단위원과 삼각함수 표
고등학교 수학I 삼각함수 단원에 맞춘 단위원입니다. 16개 특수각을 육십분법과 호도법으로 적고 (cos, sin) 좌표와 tan 값까지 보여 줍니다. 계산기로 어떤 각이든 확인하고, 빈 단위원을 인쇄하거나 퀴즈로 연습할 수 있습니다.
단위원을 로그인 없이 무료로 다운로드할 수 있습니다. 브라우저에서 바로 그립니다.
단위원 스타일
AI 단위원 생성기가 그리는 네 가지 스타일입니다. 카드마다 다른 단위원을 담았고, 값은 무료 단위원과 같은 정확한 표에서 가져옵니다. 바뀌는 것은 선, 색, 배경뿐입니다. 카드를 클릭하면 해당 프롬프트를 불러옵니다.
단위원 예시
카드에 적힌 프롬프트로 실제 생성한 단위원 예시 네 가지입니다. 완성된 단위원, tan 값을 넣은 좌표, 특수 직각삼각형 정리표, 빈칸 채우기 학습지가 있습니다. 카드를 클릭하면 위 생성기로 불러옵니다.
숙제할 때 옆에 두는 기본 단위원입니다.
진도가 탄젠트까지 나갔을 때 쓰세요.
삼각함수 시험 범위를 한 장에 담았습니다.
외워서 채운 뒤 정답과 맞춰 보세요.
단위원이란?
단위원은 원점을 중심으로 하는 반지름 1인 원이고, 각 θ의 동경이 이 원과 만나는 점의 좌표가 (cos θ, sin θ)입니다. 각은 x축의 양의 방향에서 시계 반대 방향으로 재므로, 모든 각은 원 위의 한 점에 대응합니다. 그 점의 x좌표가 코사인, y좌표가 사인이고 tan θ = sin θ / cos θ입니다.
이 단위원에서 할 수 있는 것
- 16개 특수각을 육십분법과 호도법으로 적고 정확한 (cos θ, sin θ) 좌표를 보여 줍니다.
- 원하면 모든 각에 tan θ를 넣고, tan 90°와 tan 270°는 정의되지 않음으로 표시합니다.
- 어떤 각이든 기준 삼각형과 함께 강조하고 cos θ, sin θ 변에 이름을 붙입니다.
- 육십분법이나 호도법으로 입력한 각의 삼각함수 값을 구하고, 사인·코사인·탄젠트 값이 주어지면 해당하는 각을 찾아 줍니다.
- 빈 단위원 학습지를 인쇄하며, 정답은 2쪽에 들어갑니다.
- 브라우저에서 PNG, SVG, PDF로 내려받을 수 있고 컬러와 흑백 중에서 고를 수 있습니다.
단위원 사용법
- 1
각의 위치 찾기
x축의 양의 방향에서 시작해 시계 반대 방향으로 돌립니다. 90°(π/2)는 위, 180°(π)는 왼쪽, 270°(3π/2)는 아래입니다. 음의 각은 시계 방향으로 돌립니다.
- 2
좌표 읽기
원 위의 점이 (cos θ, sin θ)입니다. 30°에서는 (√3/2, 1/2)이므로 cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2입니다.
- 3
나눠서 탄젠트 구하기
tan θ = sin θ / cos θ이므로 tan 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = √3/3입니다. cos θ = 0인 90°와 270°에서는 tan θ가 정의되지 않습니다.
16개 특수각의 삼각함수 표
단위원은 원점을 중심으로 하는 반지름 1인 원입니다. 각 θ가 원과 만나는 점이 (cos θ, sin θ)이므로 이 삼각함수 표의 한 줄은 원 위의 점 하나입니다. x가 코사인, y가 사인이고 tan θ는 y를 x로 나눈 값입니다.
| 육십분법 | 호도법 | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | 정의되지 않음 |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | 정의되지 않음 |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
16개 각은 0°부터 330°까지 30°와 45°의 배수입니다. 단위원 위의 다른 각은 모두 이 값에 그 사분면의 부호를 붙여 씁니다.
단위원에서의 sec, csc, cot
나머지 세 함수는 앞의 세 함수의 역수입니다. sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ, cot θ = cos θ/sin θ이고, 제1사분면에서의 값은 다음과 같습니다.
| 각 | sec θ | csc θ | cot θ |
|---|---|---|---|
| 0° (0) | 1 | 정의되지 않음 | 정의되지 않음 |
| 30° (π/6) | 2√3/3 | 2 | √3 |
| 45° (π/4) | √2 | √2 | 1 |
| 60° (π/3) | 2 | 2√3/3 | √3/3 |
| 90° (π/2) | 정의되지 않음 | 1 | 0 |
단위원의 사분면과 삼각함수의 부호
사분면이 cos θ와 sin θ의 부호를 정하고, 기준각이 그 크기를 정합니다.
| 사분면 | 각의 범위 | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ | 양수인 함수 |
|---|---|---|---|---|---|
| I | 0°~90° (0~π/2) | + | + | + | 모두 양수 |
| II | 90°~180° (π/2~π) | − | + | − | sin만 양수 |
| III | 180°~270° (π~3π/2) | − | − | + | tan만 양수 |
| IV | 270°~360° (3π/2~2π) | + | − | − | cos만 양수 |
축 위에 있는 각은 어느 사분면에도 속하지 않습니다. 0°, 90°, 180°, 270°에서는 좌표 하나가 0이고 다른 하나는 1 또는 −1입니다.
단위원에서 탄젠트 값 읽기
탄젠트는 좌표에 바로 드러나지 않는 유일한 값입니다. 단위원에서 tan θ = sin θ / cos θ = y / x이고, 따로 그림으로도 나타낼 수 있습니다. 동경을 연장해 점 (1, 0)에서 원에 접하는 세로 직선 x = 1과 만나게 하면, 만나는 점의 높이가 tan θ입니다.
- tan θ는 x와 y의 부호가 같은 제1·제3사분면에서 양수, 제2·제4사분면에서 음수입니다.
- 90°와 270°에서는 점이 (0, ±1)이라 x = 0이므로 tan θ가 정의되지 않습니다. 동경이 직선 x = 1과 평행해서 만나지 않기 때문입니다.
- 제1사분면의 30°, 45°, 60°에서의 값 √3/3, 1, √3은 모든 사분면에서 그 사분면의 부호만 바뀌어 반복됩니다. 위 단위원에서 tan을 켜면 단위원 위에 함께 인쇄됩니다.
호도법으로 본 단위원
호도법은 단위원에서 각이 잘라내는 호의 길이로 각을 재는 방법이고, 그 단위가 라디안입니다. 한 바퀴의 호 길이가 2π이므로 360° = 2π, 180° = π입니다. 육십분법을 호도법으로 바꾸려면 π/180을 곱하고(150° × π/180 = 5π/6), 반대로 바꾸려면 180/π를 곱합니다. 단위원의 16개 라디안 값은 분모에 따라 네 묶음으로 나뉩니다.
| 묶음 | 기준각 | 호도법 | 육십분법 |
|---|---|---|---|
| 분모 6 | 30° | π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 | 30°, 150°, 210°, 330° |
| 분모 4 | 45° | π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 | 45°, 135°, 225°, 315° |
| 분모 3 | 60° | π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3 | 60°, 120°, 240°, 300° |
| 축 위의 각 | 0° 또는 90° | 0, π/2, π, 3π/2 | 0°, 90°, 180°, 270° |
분모를 먼저 보세요. 분모로 기준각과 값이 정해지고, 분자로 몇 사분면인지가 정해집니다.
빈칸을 채우는 빈 단위원
빈 단위원을 채워 보는 것이 단위원을 익히는 가장 흔한 방법입니다. 점과 동경은 그려져 있고 값은 직접 씁니다. 위의 빈 학습지 탭에서 자주 쓰는 세 가지 버전을 인쇄할 수 있고, 모두 2쪽에 정답이 들어갑니다.
- 도 단위가 주어진 버전은 라디안과 좌표를 채웁니다. 고등학교 수학I 삼각함수 단원 평가에서 흔히 나오는 형태입니다.
- 완전히 빈 버전은 도, 라디안, 좌표 칸이 모두 비어 있어 외웠는지 확인할 때 씁니다.
- tan 추가 버전은 좌표 아래에 탄젠트 값을 쓸 칸이 하나 더 있습니다.
단위원 퀴즈와 계산기
단위원이 눈에 익었다면 이 두 가지로 실력을 확인해 보세요.
단위원 퀴즈
다섯 가지 모드에서 10문제씩 풉니다. 이름 없는 원에서 점 찾기, 육십분법과 호도법 서로 바꾸기, 각의 좌표 말하기, sin·cos·tan 값 구하기가 있습니다. 틀리면 단위원에 정답을 보여 줍니다.
단위원 계산기
음의 각이나 360°보다 큰 각을 포함해 어떤 각이든 육십분법이나 호도법으로 입력하세요. −45°, 7π/3, 2.5 rad도 됩니다. 사분면, 기준각, 동경이 같은 각 두 개, 여섯 가지 삼각함수 값을 알려 주며, 15°의 배수인 각은 정확한 값으로 보여 줍니다.
단위원 외우는 법
단위원을 48개의 숫자로 따로 외우는 사람은 없습니다. 제1사분면만 익히고 나머지는 대칭과 부호로 해결하세요.
- 1
1-2-3 규칙 익히기
0°, 30°, 45°, 60°, 90°에서 sin θ는 √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2이고, 간단히 하면 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1입니다. cos θ는 같은 목록을 거꾸로 읽으면 됩니다.
- 2
손가락으로 외우기
왼손 손바닥을 자기 쪽으로 향하게 들고 새끼손가락부터 엄지까지 0°, 30°, 45°, 60°, 90°를 붙입니다. 구하려는 각의 손가락을 접으면 sin θ = √(새끼손가락 쪽 손가락 수)/2, cos θ = √(엄지 쪽 손가락 수)/2입니다. 30°라면 약지를 접습니다. 새끼손가락 쪽에 하나가 남으니 sin 30° = 1/2, 엄지 쪽에 셋이 남으니 cos 30° = √3/2입니다.
- 3
기준각으로 옮기기
제2~제4사분면의 각은 모두 기준각, 곧 x축과 이루는 예각과 같은 크기의 값을 가집니다. 150°, 210°, 330°는 모두 30°의 값을 씁니다. 교과서의 삼각함수 각 변환 공식도 같은 원리입니다.
- 4
얼싸안코로 부호 정하기
'얼(All)·싸(sin)·안(tan)·코(cos)' 순서대로 제1사분면은 세 함수 모두 양수, 제2사분면은 sin만, 제3사분면은 tan만, 제4사분면은 cos만 양수입니다.
단위원은 어디에 쓰나요
단위원은 직각삼각형의 예각에서만 정의되던 사인과 코사인을 양의 각, 음의 각, 360°보다 큰 각까지 모든 각으로 넓혀 줍니다.
모든 각의 삼각함수 값
기준각과 사분면의 부호만 알면 제1사분면의 값으로 150°, −45°, 480°의 sin, cos, tan을 구할 수 있습니다.
사인·코사인 함수의 그래프
θ가 한 바퀴 도는 동안 y좌표를 따라가면 사인 곡선이, x좌표를 따라가면 코사인 곡선이 그려지고 둘 다 주기가 2π입니다.
삼각방정식 풀이
sin θ = 1/2은 한 바퀴에 해가 두 개, 30°와 150°입니다. 높이가 1/2인 원 위의 두 점이기 때문입니다.
물리의 회전과 파동
등속 원운동, 교류 전류, 페이저는 모두 원 위를 도는 점으로 나타내며, 위상의 cos과 sin이 그 점의 x, y입니다.
단위원과 삼각함수 표 자주 묻는 질문
단위원이란 무엇인가요?+
단위원은 원점 (0, 0)을 중심으로 하는 반지름 1인 원입니다. x축의 양의 방향에서 잰 각 θ의 동경은 이 원과 점 (cos θ, sin θ)에서 만납니다. 그래서 단위원에서는 코사인과 사인을 좌표로 읽습니다.
단위원의 반지름은 왜 1인가요?+
직각삼각형에서 sin θ = 높이/빗변, cos θ = 밑변/빗변입니다. 빗변이 1이면 분모가 사라져 밑변이 cos θ, 높이가 sin θ가 되고, 이것이 그대로 점의 x좌표와 y좌표가 됩니다.
단위원에서 각의 좌표는 어떻게 구하나요?+
먼저 기준각(x축과 이루는 예각)을 찾고, 그 각의 제1사분면 값에 사분면의 부호를 붙입니다. 210°는 기준각이 30°이고 제3사분면에 있으므로 점은 (−√3/2, −1/2)입니다. 이 페이지의 단위원 옆 계산기는 어떤 각이든 이 과정을 대신해 줍니다.
단위원에서 tan 값은 어떻게 구하나요?+
y좌표를 x좌표로 나눕니다. tan θ = sin θ / cos θ입니다. 135°에서 점은 (−√2/2, √2/2)이므로 tan 135° = −1입니다. x = 0인 90°와 270°에서는 tan θ가 정의되지 않습니다. 위 단위원에서 tan을 켜면 16개 값을 모두 인쇄할 수 있습니다.
삼각함수 표에 나오는 16개 각은 무엇인가요?+
0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°이고, 호도법으로는 0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5π/6, π, 7π/6, 5π/4, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 7π/4, 11π/6입니다.
육십분법을 호도법으로 어떻게 바꾸나요?+
π/180을 곱하고 약분합니다. 225° × π/180 = 5π/4입니다. 반대로 호도법을 육십분법으로 바꿀 때는 180/π를 곱합니다. 7π/6 × 180/π = 210°입니다. 위 단위원의 라디안 값은 모두 이렇게 곱한 뒤 약분한 결과입니다.
음의 각은 단위원에서 어떻게 나타내나요?+
음의 각은 x축의 양의 방향에서 시계 방향으로 잽니다. −45°는 315°와 같은 곳에서 끝나므로 두 각은 점 (√2/2, −√2/2)를 공유합니다. 일반적으로 cos(−θ) = cos θ, sin(−θ) = −sin θ입니다.
단위원은 어떻게 그리나요?+
x축과 y축을 그리고 두 축이 만나는 점을 중심으로 반지름 1인 원을 그립니다. 원이 축과 만나는 곳에 0°, 90°, 180°, 270°를 표시하고, 제1사분면에 30°, 45°, 60°를 표시한 뒤 이 세 각을 다른 사분면에 대칭으로 옮깁니다. 각 점에 각과 (cos θ, sin θ)를 적으면 됩니다. 위에서 완성된 단위원을 PNG나 SVG로 내려받아도 됩니다.
참고 자료
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions — Precalculus 2e, OpenStax
- §4.14 Definitions and Periodicity (trigonometric functions) — NIST Digital Library of Mathematical Functions
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