확률 수형도 만들기 (트리 다이어그램 생성기)

수형도란?

수형도는 연이어 일어나는 사건의 모든 결과를 나뭇가지 모양으로 나열한 그림이며, 확률에서는 확률 수형도로 씁니다. 각 가지에는 앞선 가지가 일어났을 때 그 결과가 나올 확률을 적고, 한 경로를 따라 곱하면 그 경로의 확률이 됩니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 읽으며, 처음 갈라지는 가지들이 첫 번째 사건(첫 번째 추출, 던지기, 검사 결과)이고, 이후 단계의 가지는 앞 단계 모든 가지의 끝에서 되풀이되며, 각 경로의 끝이 전체 시행의 결과 하나입니다. 한 점에서 뻗은 가지의 확률을 더하면 1이고, 모든 결과의 확률을 더해도 1입니다. 같은 그림이 선택과 보상을 더한 의사결정나무, 무엇이 무엇에 속하는지만 보여 주는 계층 트리에도 쓰입니다.

이 도구가 계산하는 것

• 곱은 추측하지 않고 계산합니다. 각 결과는 경로를 따라 코드로 곱해 곱셈식, 약분 전 분수, 약분한 분수로 적습니다. 예: 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10.
• 분수는 분수로 둡니다. 분수로 쓴 가지는 분모를 그대로 유지하므로 두 번째 추출의 2/4가 슬그머니 1/2로 바뀌지 않습니다. 소수와 퍼센트는 소수와 퍼센트로 곱합니다.
• 빠진 여사건은 채웁니다. 한 점에서 가지 하나에만 확률이 없으면 1에서 나머지를 뺀 값을 줍니다(비 0.3 다음의 비 안 옴은 0.7). 입력한 가지의 합이 1보다 크거나 작으면 적힌 그대로 그리며, 몰래 고치지 않습니다.
• 지정한 사건은 더합니다. P(빨간 공이 정확히 1개), 앞면이 적어도 2번, 같은 색, '양성' 같은 단일 결과를 요청하면 해당하는 결과를 더해 수형도 아래에 적습니다.
• 읽을 수 있는 크기로 맞춥니다. 수형도 하나에 최대 4단계, 결과 48개까지입니다. 주사위 두 개(36가지)는 들어가지만 세 개(216가지)는 들어가지 않습니다.

자주 만드는 수형도와 각각 필요한 것

요청은 대부분 아래 여섯 가지 중 하나입니다. 가지에 무엇을 적고 끝에 무엇을 쓰는지가 서로 다릅니다.

모든 수형도에 깔린 곱셈 법칙과 덧셈 법칙

경로를 따라 곱하면 그 경로의 확률이 되고, 한 사건을 이루는 경로들을 더하면 그 사건의 확률이 됩니다. 첫째는 확률의 곱셈정리입니다. 첫 단계 뒤의 모든 가지는 조건부확률, 곧 A가 이미 일어났을 때 B가 일어날 확률입니다. 둘째는 배반사건의 덧셈정리입니다. 한 수형도의 서로 다른 두 경로는 동시에 일어날 수 없으므로 확률을 그냥 더합니다.

베이즈 정리도 같은 수형도에서 나옵니다. P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), 즉 A와 B를 지나는 경로 하나를 B로 끝나는 모든 경로의 합으로 나눈 값입니다. 선별 검사 예에서는 1.8% / 6.7% ≈ 26.9%입니다.

결과 표 풀이: 빨간 공 3개, 파란 공 2개에서 2개 꺼내기

첫 번째 예시의 결과 열을 표로 옮겼습니다. 수형도가 각 경로 끝에 적는 숫자가 바로 이것입니다.

P(빨간 공이 정확히 1개) = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5. 복원 추출이면 두 번째 분수도 다시 3/5와 2/5가 되어 P(빨강, 빨강)은 3/10이 아니라 9/25입니다.

수형도 그리는 법

수형도, 이원분할표, 벤 다이어그램 비교

수형도는 사건을 순서대로 보여 주며 가지에 조건부확률을 적고, 이원분할표는 같은 결합확률을 칸으로 된 표로 보여 주며, 벤 다이어그램은 사건의 겹침을 보여 주지만 순서는 없습니다.

교과서 문제 대부분은 세 가지로 모두 나타낼 수 있습니다. 조건부확률을 묻거나 사건이 차례로 일어날 때는 수형도를 쓰세요.

수형도 자주 묻는 질문