなく規則を書きます。「1.5×IQR」「最小値から最大値」「第5および第95パーセンタイル」。
• グループごとのn。 6観測から描いた箱と600観測から描いた箱は同じ見た目で、意味はまるで違います。

用を成す説明文はおおよそ次のようになります。箱：25〜75パーセンタイル、中央の線：中央値、ひげ：箱から1.5×IQR以内で最も外側の値、点：ひげの外側の観測値、n = 12コロニー／プレート。 30語ほどで、どの雑誌の分量にも収まります。

出典の扱いを正確に述べておきます。投稿規定を確認できた雑誌のうち、箱ひげ図専用の説明文のひな形を公開しているものはありませんでした。Natureの書式ガイドとNature Portfolioの報告基準は上記の一般的な要求を述べており、PLOS ONEの図のガイドラインはキャプションとファイル準備を扱っていてプロットの流儀には触れていません。PeerJの規定は、棒グラフに個々のデータ点の散布図を重ねるか、箱ひげ図やバイオリンプロットなど分布を示す別の方法を使うことを勧めていますが、これは図の選び方についての助言であって説明文についてのものではありません。Cell Press、Journal of Cell Biology、American Physiological Societyは投稿者向けページへの自動アクセスを拒否したため、これらの方針はここに反映されていません。専用の規則が存在しないことこそ、印刷された箱ひげ図の説明文がこれほどばらついている理由であり、上の4項目が引用ではなく実務上の基準にとどまる理由でもあります。

図の残りの部分は、解像度、フォント、線幅、ファイル形式といった他のパネルと同じ仕様に従い、それらは雑誌ごとに決まります。科学図表の作り方ガイドが全般の作法を扱い、Scientific Reportsの図の要件のページが1誌分の数値を最後まで追っています。

箱ひげ図がデータを隠すとき

棒グラフに代わる誠実な選択肢という箱ひげ図の評判は妥当なものですが、気づかないうちに越えてしまいやすい限界があります。

Weissgerberらは、2014年1月から3月にかけて生理学分野の上位4分の1の雑誌に掲載された完全な原著論文703報を調べ、図が実際に何を示していたかを数えました。85.6%の論文に棒グラフが1つ以上含まれていました。箱ひげ図を含む論文は5.3%にすぎず、一次元散布図は13.4%、ヒストグラムは8.0%でした。既定の選択はいまなお棒グラフであり、箱ひげ図は、それを勧める理由になっている2つの代替手段よりも稀です。

同じ調査は図の背後にある標本サイズも測っており、箱ひげ図を制約するのはこの数字です。図に示された最小のグループは独立観測が中央値で4、四分位範囲は3でした。論文の75%で、どの図でも最小のグループは2から6観測の範囲にありました。著者らの結論は明快です。棒グラフ、折れ線グラフ、箱ひげ図が示す要約統計量は、要約するに足るデータがあるときにのみ意味を持ち、この規模の研究では箱ひげ図やヒストグラムは解釈が難しいため一次元散布図のほうが適しています。

KrzywinskiとAltmanはNature Methodsで具体的な下限を示し、非常に小さい標本、n < 5では箱ひげ図を避けるよう勧めています。1グループあたり5から10程度であれば箱ひげ図も成り立ちますが、実測点の帯を横に添えるほうがよく、費用もかかりません。それを超えると箱が働き始め、比べるグループが多い図ほどよく働きます。12個のヒストグラムが入らないパネルに、12個の箱なら入るからです。

ここから導かれる指針は「箱ひげ図を使う」ではありません。示せるときは分布を示し、示せないときだけ要約し、どちらにするかはnに決めさせる、です。1グループ10点程度を下回るなら点を描いてください。上回るなら箱を描き、そのうえで点を重ねることも検討してください。

よくある質問

ExcelとRで箱ひげ図の形が変わるのはなぜですか。 四分位数の計算方法が違うためです。Excelの箱ひげ図には「四分位数の計算」という設定があり、中央値を含める方式と含めない方式を選べます。Rの標準のboxplot()はTukeyのヒンジを描き、ggplot2はタイプ7の標本分位数を使います。12個の値12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 29, 40では、この3つがQ3をそれぞれ25、24.5、25.5とし、上側フェンスは39.25、37.625、40.875と動きます。40が外れ値として描かれるかどうかは、この差で決まります。

五数要約と箱ひげ図はどう違いますか。 五数要約は最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値の5つです。Tukey流の箱ひげ図も四分位数と中央値を描きますが、ひげは1.5×IQRのフェンスの内側にある最後の観測値で止まり、最小値や最大値までは伸びません。本記事の例では五数要約は40で終わるのに対し、上側のひげは29で終わります。40は独立した点として描かれるからです。

ひげは最小値と最大値まで伸ばすべきですか。 そう書き添えるのであれば構いません。NIST/SEMATECHのハンドブックは、最小値と最大値までひげを引く形を箱ひげ図の基本形として定義しており、matplotlibではwhis=(0, 100)で再現できます。正当な流儀ですが、すべての観測値がひげの内側に入る以上、構造上どんな外れ値も示せません。Tukeyの既定を前提に読む人は、この図を読み違えます。

箱ひげ図のノッチは何を表しますか。 中央値まわりの信頼区間で、±1.58×IQR/√nの幅を持ちます。Rのドキュメントはこの計算をMcGill, Tukey and Larsen (1978)に帰し、2つの箱のノッチが重ならなければ中央値が異なる強い証拠だと述べています。KrzywinskiとAltmanは、ノッチが四分位範囲の内側に収まるときだけ描くよう勧めています。ノッチがヒンジを越える場合、Rは反転した形で描いて警告を出します。

箱ひげ図には何点のデータが必要ですか。 KrzywinskiとAltmanは、標本が非常に小さい場合の箱ひげ図を勧めておらず、n < 5を目安としています。Weissgerberらは実験室で普通に見られる標本サイズについてさらに踏み込みます。生理学分野の703報を調べたところ、図に示された最小のグループは中央値で4観測でした。この規模の研究では一次元散布図のほうが適しており、箱ひげ図では要約するには少なすぎるデータを要約することになります。

箱ひげ図の説明文には何を書けばよいですか。 Natureの書式ガイドは、すべてのエラーバーと統計量を図の説明文で定義するよう求めています。箱ひげ図では4項目です。箱の上下が何か、中央の線が何か、ひげがどこまで伸びるか、そしてグループごとのnです。「箱：25〜75パーセンタイル、中央の線：中央値、ひげ：1.5×IQR、点：ひげの外側の値、n = 12コロニー／プレート」と書けば、読み手に推測させる余地は残りません。

箱ひげ図で二峰性の分布を示せますか。 示せません。箱ひげ図が描くのは5つの数値であり、間隔をあけた2つの塊は、同じ範囲に一様に散らばったデータと同じ四分位数になります。分布の形そのものが結果である場合は、ヒストグラム、バイオリンプロット、あるいは生の点がそれを示します。箱ひげ図は示しません。

中央値はいつも箱の真ん中にありますか。 いいえ。その位置は、データの中央半分の歪みを最も速く読み取る手がかりです。本記事の例では中央値20がQ1より4.25上、Q3より4.5下にあり、中央の50%はほぼ対称です。一方で箱より上の裾は、1つの値をフェンスの外へ押し出すほど長く伸びています。箱の中の歪みと裾の歪みは、別々に読むべきものです。

次に読むもの

ここで扱った流儀は、1つの図種に割り当てられた、より大きな問題の一部です。掲載された図のどの要素も、読み手が解読できなければならない主張だからです。科学図表の作り方ガイドは、解像度、文字サイズ、線幅、そして5 ptの文字が印刷に耐えるかを決める縮小テストなど、すべての図に共通する部分を扱っています。

箱の背後にあるデータがマイクロプレート由来であれば、96ウェルプレートの規格の記事が、どの規格も定めておらず供給元ごとに違う4つの寸法を含め、プレートの各寸法をANSI/SLAS規格まで辿っています。

数値が揃ったら、箱ひげ図メーカーがファイルから四分位数、ひげ、外れ値を計算してから作図します。図と説明文が同じことを述べられるようにするためです。