보드 선도 그리기 도구
전달함수를 입력하세요. 인수분해 형태, 분자·분모 계수, 영점·극점·이득 어느 것이든 됩니다. 크기와 위상, 절점 주파수, 안정 여유를 코드가 정확히 계산하고, AI가 그 수치대로 논문 수준의 보드 선도를 그립니다.
또는 예시로 시작하기
보드 선도 스타일
스타일마다 실제 생성 결과를 한 장씩, 각각 다른 전달함수로 보여 줍니다. 카드를 클릭하면 스타일이 적용되고, 전달함수를 입력란으로 가져올 수도 있습니다.
보드 선도란?
보드 선도는 선형 시스템의 주파수 응답을 공통의 로그 주파수 축 위 두 그래프로 나타낸 것입니다. 위는 데시벨 단위의 크기 선도, 아래는 도 단위의 위상 선도입니다. 극점과 영점은 각자의 절점 주파수에서 크기의 기울기를 일정하게 바꾸므로 G(s)의 구조를 그래프에서 바로 읽을 수 있습니다.
이 보드 선도 도구에 대해
- G(s)는 100/((s+1)(s+100)) 같은 인수분해 형태, MATLAB식 계수 목록 num = [1 10], den = [1 3 2], 또는 K·영점·극점(−1±2j 같은 복소근 포함)으로 입력할 수 있습니다.
- 기호는 정의하면 대입됩니다: ωn²/(s²+2ζωn s+ωn²), ζ = 0.2, ωn = 10.
- 근, 절점 주파수, 기울기, 공진 피크, 이득·위상 교차 주파수와 두 안정 여유를 그리기 전에 코드로 계산합니다.
- 주파수 축은 절점 아래위로 두 디케이드씩, 단위는 rad/s입니다(Hz를 요청하면 Hz).
- 분자·분모는 8차까지이며, 우반평면의 영점과 극점도 계산대로 그립니다.
크기를 dB로 계산하는 방법
크기는 |G(jω)|의 상용로그에 20을 곱한 값이고, 위상은 G(jω)의 편각(도)입니다. 10배는 +20 dB, 0.1배는 −20 dB, |G| = 1은 0 dB입니다.
|G(jω)|dB = 20 · log₁₀ |G(jω)|, ∠G(jω) = Σ∠영점 − Σ∠극점
말로 풀면
s = jω를 대입해 복소수의 크기를 구하고 데시벨로 바꿉니다. 위상은 영점 인자의 편각을 더하고 극점 인자의 편각을 뺍니다. ω = a의 실수 극점은 절점에서 −3 dB, −45°를 주고, 그보다 높은 주파수에서 크기를 디케이드당 20 dB씩 낮춥니다.
|G|는 진폭 비이므로 20·log₁₀을 씁니다. 전력 비는 10·log₁₀입니다.
보드 선도 그리는 법
전달함수 입력
G(s) = 10(s+2)/(s(s+10))처럼 쓰거나, MATLAB의 num·den 목록을 붙여 넣거나, K·영점·극점을 지정합니다. 읽히는 즉시 계산된 두 그래프가 입력란 위에 나타납니다.
스타일 선택
점근선을 점선으로 그린 교재 스타일, 격자가 있는 MATLAB bode() 스타일, IEEE 논문 단 크기, 어두운 발표 슬라이드 중에서 고릅니다. '이득 여유와 위상 여유 표시'라고 쓰면 여유 표시가 추가됩니다.
생성하고 다듬기
AI는 계산된 점을 지나도록 곡선을 그리며 기울기나 위상을 추정하지 않습니다. 채팅으로 축 이름, 제목, 스타일을 바꾸고 PNG·SVG·PPTX로 내보내세요.
각 인자가 보드 선도에 주는 영향
보드 선도는 몇 가지 기본 인자의 합이므로 직선 근사가 성립합니다.
| G(s)의 인자 | 크기 기울기 | 위상 기여 | 절점에서 |
|---|---|---|---|
| 이득 K | 0 dB/dec, 수준 20·log₁₀|K| | 0° (K < 0이면 ±180°) | — |
| 적분기 1/s | 전 구간 −20 dB/dec | 모든 주파수에서 −90° | ω = 1에서 0 dB 통과 |
| 실수 극점 1/(s/a + 1) | 0, a 이후 −20 dB/dec | 0° → −90° | ω = a에서 −3 dB, −45° |
| 실수 영점 (s/a + 1) | 0, a 이후 +20 dB/dec | 0° → +90° | ω = a에서 +3 dB, +45° |
| 공액 복소 극점 (ωn, ζ) | 0, ωn 이후 −40 dB/dec | 0° → −180° | ωn에서 −90°, ζ < 0.707이면 피크 |
| 우반평면 영점 (1 − s/a) | 0, a 이후 +20 dB/dec | 0° → −90° | 극점처럼 위상 지연 — 비최소 위상 |
직선 근사의 오차는 실수 절점에서 최대 3 dB이지만, 감쇠가 작은 복소 극점은 이를 크게 넘습니다. ζ = 0.2이면 공진 피크가 약 +8 dB입니다.
보드 선도 vs 나이퀴스트 선도 vs 니콜스 선도
세 가지 모두 같은 주파수 응답 G(jω)를 보여 줍니다. 보드 선도는 크기와 위상을 주파수에 대해 따로 그리고, 나이퀴스트 선도는 복소평면의 한 궤적으로, 니콜스 선도는 위상에 대한 크기로 그립니다.
| 비교 항목 | 보드 선도 | 나이퀴스트 선도 | 니콜스 선도 |
|---|---|---|---|
| 축 | 주파수(로그) 대 dB, 대 도 | 실수부 대 허수부 | 위상(도) 대 크기(dB) |
| 주파수 확인 | 가능, 가로축 | 곡선 위 표시로만 | 곡선 위 표시로만 |
| 이득·위상 여유 | 교차 주파수에서 바로 읽음 | −1 점까지의 거리와 각도 | (−180°, 0 dB) 점까지의 거리 |
| 개루프가 불안정할 때 | 여유만으로는 판단 불가 | 나이퀴스트 안정 판별법으로 판단 | 직접은 불가 |
| 손으로 그리기 | 점근선으로 쉬움 | 어려움 | 드묾 |
보드 선도에서 읽은 여유는 개루프가 안정하다는 전제입니다. G(s)에 우반평면 극점이 있어도 도구는 여유를 그리고 표시하지만, 폐루프 안정성은 나이퀴스트 안정 판별법으로 판단해야 합니다.
보드 선도가 쓰이는 곳
피드백 제어, 필터, 증폭기, 기계 진동처럼 응답이 주파수에 따라 달라지는 모든 곳에서 쓰입니다.
제어기 설계
이득 여유와 위상 여유를 표시한 개루프 보드 선도로 제어기를 설계하고, 루프가 견딜 수 있는 이득과 지연을 확인합니다.
필터 설계
저역·고역·대역 통과 응답의 차단 주파수와 감쇠 기울기. 아날로그 회로와 신호 처리에 씁니다.
위상 앞섬·지연 보상기
앞섬 회로의 위상 봉우리와 최대값 위치. 제어 설계 보고서의 대표 그림입니다.
수업과 시험
점근선을 점선으로 그린 교재 스타일 그림을 실험 보고서, 강의 슬라이드, 풀이에 사용하세요.
보드 선도 자주 묻는 질문
전달함수로 보드 선도를 그리려면?
입력란에 전달함수(예: G(s) = 100/((s+1)(s+100)))를 쓰고 스타일을 고른 뒤 생성합니다. 크기, 위상, 절점, 안정 여유가 크레딧을 쓰기 전에 입력란 위에 표시되고, 그림은 그 수치대로 그려집니다.
보드 선도에서 이득 여유와 위상 여유는 어떻게 구하나요?
위상 여유는 크기가 0 dB를 지나는 이득 교차 주파수에서의 위상에 180°를 더한 값이고, 이득 여유는 위상이 −180°가 되는 위상 교차 주파수에서의 크기(dB)에 음의 부호를 붙인 값입니다. 도구가 둘 다 계산하고 요청하면 표시합니다. 위상이 −180°에 이르지 않으면 이득 여유는 무한대입니다.
절점 주파수란?
극점이나 영점이 크기의 기울기를 바꾸기 시작하는 주파수로, 근의 크기와 같은 ω입니다. 실수 극점이면 그 점에서 곡선이 점근선보다 3 dB 아래를 지나고 위상은 45° 돌아 있습니다.
극점과 영점은 기울기를 얼마나 바꾸나요?
실수 극점은 절점 이후 −20 dB/dec, 실수 영점은 +20 dB/dec, 복소 쌍은 ±40 dB/dec입니다. 적분기(s = 0의 극점)는 가장 낮은 주파수부터 −20 dB/dec입니다.
크기를 데시벨로 바꾸려면?
크기의 상용로그에 20을 곱합니다: 20·log₁₀|G(jω)|. 10배는 20 dB, 100배는 40 dB, 0.707은 약 −3 dB, 1은 0 dB입니다.
MATLAB의 bode()와 같은가요?
계산은 같습니다. 로그 주파수 격자에서 |G(jω)|(dB)와 ∠G(jω)(도)를 구하고, 같은 num/den 목록을 받습니다. MATLAB 스타일은 bode()의 모양을 따르지만 그림은 계산된 곡선을 바탕으로 AI가 그리므로 데이터 내보내기가 아니라 그림입니다.
감쇠비와 고유 진동수로 2차 시스템을 그릴 수 있나요?
네. ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²), ζ = 0.2, ωn = 10처럼 쓰거나 숫자를 바로 넣으면 됩니다. 감쇠비가 0.707보다 작으면 공진 피크가 생기며, 높이와 주파수를 정확히 계산해 그립니다.
보드 선도의 점근선이란?
절점 주파수에서 이어지는 수평 또는 기울어진 직선 근사입니다. 교재 스타일은 실제 곡선 뒤에 점선으로 그리고, 다른 스타일은 요청할 때만 그립니다.
주파수 축을 rad/s 대신 Hz로 할 수 있나요?
네. 설명에 'Hz로'라고 쓰면 모든 주파수를 2π로 나눠 표시합니다. 따로 적지 않으면 s 영역 전달함수에 맞춰 rad/s입니다.
AI가 곡선을 바꾸거나 지어내지 않나요?
그렇지 않습니다. 근, 기울기, 곡선 위의 점, 절점, 안정 여유는 코드로 계산해 프롬프트에 적습니다. 다시 생성할 때마다 전달함수에서 새로 계산하므로 스타일을 바꿔도 절점이 움직이지 않습니다.
이 보드 선도 계산기는 무료인가요?
처음에는 무료입니다. 새 계정마다 100 크레딧이 주어지고 가입에 카드가 필요 없습니다. 계산 미리보기는 무료이며, 크레딧은 그림을 생성할 때만 사용됩니다.
출처
- bode — Bode frequency response of dynamic system — MathWorks (MATLAB 문서)
- Control Systems Engineering, 8th Edition (Norman S. Nise) — Wiley
- Bode plot — Wikipedia
