波德圖線上繪製工具
輸入轉移函數即可：因式分解形式、分子分母係數，或零點、極點與增益皆可。增益、相位、轉折頻率與穩定邊限由程式精確計算，AI 依這些數值畫出可發表的波德圖。
或從範例開始
波德圖風格
每種風格一張實際產生的圖，各用不同的轉移函數——點選卡片套用風格，或把它的轉移函數帶進輸入框。
什麼是波德圖？
波德圖以共用同一對數頻率軸的兩張圖表示線性系統的頻率響應：上圖是以分貝表示的增益曲線，下圖是以度表示的相位曲線。 每個極點與零點都會在其轉折頻率讓增益曲線的斜率改變固定量，因此 G(s) 的結構可以直接從圖上讀出。
關於這個波德圖工具
- G(s) 可寫成因式分解形式如 100/((s+1)(s+100))，也可寫成 MATLAB 風格的係數串列 num = [1 10], den = [1 3 2]，或給出 K、零點與極點（支援 −1±2j 這類複數根）。
- 定義了符號就會自動代入：ωn²/(s²+2ζωn s+ωn²)，ζ = 0.2，ωn = 10。
- 根、轉折頻率、斜率、共振峰、增益交越與相位交越頻率以及兩個穩定邊限，都在繪圖前由程式算好。
- 頻率軸涵蓋轉折頻率上下各兩個十倍頻，單位 rad/s；要求 Hz 時改用 Hz。
- 分子與分母最高 8 階；右半平面的零極點也依計算結果繪製。
增益的分貝值怎麼算
增益等於 |G(jω)| 的常用對數乘以 20，相位是 G(jω) 的幅角（度）。 放大 10 倍是 +20 dB，0.1 倍是 −20 dB，|G| = 1 是 0 dB。
|G(jω)|dB = 20 · log₁₀ |G(jω)|, ∠G(jω) = Σ∠零點 − Σ∠極點
換句話說
將 s = jω 代入，求複數結果的大小並換算成分貝；相位則把各零點因子的幅角相加，再減去各極點因子的幅角。位於 ω = a 的實極點在轉折頻率處貢獻 −3 dB 與 −45°，並使更高頻段的增益每十倍頻下降 20 dB。
|G| 是振幅比，所以用 20·log₁₀；功率比才用 10·log₁₀。
如何繪製波德圖
輸入轉移函數
寫 G(s) = 10(s+2)/(s(s+10))，或貼上 MATLAB 的 num、den 串列，或給出 K、零點與極點。一經辨識，算好的兩張圖就會出現在輸入框上方。
選擇風格
漸近線畫成虛線的教科書風格、帶格線的 MATLAB bode() 風格、IEEE 論文單欄插圖，或深色簡報。寫上「標出增益邊限與相位邊限」即可加上邊限標註。
產生並修改
AI 讓每條曲線確實通過計算出的點，不估計任何斜率或相位。可在對話中繼續修改座標軸、標題與風格，再匯出為 PNG、SVG 或 PPTX。
各基本因子在波德圖上的作用
任何波德圖都是少數幾個基本因子的疊加，所以折線近似才成立。
| G(s) 中的因子 | 增益斜率 | 相位貢獻 | 轉折頻率處 |
|---|---|---|---|
| 增益 K | 0 dB/dec，高度 20·log₁₀|K| | 0°（K < 0 時 ±180°） | — |
| 積分器 1/s | 全頻段 −20 dB/dec | 所有頻率 −90° | 在 ω = 1 處穿過 0 dB |
| 實極點 1/(s/a + 1) | 先 0，a 之後 −20 dB/dec | 0° 到 −90° | ω = a 處 −3 dB、−45° |
| 實零點 (s/a + 1) | 先 0，a 之後 +20 dB/dec | 0° 到 +90° | ω = a 處 +3 dB、+45° |
| 共軛複數極點 (ωn, ζ) | 先 0，ωn 之後 −40 dB/dec | 0° 到 −180° | ωn 處 −90°；ζ < 0.707 出現共振峰 |
| 右半平面零點 (1 − s/a) | 先 0，a 之後 +20 dB/dec | 0° 到 −90° | 像極點一樣落後——非最小相位 |
折線近似在實極點轉折處的誤差最多 3 dB，但阻尼小的複數極點會遠高於折線——ζ = 0.2 時共振峰約為 +8 dB。
波德圖、奈氏圖與尼可士圖的差別
三者表示同一個頻率響應 G(jω)：波德圖把增益與相位分別畫成頻率的函數，奈氏圖把它畫成複數平面上的一條軌跡，尼可士圖則畫增益隨相位的變化。
| 比較項目 | 波德圖 | 奈氏圖 | 尼可士圖 |
|---|---|---|---|
| 座標軸 | 頻率（對數）對 dB、對度 | 實部對虛部 | 相位（度）對增益（dB） |
| 能否直接讀頻率 | 能，在橫軸上 | 只能靠曲線上的標記 | 只能靠曲線上的標記 |
| 增益邊限與相位邊限 | 在交越頻率處直接讀 | 到 −1 點的距離與角度 | 到 (−180°, 0 dB) 點的距離 |
| 開迴路不穩定時 | 只看邊限無法判斷 | 以奈氏準則判斷 | 無法直接判斷 |
| 手繪 | 用漸近線很容易 | 較難 | 很少 |
從波德圖讀出的穩定邊限以開迴路穩定為前提。G(s) 含右半平面極點時，工具仍會繪出並標示邊限，但閉迴路穩定性需要以奈氏準則判斷。
波德圖用在哪裡
凡是響應隨頻率變化的系統都會用到波德圖——回授控制、濾波器、放大器與機械振動。
控制系統設計
標出增益邊限與相位邊限的開迴路波德圖，用來調整控制器，判斷迴路能承受多少增益或延遲。
濾波器設計
低通、高通、帶通響應的截止頻率與衰減斜率，用於類比電路與訊號處理。
領先與落後補償
領先網路的相位隆起及其最大值所在頻率，是補償器設計報告最常見的圖。
課程與考試
漸近線畫成虛線的教科書風格圖，用於實驗報告、上課簡報與題解。
波德圖常見問題
怎麼從轉移函數畫波德圖？
在輸入框寫下轉移函數（例如 G(s) = 100/((s+1)(s+100))），選擇風格後產生。 增益、相位、轉折頻率與穩定邊限會在扣點數之前顯示在輸入框上方，成圖完全依照這些數值繪製。
怎麼從波德圖求增益邊限與相位邊限？
相位邊限等於增益穿過 0 dB 的增益交越頻率處的相位加 180°；增益邊限等於相位到達 −180° 的相位交越頻率處增益（dB）取負值。 工具會算出兩者，你要求時也會標在圖上；相位始終未達 −180° 時，增益邊限為無限大。
什麼是轉折頻率？
轉折頻率是極點或零點開始改變增益斜率的頻率，等於該根的大小。 對實極點來說，曲線在此比漸近線低 3 dB，相位已轉過 45°。
極點與零點會讓斜率改變多少？
每個實極點在轉折頻率之後帶來 −20 dB/dec，每個實零點 +20 dB/dec，一對共軛複數根 ±40 dB/dec。 積分器（s = 0 的極點）從最低頻開始就是 −20 dB/dec。
增益怎麼換算成分貝？
取增益的常用對數再乘 20：20·log₁₀|G(jω)|。 增益 10 為 20 dB，100 為 40 dB，0.707 約為 −3 dB，1 為 0 dB。
和 MATLAB 的 bode() 一樣嗎？
計算內容相同——在對數頻率格點上求 |G(jω)|（dB）與 ∠G(jω)（度），也接受同樣的 num/den 串列。 MATLAB 風格模仿 bode() 的外觀；成圖由 AI 依計算出的曲線繪製，是一張圖，而不是資料匯出。
能用阻尼比與自然頻率畫二階系統嗎？
可以——寫 ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²)，ζ = 0.2，ωn = 10，或直接寫數字。 阻尼比小於 0.707 時會出現共振峰，其高度與頻率都會精確算出並畫出。
波德圖的漸近線是什麼？
就是折線近似：在各轉折頻率相接的水平或傾斜直線段。 教科書風格會把它們畫成真實曲線後方的虛線；其他風格只在你要求時繪製。
頻率軸可以用 Hz 而不是 rad/s 嗎？
可以——在描述裡寫「用 Hz」，所有頻率都會除以 2π。 否則依 s 域轉移函數的慣例使用 rad/s。
AI 會修改或捏造曲線嗎？
不會。根、斜率、曲線上的點、轉折頻率與邊限都由程式計算並寫進提示詞。 每次重新產生都會從你的轉移函數重新計算，換風格也不會讓轉折頻率移動。
這個波德圖計算工具免費嗎？
起步免費——每個新帳號贈送 100 點，註冊不需綁卡。 計算預覽不收費，只有產生圖片時才扣點數。
參考資料
- bode — Bode frequency response of dynamic system — MathWorks（MATLAB 文件）
- Control Systems Engineering, 8th Edition (Norman S. Nise) — Wiley
- 波德圖 — 維基百科
