Círculo unitario con calculadora
El círculo unitario, o círculo trigonométrico, completo para bachillerato y trigonometría, con los 16 ángulos notables en grados y radianes, sus coordenadas (cos, sen) y la tangente de cada uno. Comprueba cualquier ángulo en la calculadora, imprime un círculo en blanco o practica con el test.
Descarga gratis del círculo unitario, sin registrarte. Se dibuja en tu navegador.
Estilos de círculo unitario
Cuatro acabados que dibuja el generador de círculo unitario con IA, cada uno sobre un círculo distinto. Los valores salen de la misma tabla exacta que el círculo gratuito; solo cambian la tinta, el color y el fondo. Haz clic en una tarjeta para cargar su indicación.
Ejemplos de círculo unitario
Cuatro ejemplos de círculo unitario, cada uno generado de verdad con la indicación de su tarjeta: el círculo completo, las coordenadas con la tangente, una chuleta con los triángulos notables y una ficha para completar. Haz clic en una tarjeta para cargarla en el generador de arriba.
La referencia para tener al lado al hacer deberes.
Para cuando el temario llega a la tangente.
Todo el examen de trigonometría en una página.
Complétala de memoria y luego corrige.
¿Qué es el círculo unitario?
El círculo unitario, también llamado círculo trigonométrico, es la circunferencia de radio 1 centrada en el origen, y el punto donde la corta un ángulo θ es (cos θ, sen θ). Los ángulos se miden en sentido antihorario desde el semieje x positivo, así que cada ángulo cae en un único punto: su coordenada x es el coseno, su coordenada y es el seno, y tan θ = sen θ / cos θ.
Sobre este círculo unitario
- Muestra los 16 ángulos notables en grados y radianes con las coordenadas exactas (cos θ, sen θ).
- Añade tan θ en cada ángulo si lo pides, con tan 90° y tan 270° marcadas como no definidas.
- Resalta cualquier ángulo con su triángulo de referencia y los catetos cos θ y sen θ rotulados.
- Calcula las razones trigonométricas de cualquier ángulo en grados o radianes, y encuentra los ángulos que tienen un seno, coseno o tangente dados.
- Imprime una ficha de círculo unitario en blanco con las soluciones en la segunda página.
- Se descarga en PNG, SVG o PDF desde el navegador, en color o en blanco y negro.
Cómo se usa el círculo unitario
- 1
Sitúa el ángulo
Empieza en el semieje x positivo y gira en sentido antihorario: 90° (π/2) está arriba, 180° (π) a la izquierda y 270° (3π/2) abajo. Los ángulos negativos giran en sentido horario.
- 2
Lee las coordenadas
El punto de la circunferencia es (cos θ, sen θ). En 30° es (√3/2, 1/2), así que cos 30° = √3/2 y sen 30° = 1/2.
- 3
Divide para la tangente
tan θ = sen θ / cos θ, así que tan 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = √3/3. Donde cos θ = 0, en 90° y 270°, tan θ no está definida.
Tabla del círculo unitario con los 16 ángulos notables
El círculo unitario es la circunferencia de radio 1 centrada en el origen. El punto donde la corta un ángulo θ es (cos θ, sen θ), así que cada fila de esta tabla es un punto: x es el coseno, y es el seno, y tan θ es y dividido entre x.
| Grados | Radianes | cos θ (x) | sen θ (y) | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | no definida |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | no definida |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
Los 16 ángulos son los múltiplos de 30° y de 45° entre 0° y 330°. Cualquier otro ángulo del círculo unitario reutiliza estos valores con los signos de su cuadrante.
Secante, cosecante y cotangente en el círculo unitario
Las otras tres razones son las inversas de las tres primeras: sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sen θ, cot θ = cos θ/sen θ. En el primer cuadrante valen:
| Ángulo | sec θ | csc θ | cot θ |
|---|---|---|---|
| 0° (0) | 1 | no definida | no definida |
| 30° (π/6) | 2√3/3 | 2 | √3 |
| 45° (π/4) | √2 | √2 | 1 |
| 60° (π/3) | 2 | 2√3/3 | √3/3 |
| 90° (π/2) | no definida | 1 | 0 |
Cuadrantes y signos del círculo unitario
Cada cuadrante fija el signo de cos θ y de sen θ; el ángulo de referencia fija su valor absoluto.
| Cuadrante | Ángulos | cos θ (x) | sen θ (y) | tan θ | Positivas |
|---|---|---|---|---|---|
| I | De 0° a 90° (de 0 a π/2) | + | + | + | Todas |
| II | De 90° a 180° (de π/2 a π) | − | + | − | Solo el seno |
| III | De 180° a 270° (de π a 3π/2) | − | − | + | Solo la tangente |
| IV | De 270° a 360° (de 3π/2 a 2π) | + | − | − | Solo el coseno |
Los ángulos que caen sobre un eje no pertenecen a ningún cuadrante: en 0°, 90°, 180° y 270° una coordenada vale 0 y la otra 1 o −1.
La tangente en el círculo unitario
La tangente es el único valor que las coordenadas no muestran directamente. En el círculo unitario tan θ = sen θ / cos θ = y / x, y además tiene su propia imagen: prolonga el radio hasta que corte la recta vertical x = 1, la recta tangente a la circunferencia en (1, 0). La altura del punto de corte es tan θ.
- tan θ es positiva en los cuadrantes I y III, donde x e y tienen el mismo signo, y negativa en el II y el IV.
- En 90° y 270° el punto es (0, ±1), así que x = 0 y tan θ no está definida: el radio es paralelo a la recta x = 1 y nunca la corta.
- Los valores del primer cuadrante √3/3, 1 y √3 en 30°, 45° y 60° se repiten en todos los cuadrantes con el signo de cada uno. Activa tan en el círculo de arriba para imprimirlos en el círculo unitario.
El círculo unitario en radianes
Un radián mide un ángulo por el arco que abarca en el círculo unitario: una vuelta completa es un arco de 2π, así que 360° = 2π y 180° = π. Para pasar de grados a radianes multiplica por π/180 (150° × π/180 = 5π/6), y para volver multiplica por 180/π. Los 16 radianes del círculo unitario se agrupan en cuatro familias según el denominador:
| Familia | Ángulo de referencia | Radianes | Grados |
|---|---|---|---|
| Denominador 6 | 30° | π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 | 30°, 150°, 210°, 330° |
| Denominador 4 | 45° | π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 | 45°, 135°, 225°, 315° |
| Denominador 3 | 60° | π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3 | 60°, 120°, 240°, 300° |
| Sobre los ejes | 0° o 90° | 0, π/2, π, 3π/2 | 0°, 90°, 180°, 270° |
Mira primero el denominador: te dice el ángulo de referencia y, con él, los valores; el numerador te dice en qué cuadrante estás.
Círculo unitario en blanco para completar
Completar un círculo unitario en blanco es la forma habitual de aprenderlo: los puntos y los radios ya están dibujados y los rótulos los pones tú. La pestaña Ficha en blanco de arriba imprime tres versiones habituales, cada una con sus soluciones en la segunda página.
- Con los grados dados: completa los radianes y las coordenadas, el ejercicio típico de examen en 1.º de bachillerato.
- Totalmente en blanco: todas las casillas de grados, radianes y coordenadas vacías, para comprobar si te lo sabes de memoria.
- Con tangente: una casilla más bajo cada par de coordenadas para el valor de la tangente.
Test y calculadora del círculo unitario
Dos formas de ponerte a prueba cuando ya te suena el círculo unitario.
Test del círculo unitario
Rondas de diez preguntas en cinco modos: encontrar un punto en un círculo sin rótulos, pasar de grados a radianes y al revés, dar las coordenadas de un ángulo o su seno, coseno o tangente. Si fallas, el círculo te enseña la respuesta correcta.
Calculadora del círculo unitario
Escribe cualquier ángulo en grados o radianes, también negativos o mayores que 360°: −45°, 7π/3, 2.5 rad. Te devuelve el cuadrante, el ángulo de referencia, dos ángulos coterminales y las seis razones trigonométricas, exactas siempre que el ángulo sea múltiplo de 15°.
Cómo memorizar el círculo unitario
Nadie se aprende el círculo unitario como 48 números sueltos. Apréndete el primer cuadrante y deja que la simetría y los signos hagan el resto.
- 1
Aprende el patrón 1-2-3
Para 0°, 30°, 45°, 60° y 90°, sen θ vale √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 y √4/2, que se simplifica en 0, 1/2, √2/2, √3/2 y 1. cos θ es la misma lista leída al revés.
- 2
Usa el truco de la mano
Levanta la mano izquierda con la palma hacia ti y asigna a los dedos los ángulos 0°, 30°, 45°, 60° y 90°, del meñique al pulgar. Dobla el dedo de tu ángulo: sen θ = √(dedos del lado del meñique)/2 y cos θ = √(dedos del lado del pulgar)/2. Para 30° dobla el anular: queda un dedo del lado del meñique, así que sen 30° = 1/2, y tres del lado del pulgar, así que cos 30° = √3/2.
- 3
Refleja con el ángulo de referencia
Cada ángulo de los cuadrantes II a IV tiene los mismos valores, en valor absoluto, que su ángulo de referencia, el ángulo agudo que forma con el eje x: 150°, 210° y 330° usan los valores de 30°.
- 4
Fija los signos con Todas, Seno, Tangente, Coseno
En el cuadrante I son positivas las tres razones, en el II solo el seno, en el III solo la tangente y en el IV solo el coseno.
Para qué sirve el círculo unitario
El círculo unitario extiende el seno y el coseno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo a cualquier ángulo, positivo, negativo o mayor que 360°.
Razones de cualquier ángulo
Con el ángulo de referencia y el signo del cuadrante se obtienen sen, cos y tan de 150°, −45° o 480° a partir de los valores del primer cuadrante.
Gráficas del seno y el coseno
Si sigues la coordenada y mientras θ da la vuelta, dibujas la onda del seno; la coordenada x dibuja la del coseno. Las dos se repiten cada 2π.
Ecuaciones trigonométricas
sen θ = 1/2 tiene dos soluciones en cada vuelta, 30° y 150°, que son los dos puntos de la circunferencia a altura 1/2.
Giros y ondas en física
El movimiento circular, la corriente alterna y los fasores describen un punto que gira sobre una circunferencia, con el coseno y el seno de la fase como su x y su y.
Preguntas frecuentes sobre el círculo unitario
¿Qué es el círculo unitario?+
El círculo unitario, o círculo trigonométrico, es la circunferencia de radio 1 centrada en el origen (0, 0). Un ángulo θ trazado desde el semieje x positivo la corta en el punto (cos θ, sen θ), y por eso el círculo unitario da el coseno y el seno como coordenadas.
¿Por qué el círculo unitario tiene radio 1?+
En un triángulo rectángulo sen θ = cateto opuesto/hipotenusa y cos θ = cateto contiguo/hipotenusa. Si la hipotenusa mide 1, las fracciones desaparecen: el cateto contiguo es cos θ y el opuesto es sen θ, así que pasan a ser las coordenadas x e y del punto.
¿Cómo se hallan el seno y el coseno de un ángulo en el círculo unitario?+
Busca su ángulo de referencia (el ángulo agudo con el eje x), toma los valores del primer cuadrante para ese ángulo y ponles los signos del cuadrante. 210° tiene ángulo de referencia 30° y está en el cuadrante III, así que su punto es (−√3/2, −1/2): cos 210° = −√3/2 y sen 210° = −1/2. La calculadora junto al círculo unitario de esta página lo hace con cualquier ángulo.
¿Cómo se halla la tangente en el círculo unitario?+
Divide la coordenada y entre la coordenada x: tan θ = sen θ / cos θ. En 135° el punto es (−√2/2, √2/2), así que tan 135° = −1. Donde x = 0, en 90° y 270°, tan θ no está definida. Activa tan en el círculo unitario de arriba para imprimir los 16 valores.
¿Cuáles son los ángulos notables del círculo unitario?+
0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315° y 330°; en radianes 0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5π/6, π, 7π/6, 5π/4, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 7π/4 y 11π/6.
¿Cómo se pasa de grados a radianes?+
Multiplica por π/180 y simplifica: 225° × π/180 = 5π/4. Para volver, multiplica los radianes por 180/π: 7π/6 × 180/π = 210°. Cada radián rotulado en el círculo unitario de arriba es uno de estos productos ya simplificado.
¿Cómo funcionan los ángulos negativos en el círculo unitario?+
Un ángulo negativo se mide en sentido horario desde el semieje x positivo. −45° termina donde termina 315°, así que comparten el punto (√2/2, −√2/2). En general cos(−θ) = cos θ y sen(−θ) = −sen θ.
¿Cómo se dibuja un círculo unitario?+
Dibuja los ejes x e y y una circunferencia de radio 1 en su cruce. Marca 0°, 90°, 180° y 270° donde la circunferencia corta los ejes, luego 30°, 45° y 60° en el primer cuadrante, y refleja esos tres en los demás cuadrantes. Rotula cada punto con su ángulo y su (cos θ, sen θ), o descarga el círculo unitario terminado de arriba en PNG o SVG.
Fuentes
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions — Precalculus 2e, OpenStax
- §4.14 Definitions and Periodicity (trigonometric functions) — NIST Digital Library of Mathematical Functions
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