Построить кривую нормального распределения
Кривые нормального распределения по среднему и SD: полосы 68-95-99.7, заштрихованная область с точной вероятностью, z-оценки, пороги процентилей или две наложенные кривые. Для занятий по статистике, экзаменов и статей.
Стили кривых нормального распределения
Четыре стиля, каждый на своей кривой: полосы оценок от A до F на экзамене в цветах учебника, доля женщин ростом от 155 до 176 см, заштрихованная чёрно-белой штриховкой для контрольной работы, кривая, подогнанная к длине крыла 40 плодовых мушек, в виде журнальной панели с осью плотности и рядом штрихов, и верхние 10% суточного числа шагов на тёмном слайде.
Примеры кривых нормального распределения
Четыре реальных рендера, каждый построен по запросу со своей карточки: баллы IQ со скобками 68%, 95% и 99.7% по правилу трёх сигм, масса тела новорождённых с заштрихованным хвостом ниже 2500 г при P = 0.0359, две критические области по 0.0250 для z-критерия при α = 0.05 и кривые давления в группах плацебо и препарата, у которых общая площадь составляет 66.82%. Нажмите на карточку, чтобы загрузить её запрос.
Что такое кривая нормального распределения?
Колоколообразная кривая это график плотности нормального распределения: симметричная кривая с одной вершиной в точке среднего, ширину которой задаёт стандартное отклонение. Площадь под ней между двумя значениями равна вероятности попасть между ними, поэтому заштрихованная область отвечает на вопрос вроде «какая доля баллов IQ ниже 85» (15.87%). Кривая нигде не касается оси; на расстоянии одного стандартного отклонения от среднего её высота падает до 61% от максимума, и ровно там находится точка перегиба.
Об этом инструменте
- Вводите параметры так, как их записывают в вашем курсе: среднее 100, SD 15; μ = 0, σ = 1; 72 ± 8; N(100, 15²). Если вставить список сырых значений, кривая будет построена по выборочному среднему x̄ и выборочному SD s (n − 1).
- Площади областей вычисляются по функции нормального распределения до отрисовки и печатаются с четырьмя знаками: P(X < 85) = 0.1587 и P(85 < X < 115) = 0.6827 при среднем 100 и SD 15.
- Пороги в процентах находятся через обратную функцию распределения: верхние 5% баллов IQ начинаются с 124.67, а 90-й процентиль стандартного нормального распределения равен z = 1.282.
- Ось x охватывает от μ − 4σ до μ + 4σ с делением на каждом стандартном отклонении (или на круглых числах, если заданная граница попадает между ними); на ней может быть до трёх кривых, каждая с названием в легенде.
- Рисуется только нормальное распределение и без столбцов: для измеренных данных с нормальной кривой поверх используйте построение гистограммы, которое разобьёт выборку на интервалы в шкале плотности.
Какие графики нормального распределения можно построить
Семь рисунков нормального распределения, ради которых сюда приходят, что показывает каждый и какими словами его попросить.
Правило трёх сигм (68-95-99.7)
Кривая, разрезанная на полосы по каждому стандартному отклонению: 34.13% по обе стороны от среднего, 13.59% от одного до двух SD, 2.14% от двух до трёх и 0.13% в каждом хвосте. Напишите «правило трёх сигм» или «68-95-99.7», и подписи будут такими, как правило преподают (68%, 95% и 99.7% на вложенных скобках, 34%, 13.5%, 2.35% и 0.15% в полосах); напишите «полосы стандартных отклонений», чтобы получить точные площади с двумя знаками после запятой.
Кривая с отмеченными стандартными отклонениями
Нормальная кривая, ось которой размечена от μ − 3σ до μ + 3σ; этот рисунок стоит за любым вопросом о том, насколько значение далеко от среднего. IQ со средним 100 и SD 15 даёт деления 55, 70, 85, 100, 115, 130 и 145; попросите подписи σ или z-оценки, и под числами появится второй ряд.
Заштрихованная площадь под нормальной кривой
Одна область ниже, выше, между или вне заданных значений, с напечатанной на ней вероятностью. Среднее 3400 г, SD 500 г, штриховка ниже 2500 г даёт P(X < 2500) = 0.0359; рост женщин со средним 162 см и SD 7 см, штриховка от 155 до 176 см даёт 0.8186. От каждой границы до кривой проводится своя вертикальная линия.
Кривая z-оценок
Стандартная нормальная кривая со средним 0 и SD 1 на оси z от −4 до 4. Отметьте z-оценку, заштрихуйте площадь слева от неё для рисунка к таблице стандартного нормального распределения или заштрихуйте обе критические области двустороннего критерия: при α = 0.05 критические значения ±1.96 и по 0.0250 в каждом хвосте, при α = 0.01 ±2.576.
Оценивание по кривой с порогами оценок
Распределение баллов за экзамен, где полоса каждой оценки залита своим цветом и на ней напечатана доля студентов. Среднее 72 и SD 8 при A выше 88, B от 80 до 88, C от 64 до 80, D от 56 до 64 и F ниже 56 дают 2.28%, 13.59%, 68.27%, 13.59% и 2.28%. Оценивание по процентилям работает наоборот: «верхние 10% получают A» возвращает пороговый балл.
Две наложенные нормальные кривые
Опыт против контроля или один метод против другого на общей оси с легендой. Попросите перекрытие, и общая площадь будет вычислена: плацебо при 138 мм рт. ст. и препарат при 126 мм рт. ст., оба с SD 14, перекрываются на 66.82% при d Коэна = 0.86. Кривые с разными SD пересекаются в двух точках, и обе находятся.
Нормальная кривая, подогнанная к выборке
Вставьте сырые измерения, и кривая будет построена по их среднему и выборочному стандартному отклонению, рядом напечатаются n, x̄ и s, а по запросу ряд штрихов со значениями. Если нужно, чтобы под кривой были столбцы сгруппированных данных, это уже гистограмма с наложенной нормальной кривой.
Правило трёх сигм (68-95-99.7): точные значения
Запоминают округлённое правило, а на рисунке должны стоять точные площади. Каждая строка вычислена по Φ, функции стандартного нормального распределения, и для наглядности показана в шкале IQ.
| Интервал | Площадь внутри | Площадь снаружи | Шкала IQ (среднее 100, SD 15) |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68.27% | 31.73% | от 85 до 115 |
| μ ± 1.645σ | 90.00% | 10.00% | от 75.3 до 124.7 |
| μ ± 1.96σ | 95.00% | 5.00% | от 70.6 до 129.4 |
| μ ± 2σ | 95.45% | 4.55% | от 70 до 130 |
| μ ± 2.576σ | 99.00% | 1.00% | от 61.4 до 138.6 |
| μ ± 3σ | 99.73% | 0.27% | от 55 до 145 |
95% нормального распределения лежит в пределах 1.96 стандартного отклонения от среднего, а не 2. В двух SD помещается 95.45%; множитель 1.96 стоит за 95% доверительным интервалом и является критическим значением двустороннего критерия при α = 0.05.
Формула нормальной кривой и z-оценка
Колоколообразная кривая это плотность нормального распределения f(x), а любая вероятность, прочитанная по ней, это площадь под f, которую находят стандартизацией z = (x − μ)/σ. z-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего, поэтому одна таблица Φ отвечает на вопросы в любой нормальной шкале, от баллов IQ до граммов.
f(x) = e^(−(x − μ)² / 2σ²) / (σ√(2π)) z = (x − μ) / σ P(X < x) = Φ(z)
Словами
Высота убывает с квадратом расстояния от μ; площадь слева от x равна Φ(z).
Φ не выражается в элементарных функциях. Генератор вычисляет её через функцию ошибок с двойной точностью, Φ(z) = ½[1 + erf(z/√2)], поэтому напечатанные 0.1587 или 0.9750 верны во всех четырёх знаках, а обратная функция Φ⁻¹ превращает заданный процентиль в порог.
Где используется нормальная кривая
Колоколообразные кривые появляются везде, где измерение описывают средним и стандартным отклонением, а читателю нужно увидеть, что значит этот разброс.
Референсные интервалы в лабораторной диагностике
Многие референсные интервалы это центральные 95% здоровой популяции, то есть среднее ± 1.96 SD, если показатель распределён нормально; заштрихованная середина показывает, какие результаты помечаются как повышенные или пониженные.
Оценивание по кривой
Пороги ставятся на фиксированных расстояниях в SD или по процентилям; рисунок показывает группе, где проходит каждая граница оценки и какую долю студентов вмещает каждая полоса.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
Критические области z-критерия, значение p как площадь хвоста за наблюдаемым z, 95% интервал как центральные 95%: стандартные рисунки вводного курса статистики.
Стандартизованные тестовые баллы
IQ (среднее 100, SD 15) и T-баллы (среднее 50, SD 10) определены на нормальной шкале, поэтому процентильный ранг читается прямо с кривой: IQ 130 на два SD выше среднего, это выше 97.72% результатов.
Вопросы о нормальном распределении
Как построить кривую нормального распределения?
Задайте среднее и стандартное отклонение, укажите, какую область заштриховать, и запустите генерацию. Например: «Баллы IQ, среднее 100, SD 15, заштриховать область выше 130 и вывести вероятность». Деления оси на каждом стандартном отклонении, высоты кривой и P(X > 130) = 0.0228 вычисляются до того, как что-либо рисуется. В Excel тот же рисунок требует столбца значений x, функции НОРМ.РАСП для каждого и графика со сглаженными линиями.
Что говорит правило трёх сигм (68-95-99.7)?
Около 68% нормального распределения лежит в пределах одного стандартного отклонения от среднего, 95% в пределах двух и 99.7% в пределах трёх. Точные площади 68.27%, 95.45% и 99.73%. Правило верно только для нормальных данных; для произвольного распределения неравенство Чебышёва гарантирует в пределах двух стандартных отклонений лишь 75%.
Как найти вероятность заштрихованной области под кривой?
Переведите каждую границу в z-оценку, z = (x − μ)/σ, затем возьмите Φ(z) для площади ниже, 1 − Φ(z) для площади выше и разность двух значений Φ для площади между. При среднем 100 и SD 15: P(X < 85) = Φ(−1) = 0.1587, P(X > 115) = 0.1587, P(85 < X < 115) = 0.6827. Эта страница строит рисунки, а не служит калькулятором нормального распределения, но выполняет ровно эти вычисления и печатает результат на заштрихованной области.
Что такое z-оценка на нормальной кривой?
Число стандартных отклонений, на которое значение отстоит от среднего, z = (x − μ)/σ. Рост 176 см при среднем 162 см и SD 7 см имеет z = 2.00, и ниже него лежит 97.72% распределения. У стандартной нормальной кривой ось x и есть шкала z, поэтому критические значения ±1.96 можно отметить прямо на ней.
Как заштриховать верхние 5% или отметить процентиль?
Укажите долю в процентах, и порог будет найден через обратную функцию нормального распределения. Верхние 5% баллов IQ начинаются с 124.67 (z = 1.645), нижние 10% заканчиваются на 80.78 (z = −1.282), а 90-й процентиль суточного числа шагов при среднем 8000 и SD 2000 равен 10 563.
Что строить: нормальную кривую или гистограмму?
Гистограмма показывает измеренные данные; нормальная кривая показывает модель, нормальное распределение с заданными средним и SD. Чтобы проверить, похожа ли выборка на нормальную, постройте её гистограмму с наложенной нормальной кривой в шкале плотности. Отдельную кривую рисуют, чтобы объяснить распределение, отметить пороги или показать вероятность.
Что писать в подписи к кривой нормального распределения?
Назовите распределение, его параметры и смысл штриховки, например: «Нормальное распределение со средним 100 и SD 15; заштрихованная область, P(X < 85) = 0.1587, это доля баллов ниже 85». Для подогнанной кривой приведите n, x̄ и s и укажите, что кривая это нормальная аппроксимация, а не сами данные. Если μ и σ взяты из опубликованных данных о популяции, дайте ссылку.
Можно ли сравнить две нормальные кривые на одном графике?
Да: до трёх кривых на общей оси, каждая своим цветом и с одним упоминанием в легенде. Две кривые с равными SD пересекаются посередине между средними; при неравных SD они пересекаются дважды, по одному разу с каждой стороны от вершины более узкой кривой. Попросите перекрытие или d Коэна, и они тоже будут напечатаны.
Меняет ли ИИ моё среднее, SD или вероятности?
Нет. Каждое деление, высота кривой в семнадцати точках, z-оценка каждой границы и каждая вероятность области сначала вычисляются по вашим параметрам, а модели изображений велено их расставить, а не вычислять. Общий запрос без параметров рисуется как стандартное нормальное распределение (среднее 0, SD 1); для IQ и T-баллов используются значения, которыми эти шкалы определены.
Достаточно ли мои данные нормальны, чтобы рисовать их колоколом?
Нормальная кривая подходит переменной, примерно симметричной относительно одной вершины; сначала проверьте это по гистограмме или нормальному графику Q-Q. Правоасимметричные измерения, такие как время реакции, доходы или титры антител, нормальная кривая сильно искажает, и их лучше показывать как есть или после логарифмирования.
Источники
- 1.3.6.6.1. Normal Distribution — NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods
- 6.1 The Standard Normal Distribution — OpenStax, Introductory Statistics 2e
Продолжить изучение
Другие наши инструменты для схем и руководства к ним.
Инструменты
Постройте нормальную кривую с уже рассчитанной вероятностью
Введите среднее и SD, назовите область для штриховки и получите график нормального распределения для занятия, экзамена или статьи.
Построить кривую