Построить дерево вероятностей онлайн
Генератор древовидных диаграмм для математики и статистики: деревья вероятностей с подписью каждой ветви и перемноженным каждым исходом, а также деревья решений и классификационные деревья для уроков, рабочих листов и отчётов.
Стили деревьев вероятностей
Каждый стиль показан на своём дереве: действительные числа, разбитые на подмножества, рулетка, раскрученная дважды, дождь и опоздание, экзамен по вождению с пересдачей. Нажмите на карточку, чтобы загрузить её запрос.
Примеры деревьев вероятностей
Реальные рендеры четырёх стартовых запросов: две фишки, вынутые без возвращения из мешка с 3 красными и 2 синими, скрининговый тест с распространённостью 2%, доведённый до P(положительный тест), все восемь исходов трёх бросков монеты и решение о запуске продукта, свёрнутое к ожидаемой стоимости. Нажмите на пример, чтобы загрузить его запрос.
Что такое дерево вероятностей?
Древовидная диаграмма это ветвящаяся схема, которая перечисляет все исходы последовательности событий; в теории вероятностей это дерево вероятностей, где на каждой ветви стоит вероятность одного исхода при условии предыдущих ветвей, а произведение вдоль пути даёт вероятность этого пути. Дерево читается слева направо: первый веер ветвей это первое событие (первое извлечение, бросок или результат теста), каждый следующий веер повторяется из конца каждой предыдущей ветви, а конец каждого пути это один исход всего эксперимента. Ветви, выходящие из любой точки, в сумме дают 1, как и все исходы вместе. Та же схема служит и деревьям решений, где добавляются варианты выбора и выигрыши, и иерархическим деревьям, которые показывают только, что чему подчинено.
Что рассчитывает этот инструмент
- Произведения вычисляются, а не угадываются. Каждый исход перемножается кодом вдоль своего пути и записывается как произведение, несокращённая дробь и сокращённая, например 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10.
- Дроби остаются дробями. Ветви, записанные дробями, сохраняют знаменатели, поэтому 2/4 второго извлечения не превращается незаметно в 1/2; десятичные дроби и проценты перемножаются как десятичные дроби и проценты.
- Недостающее дополнение достраивается. Если у одной ветви в точке нет вероятности, она получает 1 минус остальные (Без дождя после Дождь 0.3 становится 0.7). Ветви, сумма которых больше или меньше 1, рисуются ровно так, как вы их записали, и никогда не исправляются втихую.
- Названные события суммируются. Попросите P(ровно одна красная), хотя бы два орла, один цвет или отдельный результат вроде «тест положительный», и подходящие исходы будут сложены и записаны под деревом.
- Размер рассчитан на читаемость. До четырёх этапов и 48 исходов в одном дереве: две игральные кости (36 исходов) помещаются, три (216) нет.
Какие деревья строят чаще всего и что нужно для каждого
Большинство запросов относится к одному из этих шести видов. Они различаются тем, что пишется на ветвях и что стоит в конце путей.
Дерево вероятностей
Двух- или трёхэтапное дерево из школьного курса «Вероятность и статистика» и вузовской теории вероятностей: по вееру ветвей на каждое событие, вероятность на каждой ветви и столбец исходов справа, где каждый путь перемножен. Задайте вероятности в том виде, в каком они у вас есть (3/5, 0.6 или 60%), и назовите события, которые нужно сложить, например P(ровно одна красная).
Дерево вероятностей без возвращения
Если фишки, карты или конфеты вынимают и не кладут обратно, второй веер меняется: из 3 красных и 2 синих после Красная 3/5 идут Красная 2/4 и Синяя 2/4, а после Синяя 2/5 идут Красная 3/4 и Синяя 1/4. Опишите мешок и число извлечений, и последующие дроби будут рассчитаны кодом. С возвращением каждый этап просто повторяет первый.
Дерево условных вероятностей (формула Байеса)
Задачи о скрининге и контроле качества: первые ветви делятся по наличию заболевания (его распространённости), вторые по результату теста (чувствительность при заболевании, доля ложноположительных без него). При распространённости 2%, чувствительности 90% и 5% ложноположительных P(положительный тест) = 1.8% + 4.9% = 6.7%, поэтому болезнь есть только примерно у 27% получивших положительный результат.
Деревья для монет и игральных костей (пространство исходов)
Все ветви равновероятны: 1/2 для правильной монеты, 1/6 для кости. Три броска дают 8 исходов по 1/8, две кости 36 исходов по 1/36; попросите событие вроде хотя бы два орла (4/8 = 1/2), и оно будет подсчитано по дереву. Это самый наглядный способ показать пространство элементарных исходов.
Дерево решений
Квадраты для решений, круги для случайных событий и выигрыш в конце каждой ветви. Ожидаемые значения сворачиваются от выигрышей к корню: запуск, который с вероятностью 0.6 приносит 500 000 $, а при неудаче даёт −200 000 $, стоит 0.6 × 500 000 + 0.4 × (−200 000) = 220 000 $, поэтому он выгоднее отказа от запуска, а отвергнутая альтернатива отсекается двойной чертой.
Иерархическое и классификационное дерево
Без вероятностей, только что чему подчинено: действительные числа делятся на рациональные и иррациональные, рациональные на целые и дробные, и так далее вниз. Рисуется сверху вниз в рамках, если не попросить слева направо, до четырёх уровней под верхней рамкой.
Правила умножения и сложения, на которых стоит любое дерево
Перемножьте вероятности вдоль пути, чтобы получить вероятность этого пути, затем сложите пути, из которых состоит событие. Первое правило это общее правило умножения: каждая ветвь после первого этапа это условная вероятность, шанс B при условии, что A уже произошло. Второе это правило сложения для несовместных исходов: два разных пути одного дерева не могут случиться одновременно, поэтому их вероятности просто складываются.
P(A и B) = P(A) × P(B | A) P(событие) = Σ P(путь)
Словами
вероятность пути = произведение его ветвей; вероятность события = сумма его путей
Формула Байеса читается с того же дерева: P(A | B) = P(A и B) / P(B), то есть один путь через A и B, делённый на сумму всех путей, которые заканчиваются на B. В примере со скринингом это 1.8% / 6.7% ≈ 26.9%.
Таблица исходов: две фишки из 3 красных и 2 синих
Столбец исходов из первого примера в виде таблицы. Именно эти числа дерево пишет в конце каждого пути.
| Путь | Перемножаемые ветви | Вероятность |
|---|---|---|
| Красная, Красная | 3/5 × 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| Красная, Синяя | 3/5 × 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| Синяя, Красная | 2/5 × 3/4 | 6/20 = 3/10 |
| Синяя, Синяя | 2/5 × 1/4 | 2/20 = 1/10 |
| Все четыре пути | 20/20 = 1 |
P(ровно одна красная) = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5. С возвращением вторые дроби снова были бы 3/5 и 2/5, а P(Красная, Красная) равнялась бы 9/25, а не 3/10.
Как построить дерево вероятностей
Перечислите этапы и их исходы
Запишите события по порядку (первое извлечение, второе извлечение) и исходы, которые возможны на каждом. Каждый исход этапа получает свою ветвь из конца каждой ветви предыдущего этапа.
Поставьте вероятность на каждую ветвь
Берите вероятность с учётом того, что уже произошло: если красную фишку вынули и не вернули, в мешке на одну красную меньше. Ветви из любой точки в сумме дают 1, и это самая быстрая проверка, что ничего не пропущено.
Перемножьте вдоль, затем сложите
В конце каждого пути запишите произведение его ветвей; по всему дереву эти произведения в сумме дают 1. Для события сложите пути, которые к нему относятся, и только их.
Дерево вероятностей, таблица сопряжённости и диаграмма Эйлера–Венна
Дерево показывает события по порядку с условными вероятностями на ветвях; таблица сопряжённости показывает те же совместные вероятности сеткой ячеек; диаграмма Эйлера–Венна показывает пересечения событий, но не их порядок.
| Дерево вероятностей | Таблица сопряжённости | Диаграмма Эйлера–Венна | |
|---|---|---|---|
| Порядок событий | Показан, этап за этапом | Не показан | Не показан |
| Условные вероятности | Записаны на последующих ветвях | Вычисляются по итогу строки или столбца | Напрямую не показаны |
| Совместные вероятности | В конце каждого пути | В каждой ячейке | В каждой области |
| Больше двух этапов | По вееру на каждый этап | Неудобно, если переменных больше двух | Неудобно, если множеств больше трёх |
| Лучше всего для | Последовательных извлечений, бросков и тестов | Результатов опроса по двум признакам | Вопросов про A или B, A и B |
Большинство учебных задач можно изобразить всеми тремя способами. Дерево берите, когда вопрос об условной вероятности или события идут одно за другим.
Вопросы о деревьях вероятностей
Что такое дерево вероятностей в математике и статистике?
Это схема, где каждый исход многошагового эксперимента изображён путём по ветвям; с её помощью находят вероятности сложных событий. Каждый веер ветвей это один шаг; число путей равно числу исходов (2 × 2 × 2 = 8 для трёх монет), а произведение вероятностей вдоль пути даёт вероятность этого исхода. В комбинаторных задачах то же дерево используют без вероятностей.
Как нарисовать дерево вероятностей к задаче?
Нарисуйте по вееру ветвей на каждое событие, подпишите каждую ветвь исходом и вероятностью, затем перемножьте вдоль каждого пути. Здесь можно ввести задачу обычной фразой (мешок с 3 красными и 2 синими, два извлечения без возвращения) или ввести ветви списком с отступами, по одной на строку, с 3/5, 0.6 или 60% после названия; строка с большим отступом подвешивается к строке над ней.
Как читать вероятности в конце ветвей дерева?
Каждое число в конце пути это совместная вероятность: шанс, что все события на этом пути произойдут, причём в этом порядке. P(Красная, Синяя) = 3/5 × 2/4 = 3/10 означает: сначала красная, потом синяя. Чтобы ответить на вопрос о событии, найдите все подходящие пути и сложите их конечные значения; все конечные значения вместе дают 1.
Как меняется дерево, если шары вынимают без возвращения?
Без возвращения второй веер учитывает то, что осталось после первого извлечения, поэтому его дроби различаются от ветви к ветви. Из 3 красных и 2 синих после красной идут ветви Красная 2/4 и Синяя 2/4, после синей Красная 3/4 и Синяя 1/4. С возвращением каждый веер повторяет 3/5 и 2/5, и извлечения независимы.
Почему ветви из одной точки в сумме дают 1?
Потому что ветви, выходящие из одной точки, это все возможные результаты этого шага, и происходит ровно один из них. Если после Дождь стоят ветви Опоздание 0.4 и Вовремя 0.5, то либо пропущен исход, либо ошибка в числе. Инструмент достраивает одну недостающую ветвь дополнением, а набор, который не даёт 1, рисует ровно так, как вы его записали, ничего не исправляя.
Как найти условную вероятность по дереву?
Разделите нужный путь на сумму всех путей, удовлетворяющих данному условию. Для скринингового теста P(болезнь | тест положительный) = P(болезнь и положительный) / P(тест положительный) = 1.8% / (1.8% + 4.9%) ≈ 26.9%. Это формула Байеса, прочитанная с дерева, и именно поэтому положительный тест на редкое заболевание часто оказывается ложной тревогой.
Нужно ли сокращать дроби на дереве?
Вероятности на ветвях обычно оставляют как есть, а конечные значения часто показывают и в несокращённом, и в сокращённом виде. Если оставить 6/20 рядом с 3/10, виден общий знаменатель, и сразу ясно, что четыре исхода дают 20/20. Десятичные дроби и проценты тоже подходят; смешивайте их, только если так принято в вашем курсе, потому что дерево в одной форме проще проверить.
Дерево вероятностей это то же, что родословная, филогенетическое дерево, кладограмма или дихотомический ключ?
Нет: это четыре других вида рисунков со своими правилами, и для каждого здесь есть свой инструмент. Схема наследования признаков в семье это родословная, эволюционное дерево с длинами ветвей это филогенетическое дерево, дерево по общим производным признакам это кладограмма, а определитель из пар противопоставленных признаков это дихотомический ключ. Дерево в математике описывает исходы и их вероятности.
Изменит ли ИИ вероятности, которые я задал?
Нет. Каждое значение на ветви, произведение, сумма и ожидаемое значение вычисляются кодом до отрисовки, и модели все они передаются дословно. Её никогда не просят умножить 3/5 на 2/4. Если ваши ветви не дают в сумме 1, дерево рисуется так, как вы записали, а не исправляется втихую, поэтому проверяйте вводимые числа.
Как подписать дерево вероятностей в отчёте или статье?
Укажите, что за этапы, возвращались ли извлечённые объекты и какие числа условные. Например: Рис. 1. Дерево вероятностей для двух извлечений без возвращения из мешка с 3 красными и 2 синими фишками. Значения на ветвях это условные вероятности, значения в конце путей совместные вероятности. Для дерева решений укажите также единицы выигрыша и то, как сворачивались ожидаемые значения.
Можно ли поместить дерево решений, нарисованное ИИ, в журнальную статью?
Часто да, потому что это поясняющая схема, а не изображение ваших данных, но решает журнал. Политика Elsevier в отношении генеративного ИИ для журналов называет деревья решений среди поясняющих изображений, которые можно создавать с помощью ИИ, тогда как изображения первичных данных исследования генерировать нельзя. Проверьте правила своего журнала и укажите в методах или подписи, как сделан рисунок.
Сколько исходов помещается на одном дереве?
Здесь до четырёх этапов и 48 исходов, этого хватает на две игральные кости (36 исходов) и четыре броска монеты (16). Дальше дерево на странице уже не читается: используйте правило произведения или таблицу либо рисуйте только те ветви, которые нужны для вопроса (например, только пути, где выпала хотя бы одна шестёрка).
Источники
- 3.5 Tree and Venn Diagrams — OpenStax Introductory Statistics 2e
- Introduction to Probability (Grinstead and Snell), tree diagrams and conditional probability — Dartmouth College
- Generative AI policies for journals — Elsevier
Продолжить изучение
Другие наши инструменты для схем и руководства к ним.
Постройте своё дерево вероятностей
От условия задачи до аккуратного дерева, как в учебнике, со всеми рассчитанными исходами примерно за минуту.
Построить дерево