Построение диаграммы Боде онлайн
Введите передаточную функцию — в разложенном виде, коэффициентами числителя и знаменателя или нулями, полюсами и коэффициентом усиления. Код точно рассчитывает ЛАЧХ, ЛФЧХ, частоты сопряжения и запасы устойчивости, а ИИ рисует по ним диаграмму Боде для публикации.
Или начните с примера
Варианты оформления диаграммы Боде
По одному реальному результату на каждое оформление, каждый — для своей передаточной функции. Нажмите на карточку, чтобы применить оформление, или перенесите её передаточную функцию в поле ввода.
Что такое диаграмма Боде?
Диаграмма Боде — это частотная характеристика линейной системы в виде двух графиков на общей логарифмической оси частот: сверху ЛАЧХ в децибелах, снизу ЛФЧХ в градусах. Каждый полюс и нуль меняет наклон ЛАЧХ на фиксированную величину на своей частоте сопряжения, поэтому структура G(s) читается прямо по графику.
Об этом инструменте
- Вводите G(s) в разложенном виде, например 100/((s+1)(s+100)), списками коэффициентов в стиле MATLAB num = [1 10], den = [1 3 2] или через K, нули и полюсы — в том числе комплексные вроде −1±2j.
- Обозначения подставляются, если их задать: ωn²/(s²+2ζωn s+ωn²) при ζ = 0.2 и ωn = 10.
- Корни, частоты сопряжения, наклоны, резонансный пик, частоты среза и переворота фазы и оба запаса устойчивости рассчитываются кодом до начала рисования.
- Ось частот охватывает по две декады ниже и выше частот сопряжения, в рад/с — или в Гц, если это указано.
- Числитель и знаменатель — до 8-й степени; нули и полюсы в правой полуплоскости строятся как есть.
Как рассчитывается амплитуда в дБ
Амплитуда в децибелах равна 20 десятичным логарифмам |G(jω)|, фаза — аргументу G(jω) в градусах. Усиление в 10 раз — +20 дБ, в 0,1 раза — −20 дБ, |G| = 1 — 0 дБ.
L(ω) = 20 · lg |G(jω)|, φ(ω) = Σ arg нулей − Σ arg полюсов
Словами
Подставьте s = jω, возьмите модуль комплексного результата и переведите его в децибелы; для фазы сложите аргументы множителей нулей и вычтите аргументы множителей полюсов. Вещественный полюс на частоте ω = a даёт −3 дБ и −45° на своей частоте сопряжения и выше неё уменьшает ЛАЧХ на 20 дБ за декаду.
Множитель 20 берётся потому, что |G| — отношение амплитуд; для отношения мощностей используют 10·lg.
Как построить диаграмму Боде
Введите передаточную функцию
Напишите G(s) = 10(s+2)/(s(s+10)), вставьте списки num и den из MATLAB или задайте K, нули и полюсы. Как только ввод распознан, над полем появляются оба рассчитанных графика.
Выберите оформление
Учебник с пунктирными асимптотами, вид bode() из MATLAB с сеткой, компактный рисунок в колонку IEEE или тёмный слайд. Напишите «отметить запасы по амплитуде и по фазе», чтобы добавить отметки.
Постройте и доработайте
ИИ проводит каждую кривую через рассчитанные точки и не угадывает ни наклонов, ни фаз. Продолжайте в чате — подписи осей, заголовок, оформление — и экспортируйте в PNG, SVG или PPTX.
Как каждое звено выглядит на диаграмме Боде
Любая диаграмма Боде — сумма нескольких типовых звеньев, поэтому и работает асимптотическое приближение.
| Звено в G(s) | Наклон ЛАЧХ | Вклад в фазу | На частоте сопряжения |
|---|---|---|---|
| Усилительное K | 0 дБ/дек, уровень 20·lg|K| | 0° (±180° при K < 0) | — |
| Интегрирующее 1/s | −20 дБ/дек на всех частотах | −90° на всех частотах | пересекает 0 дБ при ω = 1 |
| Апериодическое 1/(s/a + 1) | 0, выше a −20 дБ/дек | от 0° до −90° | −3 дБ и −45° при ω = a |
| Форсирующее (s/a + 1) | 0, выше a +20 дБ/дек | от 0° до +90° | +3 дБ и +45° при ω = a |
| Колебательное (ωn, ζ) | 0, выше ωn −40 дБ/дек | от 0° до −180° | −90° при ωn; пик при ζ < 0,707 |
| Неминимально-фазовый нуль (1 − s/a) | 0, выше a +20 дБ/дек | от 0° до −90° | запаздывает по фазе, как полюс |
Асимптотическая ЛАЧХ отличается от точной не более чем на 3 дБ у вещественного полюса, но слабо демпфированное колебательное звено может сильно превышать её — при ζ = 0,2 резонансный пик около +8 дБ.
Диаграмма Боде, годограф Найквиста и диаграмма Никольса
Все три показывают одну и ту же частотную характеристику G(jω): диаграмма Боде разделяет амплитуду и фазу по частоте, годограф Найквиста рисует её одной кривой на комплексной плоскости, диаграмма Никольса — амплитуду в зависимости от фазы.
| Вопрос | Боде | Найквист | Никольс |
|---|---|---|---|
| Оси | Частота (лог.) против дБ и против градусов | Вещественная часть против мнимой | Фаза (°) против амплитуды (дБ) |
| Частота видна | Да, по оси абсцисс | Только метками на кривой | Только метками на кривой |
| Запасы по амплитуде и фазе | Считываются на частотах среза | Расстояние и угол до точки −1 | Расстояние до точки (−180°, 0 дБ) |
| Неустойчивая разомкнутая система | Одних запасов недостаточно | Решает критерий Найквиста | Не напрямую |
| Построение вручную | Легко, по асимптотам | Сложнее | Редко |
Запасы, считанные с диаграммы Боде, предполагают устойчивость разомкнутой системы. Если у G(s) есть полюсы в правой полуплоскости, инструмент всё равно строит и отмечает запасы, но об устойчивости замкнутой системы судят по критерию Найквиста.
Где применяют диаграммы Боде
Везде, где отклик системы зависит от частоты: в системах автоматического управления, фильтрах, усилителях и механических колебаниях.
Синтез регуляторов
ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы с отмеченными запасами по амплитуде и фазе — чтобы настроить регулятор и понять, какое усиление или запаздывание выдержит контур.
Проектирование фильтров
ФНЧ, ФВЧ и полосовые фильтры с частотой среза и крутизной спада — для аналоговой электроники и обработки сигналов.
Корректирующие звенья
«Горб» фазы опережающего звена и частота его максимума — стандартный рисунок любого отчёта по синтезу.
Учёба и экзамены
Аккуратные графики в стиле учебника с пунктирными асимптотами для лабораторных, лекционных слайдов и решений задач.
Вопросы о диаграмме Боде
Как построить диаграмму Боде по передаточной функции?
Введите передаточную функцию в поле — например G(s) = 100/((s+1)(s+100)), — выберите оформление и запустите генерацию. ЛАЧХ, ЛФЧХ, частоты сопряжения и запасы появляются над полем до списания кредитов, и рисунок строится ровно по этим числам.
Как определить запас по амплитуде и запас по фазе по диаграмме Боде?
Запас по фазе — это 180° плюс фаза на частоте среза, где ЛАЧХ пересекает 0 дБ; запас по амплитуде — амплитуда в дБ со знаком минус на частоте, где фаза достигает −180°. Инструмент рассчитывает оба и отмечает их по запросу; если фаза не доходит до −180°, запас по амплитуде бесконечен.
Что такое частота сопряжения?
Это частота, на которой полюс или нуль начинает менять наклон ЛАЧХ, — ω, равная модулю корня. Для вещественного полюса кривая проходит там на 3 дБ ниже асимптоты, а фаза уже повернулась на 45°.
Какой наклон дают полюсы и нули?
Каждый вещественный полюс даёт −20 дБ/дек выше своей частоты сопряжения, каждый вещественный нуль +20 дБ/дек, комплексная пара ±40 дБ/дек. Интегрирующее звено (полюс в s = 0) даёт −20 дБ/дек с самых низких частот.
Как перевести амплитуду в децибелы?
Умножьте десятичный логарифм амплитуды на 20: 20·lg|G(jω)|. Усиление 10 — это 20 дБ, 100 — 40 дБ, 0,707 — около −3 дБ, 1 — 0 дБ.
Это то же самое, что команда bode() в MATLAB?
Расчёт тот же — |G(jω)| в дБ и arg G(jω) в градусах на логарифмической сетке частот — и принимаются те же списки num/den. Оформление MATLAB повторяет вид bode(); сам рисунок строит ИИ по рассчитанным кривым, так что это иллюстрация, а не выгрузка данных.
Можно ли задать колебательное звено через коэффициент демпфирования и собственную частоту?
Да — напишите ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) при ζ = 0.2 и ωn = 10 или сразу числа. При демпфировании меньше 0,707 появляется резонансный пик, его высота и частота рассчитываются и рисуются точно.
Что такое асимптоты на диаграмме Боде?
Это асимптотическая ЛАЧХ: горизонтальные и наклонные отрезки, сопрягающиеся на частотах сопряжения. Оформление «Учебник» рисует их пунктиром за настоящей кривой, остальные — только по запросу.
Можно ли ось частот сделать в Гц, а не в рад/с?
Да — напишите в описании «в Гц», и все частоты разделятся на 2π. Иначе ось в рад/с — естественных единицах для передаточной функции от s.
ИИ не меняет и не выдумывает кривые?
Нет. Корни, наклоны, точки кривых, частоты сопряжения и запасы рассчитываются кодом и записываются в промпт. При каждой перегенерации они пересчитываются из вашей передаточной функции, поэтому смена оформления не сдвигает ни одной частоты сопряжения.
Этот калькулятор диаграмм Боде бесплатный?
Для начала да — каждый новый аккаунт получает 100 бесплатных кредитов, карта при регистрации не нужна. Рассчитанный предпросмотр бесплатен; кредиты списываются только при генерации рисунка.
Источники
- bode — Bode frequency response of dynamic system — MathWorks (документация MATLAB)
- Control Systems Engineering, 8th Edition (Norman S. Nise) — Wiley
- Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика — Википедия
Продолжить изучение
Другие наши инструменты для схем и руководства к ним.
Постройте диаграмму Боде
От передаточной функции до рисунка для публикации примерно за минуту — кривые рассчитаны точно, оформление за ИИ.
Начать