Тригонометрический круг
Полный тригонометрический круг (единичная окружность) для старших классов и подготовки к ЕГЭ: все 16 углов в градусах и радианах, координаты (cos, sin) и значения тангенса. Проверьте любой угол в калькуляторе, распечатайте пустой круг или потренируйтесь в тесте.
Тригонометрический круг можно скачать бесплатно, без регистрации. Рисуется прямо в браузере.
Стили тригонометрического круга
Четыре варианта оформления, которые рисует ИИ-генератор тригонометрического круга, каждый на своём круге. Значения берутся из той же точной таблицы, что и в бесплатном круге; меняются только линии, цвет и фон. Нажмите на карточку, чтобы загрузить её промпт.
Примеры тригонометрического круга
Четыре примера тригонометрического круга, каждый — настоящий результат промпта на своей карточке: полный круг, координаты со значениями тангенса, шпаргалка с особыми прямоугольными треугольниками и круг для заполнения. Нажмите на карточку, чтобы загрузить её в генератор выше.
Справочный круг, который лежит рядом с домашкой.
Когда в программе дошли до тангенса.
Вся контрольная по тригонометрии на одной странице.
Заполните по памяти, затем проверьте себя.
Что такое тригонометрический круг?
Тригонометрический круг — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат, и точка, в которой её пересекает сторона угла θ, имеет координаты (cos θ, sin θ). Углы отсчитываются от положительного направления оси x против часовой стрелки, поэтому каждому углу соответствует одна точка: её абсцисса — косинус, ордината — синус, а tan θ = sin θ / cos θ (в российских учебниках тангенс обозначают tg θ). Строгое название — единичная окружность, в школе её чаще называют тригонометрической или числовой окружностью.
Что умеет этот тригонометрический круг
- Показывает все 16 стандартных углов в градусах и радианах с точными координатами (cos θ, sin θ).
- По желанию добавляет tan θ у каждого угла, а tan 90° и tan 270° отмечает как не определённые.
- Выделяет любой угол с его опорным треугольником и подписанными катетами cos θ и sin θ.
- Вычисляет значения любого угла в градусах или радианах и находит углы по заданному синусу, косинусу или тангенсу.
- Печатает пустой тригонометрический круг как рабочий лист, ответы на второй странице.
- Скачивается в PNG, SVG или PDF прямо из браузера, в цвете или в чёрно-белом варианте.
Как пользоваться тригонометрическим кругом
- 1
Отложите угол
Начните с положительного направления оси x и поворачивайте против часовой стрелки: 90° (π/2) — вверху, 180° (π) — слева, 270° (3π/2) — внизу. Отрицательные углы откладываются по часовой стрелке.
- 2
Прочитайте координаты
Точка на окружности — это (cos θ, sin θ). Для 30° это (√3/2, 1/2), значит, cos 30° = √3/2 и sin 30° = 1/2.
- 3
Разделите, чтобы найти тангенс
tan θ = sin θ / cos θ, поэтому tan 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = √3/3. Там, где cos θ = 0, при 90° и 270°, tan θ не определён.
Таблица значений тригонометрического круга для 16 углов
Тригонометрический круг — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Точка, в которой её пересекает угол θ, имеет координаты (cos θ, sin θ), поэтому каждая строка таблицы — одна точка: x — косинус, y — синус, а tan θ равен y, делённому на x.
| Градусы | Радианы | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | не определён |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | не определён |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
16 углов — это кратные 30° и 45° от 0° до 330°. Любой другой угол на тригонометрическом круге использует те же значения со знаками своей четверти.
sec, csc и cot на тригонометрическом круге
Остальные три функции обратны первым трём: sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ, cot θ = cos θ/sin θ (в российских учебниках котангенс пишут ctg, а секанс и косеканс в школе почти не встречаются). В первой четверти они равны:
| Угол | sec θ | csc θ | cot θ |
|---|---|---|---|
| 0° (0) | 1 | не определён | не определён |
| 30° (π/6) | 2√3/3 | 2 | √3 |
| 45° (π/4) | √2 | √2 | 1 |
| 60° (π/3) | 2 | 2√3/3 | √3/3 |
| 90° (π/2) | не определён | 1 | 0 |
Четверти и знаки на тригонометрическом круге
Четверть задаёт знаки cos θ и sin θ, а опорный угол — их модули.
| Четверть | Углы | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ | Положительны |
|---|---|---|---|---|---|
| I | от 0° до 90° (от 0 до π/2) | + | + | + | Все функции |
| II | от 90° до 180° (от π/2 до π) | − | + | − | Только синус |
| III | от 180° до 270° (от π до 3π/2) | − | − | + | Только тангенс |
| IV | от 270° до 360° (от 3π/2 до 2π) | + | − | − | Только косинус |
Углы на осях не принадлежат ни одной четверти. При 0°, 90°, 180° и 270° одна координата равна 0, а другая 1 или −1.
Тангенс на тригонометрическом круге
Тангенс — единственное значение, которое координаты не показывают напрямую. На тригонометрическом круге tan θ = sin θ / cos θ = y / x, и у него есть своя картинка: продлите радиус до пересечения с вертикальной прямой x = 1, линией тангенсов, которая касается окружности в точке (1, 0). Высота точки пересечения и есть tan θ.
- tan θ положителен в I и III четвертях, где x и y одного знака, и отрицателен во II и IV.
- При 90° и 270° точка — это (0, ±1), значит, x = 0 и tan θ не определён: радиус параллелен прямой x = 1 и никогда её не пересекает.
- Значения √3/3, 1 и √3 при 30°, 45° и 60° повторяются в каждой четверти со знаком этой четверти. Включите tan в круге выше, чтобы вывести их на тригонометрический круг.
Тригонометрический круг в радианах
Радиан измеряет угол длиной дуги, которую он отсекает на единичной окружности: полный оборот — это дуга длиной 2π, поэтому 360° = 2π и 180° = π. Чтобы перевести градусы в радианы, умножьте на π/180 (150° × π/180 = 5π/6), а радианы в градусы — на 180/π. 16 радианных мер на тригонометрическом круге делятся на четыре семейства по знаменателю:
| Семейство | Опорный угол | Радианные меры | Градусы |
|---|---|---|---|
| Знаменатель 6 | 30° | π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 | 30°, 150°, 210°, 330° |
| Знаменатель 4 | 45° | π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 | 45°, 135°, 225°, 315° |
| Знаменатель 3 | 60° | π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3 | 60°, 120°, 240°, 300° |
| На осях | 0° или 90° | 0, π/2, π, 3π/2 | 0°, 90°, 180°, 270° |
Сначала смотрите на знаменатель: он подсказывает опорный угол, а значит, и значения, а числитель — четверть.
Пустой тригонометрический круг для заполнения
Пустой тригонометрический круг — привычный способ выучить значения: точки и радиусы нарисованы, а подписи вы ставите сами. Вкладка «Пустой круг» выше печатает три распространённых варианта, у каждого ответы на второй странице.
- Градусы даны: впишите радианы и координаты, как в обычной школьной контрольной.
- Полностью пустой: все клетки для градусов, радиан и координат пустые, чтобы проверить себя по памяти.
- С тангенсом: дополнительная клетка под каждой парой координат для значений тангенса.
Тест и калькулятор по тригонометрическому кругу
Два способа проверить себя, когда тригонометрический круг уже знаком.
Тест по тригонометрическому кругу
Раунды по десять вопросов в пяти режимах: найти точку на круге без подписей, перевести градусы в радианы и обратно, назвать координаты угла или его sin, cos или tan. При ошибке правильный ответ показывается на круге.
Калькулятор тригонометрического круга
Введите любой угол в градусах или радианах, в том числе отрицательный или больше 360°: −45°, 7π/3, 2.5 rad. Калькулятор покажет четверть, опорный угол, два угла с той же точкой и все шесть тригонометрических функций, точно, если угол кратен 15°.
Как запомнить тригонометрический круг
Никто не учит тригонометрический круг как 48 отдельных чисел. Выучите первую четверть, а остальное сделают симметрия и знаки.
- 1
Запомните закономерность 1-2-3
Для 0°, 30°, 45°, 60°, 90° sin θ идёт как √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, то есть 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. cos θ — тот же ряд в обратном порядке.
- 2
Используйте правило ладони
Поднимите левую руку ладонью к себе и сопоставьте пальцам углы 0°, 30°, 45°, 60°, 90° от мизинца к большому пальцу. Загните палец своего угла: sin θ = √(пальцы со стороны мизинца)/2, а cos θ = √(пальцы со стороны большого пальца)/2. Для 30° загните безымянный: один палец со стороны мизинца даёт sin 30° = 1/2, три со стороны большого пальца дают cos 30° = √3/2.
- 3
Отражайте через опорный угол
Любой угол во II–IV четвертях имеет те же модули значений, что и его опорный угол, острый угол до оси x. Углы 150°, 210° и 330° используют значения 30° — это и есть формулы приведения.
- 4
Знаки по четвертям
В I четверти положительны все три функции, во II только синус, в III только тангенс, в IV только косинус.
Зачем нужен тригонометрический круг
Тригонометрический круг переносит синус и косинус с острых углов прямоугольного треугольника на любые углы: положительные, отрицательные и больше 360°.
Значения любого угла
Опорный угол и знак четверти (то есть формулы приведения) дают sin, cos и tan углов 150°, −45° или 480° через значения первой четверти.
Графики синуса и косинуса
Если следить за ординатой, пока θ обходит круг, получится синусоида, а за абсциссой — косинусоида, обе с периодом 2π.
Решение тригонометрических уравнений
У sin θ = 1/2 на одном обороте два решения, 30° и 150°, — две точки окружности на высоте 1/2. Так же на круге отбирают корни в задаче с уравнением профильного ЕГЭ.
Вращение и колебания в физике
Движение по окружности, переменный ток и векторные диаграммы описывают точку, которая вращается по окружности, а cos и sin фазы дают её x и y.
Частые вопросы о тригонометрическом круге
Что такое тригонометрический круг?+
Тригонометрический круг — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат (0, 0), её также называют единичной или числовой окружностью. Угол θ, отложенный от положительного направления оси x, пересекает её в точке (cos θ, sin θ), поэтому на тригонометрическом круге косинус и синус — это координаты.
Почему радиус тригонометрического круга равен 1?+
В прямоугольном треугольнике sin θ = противолежащий катет/гипотенуза и cos θ = прилежащий катет/гипотенуза. Если гипотенуза равна 1, дроби исчезают: прилежащий катет равен cos θ, противолежащий равен sin θ, и они становятся координатами x и y точки.
Как найти синус и косинус по тригонометрическому кругу?+
Найдите опорный угол (острый угол до оси x), возьмите его значения из первой четверти и поставьте знаки четверти. У 210° опорный угол 30°, и он лежит в III четверти, значит, его точка (−√3/2, −1/2). Калькулятор рядом с тригонометрическим кругом на этой странице делает это для любого угла.
Как найти тангенс на тригонометрическом круге?+
Разделите координату y на координату x: tan θ = sin θ / cos θ. При 135° точка (−√2/2, √2/2), значит, tan 135° = −1. Там, где x = 0, при 90° и 270°, tan θ не определён. Тангенс можно также прочитать на линии тангенсов x = 1. Включите tan в тригонометрическом круге выше, чтобы вывести все 16 значений.
Какие углы отмечают на тригонометрическом круге?+
0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315° и 330°; в радианах 0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5π/6, π, 7π/6, 5π/4, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 7π/4 и 11π/6.
Как перевести градусы в радианы?+
Умножьте на π/180 и сократите: 225° × π/180 = 5π/4. Обратно — умножьте радианы на 180/π: 7π/6 × 180/π = 210°. Каждая радианная мера на тригонометрическом круге выше — такое произведение после сокращения.
Как отмечать отрицательные углы на тригонометрическом круге?+
Отрицательный угол откладывается от положительного направления оси x по часовой стрелке. −45° попадает туда же, куда и 315°, поэтому у них общая точка (√2/2, −√2/2). В общем виде cos(−θ) = cos θ и sin(−θ) = −sin θ.
Как нарисовать тригонометрическую окружность?+
Нарисуйте оси x и y и окружность радиуса 1 с центром в их пересечении. Отметьте 0°, 90°, 180° и 270° там, где окружность пересекает оси, затем 30°, 45° и 60° в первой четверти и отразите эти три точки в остальные четверти. Подпишите у каждой точки угол и (cos θ, sin θ) или скачайте готовый тригонометрический круг выше в PNG или SVG.
Источники
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions — Precalculus 2e, OpenStax
- §4.14 Definitions and Periodicity (trigonometric functions) — NIST Digital Library of Mathematical Functions
Продолжить изучение
Другие наши инструменты для схем и руководства к ним.
Распечатайте нужный тригонометрический круг
Полный круг, только радианы, первая четверть или пустой круг с ответами, бесплатно в браузере, либо плакат или иллюстрированный круг от ИИ-генератора.
Вернуться к тригонометрическому кругу