Circonferenza goniometrica con seno e coseno
La circonferenza goniometrica completa per il liceo, con i 16 angoli notevoli in gradi e radianti, le coordinate (cos, sin) e il valore della tangente di ciascuno. Controlla qualsiasi angolo nella calcolatrice, stampa un cerchio goniometrico vuoto o esercitati con il quiz.
Circonferenza goniometrica da scaricare gratis, senza registrazione. Disegnata nel tuo browser.
Stili di circonferenza goniometrica
Quattro rese che il generatore AI di circonferenze goniometriche disegna, ciascuna su una circonferenza diversa. I valori vengono dalla stessa tabella esatta della versione gratuita; cambiano solo inchiostro, colori e sfondo. Clicca una scheda per caricarne il prompt.
Esempi di circonferenza goniometrica
Quattro esempi di circonferenza goniometrica, ciascuno generato davvero dal prompt della sua scheda: la circonferenza completa, le coordinate con la tangente, uno schema con i triangoli notevoli e una scheda da completare. Clicca una scheda per caricarla nel generatore qui sopra.
Il riferimento da tenere accanto ai compiti.
Quando il programma arriva alla tangente.
Una verifica di goniometria intera in una pagina.
Completala a memoria, poi controlla.
Che cos’è la circonferenza goniometrica?
La circonferenza goniometrica è la circonferenza di raggio 1 con centro nell’origine, e il punto in cui la incontra il lato termine di un angolo θ è (cos θ, sin θ). Gli angoli si misurano in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle x, quindi ogni angolo cade su un solo punto: l’ascissa è il coseno, l’ordinata è il seno e tan θ = sin θ / cos θ.
Su questa circonferenza goniometrica
- Mostra i 16 angoli notevoli in gradi e radianti con le coordinate esatte (cos θ, sin θ).
- Aggiunge tan θ a ogni angolo su richiesta, con tan 90° e tan 270° segnate come non definite.
- Evidenzia qualsiasi angolo con il suo triangolo di riferimento e i cateti cos θ e sin θ indicati.
- Calcola seno, coseno e tangente di qualsiasi angolo in gradi o radianti, e trova gli angoli che hanno un dato valore di seno, coseno o tangente.
- Stampa una scheda vuota della circonferenza goniometrica con le soluzioni a pagina due.
- Si scarica in PNG, SVG o PDF dal browser, a colori o in bianco e nero.
Come si usa la circonferenza goniometrica
- 1
Trova l’angolo
Parti dal semiasse positivo delle x e ruota in senso antiorario: 90° (π/2) è in alto, 180° (π) a sinistra, 270° (3π/2) in basso. Gli angoli negativi ruotano in senso orario.
- 2
Leggi le coordinate
Il punto sulla circonferenza è (cos θ, sin θ). A 30° è (√3/2, 1/2), quindi cos 30° = √3/2 e sin 30° = 1/2.
- 3
Dividi per la tangente
tan θ = sin θ / cos θ, quindi tan 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = √3/3. Dove cos θ = 0, a 90° e 270°, tan θ non è definita.
Tabella dei valori della circonferenza goniometrica per i 16 angoli
La circonferenza goniometrica è la circonferenza di raggio 1 con centro nell’origine. Il punto in cui la incontra un angolo θ è (cos θ, sin θ), quindi ogni riga di questa tabella è un punto: x è il coseno, y è il seno e tan θ è y diviso x.
| Gradi | Radianti | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | non definita |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | non definita |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
I 16 angoli sono i multipli di 30° e di 45° da 0° a 330°. Ogni altro angolo della circonferenza goniometrica riusa questi valori con i segni del proprio quadrante.
Secante, cosecante e cotangente sulla circonferenza goniometrica
Le altre tre funzioni sono le reciproche delle prime tre: sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ, cot θ = cos θ/sin θ. Nel primo quadrante valgono:
| Angolo | sec θ | csc θ | cot θ |
|---|---|---|---|
| 0° (0) | 1 | non definita | non definita |
| 30° (π/6) | 2√3/3 | 2 | √3 |
| 45° (π/4) | √2 | √2 | 1 |
| 60° (π/3) | 2 | 2√3/3 | √3/3 |
| 90° (π/2) | non definita | 1 | 0 |
Quadranti e segni sulla circonferenza goniometrica
Il quadrante fissa il segno di cos θ e di sin θ; l’angolo di riferimento ne fissa il valore assoluto.
| Quadrante | Angoli | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ | Positive |
|---|---|---|---|---|---|
| I | Da 0° a 90° (da 0 a π/2) | + | + | + | Tutte |
| II | Da 90° a 180° (da π/2 a π) | − | + | − | Solo il seno |
| III | Da 180° a 270° (da π a 3π/2) | − | − | + | Solo la tangente |
| IV | Da 270° a 360° (da 3π/2 a 2π) | + | − | − | Solo il coseno |
Gli angoli che cadono su un asse non appartengono a nessun quadrante: a 0°, 90°, 180° e 270° una coordinata vale 0 e l’altra 1 o −1.
La tangente sulla circonferenza goniometrica
La tangente è l’unico valore che le coordinate non mostrano direttamente. Sulla circonferenza goniometrica tan θ = sin θ / cos θ = y / x, e ha anche una sua rappresentazione: prolunga il raggio fino a incontrare la retta verticale x = 1, tangente alla circonferenza nel punto (1, 0). L’ordinata del punto d’incontro è tan θ.
- tan θ è positiva nel I e nel III quadrante, dove x e y hanno lo stesso segno, e negativa nel II e nel IV.
- A 90° e 270° il punto è (0, ±1), quindi x = 0 e tan θ non è definita: il raggio è parallelo alla retta x = 1 e non la incontra mai.
- I valori del primo quadrante √3/3, 1 e √3 a 30°, 45° e 60° si ripetono in ogni quadrante con il segno del quadrante. Attiva tan nella circonferenza qui sopra per stamparli sulla circonferenza goniometrica.
La circonferenza goniometrica in radianti
Un radiante misura un angolo con l’arco che sottende sulla circonferenza goniometrica: un giro completo è un arco di 2π, quindi 360° = 2π e 180° = π. Per passare dai gradi ai radianti moltiplica per π/180 (150° × π/180 = 5π/6), per tornare indietro moltiplica per 180/π. Le 16 misure in radianti della circonferenza goniometrica si dividono in quattro famiglie secondo il denominatore:
| Famiglia | Angolo di riferimento | Misure in radianti | Gradi |
|---|---|---|---|
| Denominatore 6 | 30° | π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 | 30°, 150°, 210°, 330° |
| Denominatore 4 | 45° | π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 | 45°, 135°, 225°, 315° |
| Denominatore 3 | 60° | π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3 | 60°, 120°, 240°, 300° |
| Sugli assi | 0° o 90° | 0, π/2, π, 3π/2 | 0°, 90°, 180°, 270° |
Guarda prima il denominatore: ti dice l’angolo di riferimento e quindi i valori; il numeratore ti dice in quale quadrante sei.
Circonferenza goniometrica vuota da completare
Completare una circonferenza goniometrica vuota è il modo classico per impararla: punti e raggi sono già disegnati, le etichette le scrivi tu. La scheda «Scheda vuota» qui sopra stampa tre versioni comuni, ciascuna con le soluzioni a pagina due.
- Gradi già scritti: completa radianti e coordinate, il classico esercizio di verifica al liceo scientifico.
- Del tutto vuota: tutte le caselle di gradi, radianti e coordinate vuote, per controllare se la sai a memoria.
- Con la tangente: una casella in più sotto ogni coppia di coordinate per il valore della tangente.
Quiz e calcolatrice sulla circonferenza goniometrica
Due modi per metterti alla prova quando la circonferenza goniometrica ti è familiare.
Quiz sulla circonferenza goniometrica
Round da dieci domande in cinque modalità: trovare un punto su una circonferenza senza etichette, passare dai gradi ai radianti e viceversa, dare le coordinate di un angolo, oppure il suo seno, coseno o tangente. Se sbagli, la circonferenza ti mostra la risposta giusta.
Calcolatrice della circonferenza goniometrica
Scrivi qualsiasi angolo in gradi o radianti, anche negativo o oltre 360°: −45°, 7π/3, 2.5 rad. Ti restituisce il quadrante, l’angolo di riferimento, due angoli equivalenti e tutte e sei le funzioni goniometriche, esatte quando l’angolo è multiplo di 15°.
Come memorizzare la circonferenza goniometrica
Nessuno impara la circonferenza goniometrica come 48 numeri separati. Impara il primo quadrante e lascia che simmetria e segni facciano il resto.
- 1
Impara lo schema 1-2-3
Per 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, sin θ vale √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, cioè 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. cos θ è la stessa lista letta al contrario.
- 2
Usa il trucco della mano
Alza la mano sinistra con il palmo verso di te e assegna alle dita gli angoli 0°, 30°, 45°, 60°, 90° dal mignolo al pollice. Piega il dito del tuo angolo: sin θ = √(dita dal lato del mignolo)/2 e cos θ = √(dita dal lato del pollice)/2. Per 30° piega l’anulare: un dito dal lato del mignolo dà sin 30° = 1/2, tre dal lato del pollice danno cos 30° = √3/2.
- 3
Rifletti con l’angolo di riferimento
Ogni angolo del II, III e IV quadrante ha in valore assoluto gli stessi valori del suo angolo di riferimento, l’angolo acuto con l’asse x: 150°, 210° e 330° usano tutti i valori di 30°. È la stessa idea degli angoli associati.
- 4
Fissa i segni con Tutte, Seno, Tangente, Coseno
Nel I quadrante sono positive tutte e tre le funzioni, nel II solo il seno, nel III solo la tangente, nel IV solo il coseno.
A cosa serve la circonferenza goniometrica
La circonferenza goniometrica estende seno e coseno dagli angoli acuti di un triangolo rettangolo a qualsiasi angolo, positivo, negativo o maggiore di 360°.
Valori di qualsiasi angolo
Con l’angolo di riferimento e il segno del quadrante si ricavano sin, cos e tan di 150°, −45° o 480° dai valori del primo quadrante.
Grafici di seno e coseno
Seguendo l’ordinata mentre θ fa il giro si traccia la sinusoide, e seguendo l’ascissa la cosinusoide, entrambe periodiche di periodo 2π.
Equazioni goniometriche
sin θ = 1/2 ha due soluzioni a ogni giro, 30° e 150°, cioè i due punti della circonferenza ad altezza 1/2.
Rotazioni e onde in fisica
Il moto circolare, la corrente alternata e i fasori descrivono un punto che ruota su una circonferenza, con il coseno e il seno della fase come sua x e sua y.
Domande frequenti sulla circonferenza goniometrica
Che cos’è la circonferenza goniometrica?+
La circonferenza goniometrica, detta anche cerchio goniometrico, è la circonferenza di raggio 1 con centro nell’origine (0, 0). Un angolo θ misurato dal semiasse positivo delle x la incontra nel punto (cos θ, sin θ), ed è per questo che sulla circonferenza goniometrica coseno e seno si leggono come coordinate.
Perché la circonferenza goniometrica ha raggio 1?+
In un triangolo rettangolo sin θ = cateto opposto/ipotenusa e cos θ = cateto adiacente/ipotenusa. Con l’ipotenusa uguale a 1 le frazioni spariscono: il cateto adiacente è cos θ e quello opposto è sin θ, che diventano così l’ascissa e l’ordinata del punto.
Come si trovano seno e coseno sulla circonferenza goniometrica?+
Trova l’angolo di riferimento (l’angolo acuto con l’asse x), prendi i valori del primo quadrante per quell’angolo e dai loro i segni del quadrante. 210° ha angolo di riferimento 30° e sta nel III quadrante, quindi il suo punto è (−√3/2, −1/2): cos 210° = −√3/2 e sin 210° = −1/2. La calcolatrice accanto alla circonferenza goniometrica di questa pagina lo fa per qualsiasi angolo.
Come si trova la tangente sulla circonferenza goniometrica?+
Dividi l’ordinata per l’ascissa: tan θ = sin θ / cos θ. A 135° il punto è (−√2/2, √2/2), quindi tan 135° = −1. Dove x = 0, a 90° e 270°, tan θ non è definita. Attiva tan nella circonferenza goniometrica qui sopra per stampare tutti i 16 valori.
Quali sono gli angoli notevoli della circonferenza goniometrica?+
0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315° e 330°; in radianti 0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5π/6, π, 7π/6, 5π/4, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 7π/4 e 11π/6.
Come si passa dai gradi ai radianti?+
Moltiplica per π/180 e semplifica: 225° × π/180 = 5π/4. Per tornare indietro moltiplica i radianti per 180/π: 7π/6 × 180/π = 210°. Ogni misura in radianti sulla circonferenza goniometrica qui sopra è uno di questi prodotti, già semplificato.
Come funzionano gli angoli negativi sulla circonferenza goniometrica?+
Un angolo negativo si misura in senso orario dal semiasse positivo delle x. −45° finisce dove finisce 315°, quindi i due angoli hanno lo stesso punto (√2/2, −√2/2). In generale cos(−θ) = cos θ e sin(−θ) = −sin θ.
Come si disegna la circonferenza goniometrica?+
Disegna gli assi x e y e una circonferenza di raggio 1 nel loro punto d’incontro. Segna 0°, 90°, 180° e 270° dove la circonferenza incontra gli assi, poi 30°, 45° e 60° nel primo quadrante, e riporta quei tre negli altri quadranti per simmetria. Scrivi accanto a ogni punto il suo angolo e le sue (cos θ, sin θ), oppure scarica la circonferenza goniometrica già pronta qui sopra in PNG o SVG.
Fonti
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions — Precalculus 2e, OpenStax
- §4.14 Definitions and Periodicity (trigonometric functions) — NIST Digital Library of Mathematical Functions
Continua a esplorare
Gli altri nostri strumenti per diagrammi e le guide che li spiegano.
Stampa la circonferenza goniometrica che ti serve
Circonferenza completa, solo radianti, primo quadrante o una scheda vuota con le soluzioni, gratis nel tuo browser, oppure un poster o una versione illustrata dal generatore AI.
Torna alla circonferenza goniometrica