Generatore di curve a campana (gaussiana)
Genera curve della distribuzione normale da media e DS: le fasce 68-95-99.7, un'area ombreggiata con la sua probabilità esatta, punti z, soglie percentili o due curve sovrapposte, per lezioni di statistica, verifiche in classe e articoli.
Stili di curva a campana
Quattro stili, ciascuno su una curva diversa: fasce di voto dalla A alla F nei colori di un libro di testo, la quota di donne tra 155 e 176 cm tratteggiata in bianco e nero per un compito in classe, una curva adattata a 40 lunghezze d'ala di moscerino della frutta come pannello da rivista con asse della densità e rug, e il 10% più alto dei passi giornalieri su una slide scura.
Esempi di curva a campana
Quattro render reali, ciascuno disegnato dal prompt della sua scheda: punteggi del QI con le parentesi del 68%, 95% e 99.7% della regola empirica, il peso alla nascita con la coda sotto i 2500 g ombreggiata a P = 0.0359, le due regioni di rifiuto da 0.0250 di un test z con α = 0.05, e le curve della pressione arteriosa con placebo e con farmaco, che condividono il 66.82% della loro area. Clicca su una scheda per caricarne il prompt.
Che cos'è la curva a campana?
La curva a campana, o gaussiana, è il grafico di una distribuzione normale: una curva simmetrica con un solo picco, centrata sulla media, la cui larghezza è fissata dalla deviazione standard. L'area sotto la curva tra due valori è la probabilità che un valore cada tra i due, quindi ombreggiare un'area risponde a domande come quale quota dei punteggi del QI sta sotto 85 (15.87%). La curva non tocca mai l'asse; a una deviazione standard da una parte e dall'altra della media è scesa al 61% della sua altezza massima, ed è proprio lì che si trovano i due punti di flesso.
Informazioni su questo strumento
- Scrivi i parametri come li scrive il tuo corso: media 100, DS 15; μ = 0, σ = 1; 72 ± 8; N(100, 15²). Se incolli invece un elenco di valori grezzi, la curva viene adattata con la media campionaria x̄ e la deviazione standard campionaria s (n − 1).
- Le aree ombreggiate vengono calcolate dalla funzione di ripartizione normale prima del disegno e stampate con quattro decimali: P(X < 85) = 0.1587 e P(85 < X < 115) = 0.6827 per media 100 e DS 15.
- Le soglie in percentuale si ricavano all'indietro con la funzione di ripartizione inversa: il 5% più alto dei punteggi del QI inizia a 124.67, e il 90° percentile della normale standard è a z = 1.282.
- L'asse x va da μ − 4σ a μ + 4σ con una tacca a ogni deviazione standard (o su numeri tondi quando un estremo indicato cade nel mezzo); fino a tre curve possono condividerlo, ciascuna indicata in legenda.
- Viene disegnata solo la distribuzione normale, senza barre: per dati misurati con una curva normale sopra, il generatore di istogrammi raggruppa il campione in scala di densità.
Curve a campana che puoi generare
Sette figure della distribuzione normale per cui si arriva qui, che cosa mostra ciascuna e le parole con cui chiederla.
Curva a campana della regola empirica (68-95-99.7)
La curva divisa in fasce a ogni deviazione standard: 34.13% da ciascun lato della media, 13.59% tra una e due DS, 2.14% tra due e tre, e 0.13% in ogni coda. Scrivi «regola empirica» o «68-95-99.7» e le etichette seguono la regola come si insegna (68%, 95% e 99.7% su parentesi annidate, 34%, 13.5%, 2.35% e 0.15% nelle fasce); scrivi «fasce di deviazione standard» per le aree esatte con due decimali.
Curva a campana con le deviazioni standard
Una curva normale con l'asse segnato da μ − 3σ a μ + 3σ, la figura che sta dietro ogni domanda su quanto un valore si allontana dalla media. Il QI con media 100 e DS 15 dà tacche a 55, 70, 85, 100, 115, 130 e 145; chiedi le etichette in σ o i punti z e sotto i numeri compare una seconda riga.
Area ombreggiata sotto la curva normale
Una regione sotto, sopra, tra o fuori da valori indicati, con la sua probabilità stampata sopra. Media 3400 g, DS 500 g, ombreggiato sotto 2500 g, stampa P(X < 2500) = 0.0359; l'altezza delle donne con media 162 cm e DS 7 cm, ombreggiata da 155 a 176 cm, stampa 0.8186. Ogni estremo ha la sua linea verticale fino alla curva.
Curva a campana standardizzata (punti z)
La normale standard N(0, 1), con media 0 e DS 1, disegnata su un asse z da −4 a 4. Segna un punto z, ombreggia l'area alla sua sinistra per una figura da tavola della normale, oppure ombreggia entrambe le regioni di rifiuto di un test a due code: α = 0.05 mette i valori critici a ±1.96 con 0.0250 in ogni coda, α = 0.01 a ±2.576.
Curva dei voti con soglie per lettera
La distribuzione dei punteggi di un esame con ogni fascia di voto ombreggiata con il suo riempimento e la quota di studenti stampata all'interno. Con media 72 e DS 8, e A sopra 88, B da 80 a 88, C da 64 a 80, D da 56 a 64 e F sotto 56, si ottengono 2.28%, 13.59%, 68.27%, 13.59% e 2.28%. Assegnare i voti per percentili funziona al contrario: «il 10% più alto prende A» restituisce il punteggio soglia.
Due distribuzioni normali sovrapposte
Trattamento contro controllo, o un metodo contro un altro, su un unico asse condiviso con legenda. Chiedi la sovrapposizione e l'area comune viene calcolata: placebo a 138 mmHg e farmaco a 126 mmHg, entrambi con DS 14, si sovrappongono per il 66.82% con una d di Cohen di 0.86. Curve con DS diverse si incrociano in due punti, ed entrambi vengono individuati.
Curva normale adattata a un campione
Incolla le misure grezze e la curva viene disegnata dalla loro media e dalla deviazione standard campionaria, con n, x̄ e s stampati accanto e, su richiesta, un rug dei valori. Se vuoi i dati raggruppati disegnati come barre sotto la curva, quella figura è un istogramma con curva normale sovrapposta.
La regola empirica (68-95-99.7), valori esatti
La regola arrotondata è quella che si impara a memoria; le aree esatte sono quelle che una figura dovrebbe stampare. Ogni riga è calcolata da Φ, la funzione di ripartizione della normale standard, e riportata anche sulla scala del QI come riferimento.
| Intervallo | Area interna | Area esterna | Scala del QI (media 100, DS 15) |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68.27% | 31.73% | Da 85 a 115 |
| μ ± 1.645σ | 90.00% | 10.00% | Da 75.3 a 124.7 |
| μ ± 1.96σ | 95.00% | 5.00% | Da 70.6 a 129.4 |
| μ ± 2σ | 95.45% | 4.55% | Da 70 a 130 |
| μ ± 2.576σ | 99.00% | 1.00% | Da 61.4 a 138.6 |
| μ ± 3σ | 99.73% | 0.27% | Da 55 a 145 |
Il 95% di una distribuzione normale sta entro 1.96 deviazioni standard dalla media, non entro 2. Due DS contengono il 95.45%; l'1.96 è il moltiplicatore di un intervallo di confidenza al 95% e il valore critico di un test a due code con α = 0.05.
La formula della curva normale e il punto z
La curva a campana è la densità normale f(x), e ogni probabilità che vi si legge è un'area sotto f, che si trova standardizzando con z = (x − μ)/σ. Un punto z conta di quante deviazioni standard un valore dista dalla media, quindi un'unica tavola di Φ risponde a domande su qualsiasi scala normale, dai punti di QI ai grammi.
f(x) = e^(−(x − μ)² / 2σ²) / (σ√(2π)) z = (x − μ) / σ P(X < x) = Φ(z)
In parole
L'altezza cala con il quadrato della distanza da μ; l'area a sinistra di x è Φ(z).
Φ non ha una forma chiusa. Il generatore la calcola dalla funzione degli errori in doppia precisione, Φ(z) = ½[1 + erf(z/√2)], quindi uno 0.1587 o uno 0.9750 stampati sono corretti in tutti e quattro i decimali, e usa l'inversa, Φ⁻¹, per trasformare un percentile indicato nella sua soglia.
Dove si usa la curva normale
Le curve a campana compaiono ovunque una misura sia riassunta da una media e una deviazione standard e il lettore debba capire che cosa significa quella dispersione.
Intervalli di riferimento in medicina di laboratorio
Molti intervalli di riferimento sono il 95% centrale di una popolazione sana, la media ± 1.96 DS quando l'analita ha distribuzione normale; una regione centrale ombreggiata mostra quali risultati vengono segnalati come alti o bassi.
Voti assegnati sulla curva
Soglie fissate a distanze stabilite in DS o a percentili; la figura mostra a una classe dove cade ogni soglia di voto e quale quota di studenti sta in ogni fascia.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Le regioni di rifiuto di un test z, un valore p come area della coda oltre lo z osservato, un intervallo al 95% come il 95% centrale: le figure standard di un corso introduttivo di statistica.
Punteggi di test standardizzati
Il QI (media 100, DS 15) e i punti T (media 50, DS 10) sono definiti su una scala normale, quindi il rango percentile si legge direttamente sulla curva: un QI di 130 sta due DS sopra la media, sopra il 97.72% dei punteggi.
Domande sulla distribuzione normale
Come si fa una curva a campana?
Dai una media e una deviazione standard, indica quale area ombreggiare e genera. Per esempio: «Punteggi del QI, media 100, DS 15, ombreggia sopra 130 e scrivi la probabilità». L'asse a ogni deviazione standard, le altezze della curva e P(X > 130) = 0.0228 vengono calcolati prima di disegnare qualsiasi cosa. In un foglio di calcolo la stessa figura richiede una colonna di valori di x, DISTRIB.NORM.N per ciascuno e un grafico a linee smussate.
Che cosa dice la regola empirica (68-95-99.7)?
Circa il 68% di una distribuzione normale sta entro una deviazione standard dalla media, il 95% entro due e il 99.7% entro tre. Le aree esatte sono 68.27%, 95.45% e 99.73%. La regola vale solo per dati normali; per una distribuzione qualsiasi, la disuguaglianza di Čebyšëv garantisce solo il 75% entro due deviazioni standard.
Come trovo la probabilità di un'area ombreggiata sotto la gaussiana?
Trasforma ogni estremo in un punto z, z = (x − μ)/σ, poi prendi Φ(z) per l'area sotto, 1 − Φ(z) per l'area sopra e la differenza di due valori di Φ per l'area in mezzo. Con media 100 e DS 15: P(X < 85) = Φ(−1) = 0.1587, P(X > 115) = 0.1587, P(85 < X < 115) = 0.6827. Questa pagina crea figure e non è un calcolatore della distribuzione normale, ma esegue esattamente questi calcoli e stampa il risultato sulla regione ombreggiata.
Che cos'è il punto z sulla curva a campana?
Il numero di deviazioni standard di cui un valore dista dalla media, z = (x − μ)/σ. Un'altezza di 176 cm, con media 162 cm e DS 7 cm, ha z = 2.00, e il 97.72% della distribuzione sta sotto. Su una normale standard l'asse x è la scala z stessa, quindi i valori critici ±1.96 si possono segnare direttamente.
Come ombreggio il 5% più alto o segno un percentile?
Chiedilo come percentuale e la soglia si trova con la funzione di ripartizione normale inversa. Il 5% più alto dei punteggi del QI inizia a 124.67 (z = 1.645), il 10% più basso finisce a 80.78 (z = −1.282), e il 90° percentile dei passi giornalieri con media 8000 e DS 2000 è 10 563.
Meglio una curva a campana o un istogramma?
Un istogramma mostra dati che hai misurato; una curva a campana mostra un modello, la distribuzione normale con media e DS dichiarate. Per verificare se un campione sembra normale, disegna il suo istogramma con una curva normale sovrapposta in scala di densità. Disegna una curva a campana da sola per spiegare una distribuzione, segnare soglie o mostrare una probabilità.
Che cosa deve dire la legenda di una curva a campana?
Indica la distribuzione, i suoi parametri e che cosa significa l'ombreggiatura, per esempio: «Distribuzione normale con media 100 e DS 15; l'area ombreggiata, P(X < 85) = 0.1587, è la quota di punteggi sotto 85». Per una curva adattata, dai n, x̄ e s e specifica che la curva è un adattamento normale e non i dati. Quando μ e σ vengono da una popolazione pubblicata, citala.
Si possono confrontare due curve normali sullo stesso grafico?
Sì: fino a tre curve condividono un asse, ciascuna con il suo colore e indicata una volta in legenda. Due curve con la stessa DS si incrociano a metà strada tra le loro medie; con DS diverse si incrociano due volte, una per lato rispetto al picco della curva più stretta. Chiedi la sovrapposizione, o la d di Cohen, e vengono stampate anche quelle.
L'IA cambia la mia media, la DS o le probabilità?
No. Ogni tacca, l'altezza della curva in diciassette punti, il punto z di ogni estremo e ogni probabilità ombreggiata vengono calcolati prima dai tuoi parametri, e al modello di immagine viene detto di collocarli, non di calcolarli. Una richiesta generica senza parametri viene disegnata come normale standard (media 0, DS 1); le figure di QI e punti T usano i valori che definiscono quelle scale.
I miei dati sono abbastanza normali da disegnarli come una campana?
Una curva normale si adatta a una variabile più o meno simmetrica attorno a un unico picco; verificalo prima con un istogramma o un grafico Q-Q normale. Misure con asimmetria a destra, come tempi di reazione, redditi o titoli anticorpali, vengono rappresentate molto male da una curva normale e si mostrano meglio così come sono, o dopo una trasformazione logaritmica.
Fonti
- 1.3.6.6.1. Normal Distribution — NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods
- 6.1 The Standard Normal Distribution — OpenStax, Introductory Statistics 2e
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Strumenti
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Scrivi una media e una DS, indica l'area da ombreggiare e ottieni un grafico della distribuzione normale pronto per una lezione, un compito o un articolo.
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