正态分布曲线在线制作（钟形曲线生成器）
按均值和标准差画出正态分布曲线：68-95-99.7 区间、标有精确概率的涂色区域、z 分数、百分位分界点，或两条叠加的曲线。用于统计课、考试题和论文插图。
正态分布曲线风格
四种风格，各配一条不同的曲线：课本配色下 A 到 F 的成绩等级区间，试卷用黑白斜线标出身高在 155 到 176 cm 之间的女性比例，期刊插图风格下按 40 只果蝇翅长拟合的曲线（带密度轴和地毯图），以及深色幻灯片上每日步数最高的 10%。
正态分布曲线示例
四个实际生成结果，各按卡片上的提示词绘制：标出 3σ 原则 68%、95%、99.7% 区间的智商分数；新生儿出生体重，2500 g 以下的尾部涂色并标出 P = 0.0359；α = 0.05 时 z 检验两侧各 0.0250 的拒绝域；以及安慰剂组和用药组血压曲线，两者重叠面积为 66.82%。点击卡片即可载入其提示词。
什么是正态分布曲线（钟形曲线）？
钟形曲线就是正态分布的密度曲线：一条以均值为中心、左右对称的单峰曲线，宽窄由标准差决定。 曲线下两个值之间的面积，就是取值落在两者之间的概率，所以涂出一块面积就能回答诸如“智商低于 85 的比例是多少”（15.87%）这样的问题。曲线永远不会碰到横轴；在均值两侧一个标准差处，高度降到峰值的 61%，而这里恰好是曲线由向下弯转为向外弯的拐点。
关于本工具
- 参数按你教材的写法输入即可：均值 100，标准差 15；μ = 0, σ = 1；72 ± 8；N(100, 15²)。也可以粘贴一列原始数据，曲线会用样本均值 x̄ 和样本标准差 s（n − 1）拟合。
- 涂色面积在绘图前由正态分布函数算出，保留四位小数：均值 100、标准差 15 时，P(X < 85) = 0.1587，P(85 < X < 115) = 0.6827。
- 百分比分界点用反函数倒推：智商前 5% 从 124.67 开始，标准正态分布的第 90 百分位数在 z = 1.282。
- x 轴从 μ − 4σ 到 μ + 4σ，每个标准差一个刻度（指定的边界落在两刻度之间时改用整数刻度）；最多三条曲线共用这条轴，图例中逐一标名。
- 只画正态分布，不画柱子：要在实测数据上叠加正态曲线，请用直方图工具，它会按密度刻度对样本分组。
能生成哪些正态分布图
大家来这里最常做的七种正态分布图，各自展示什么，以及该怎么写。
3σ 原则（68-95-99.7）钟形曲线
在每个标准差处把曲线切成条带：均值两侧各 34.13%，一到两个标准差之间 13.59%，二到三个之间 2.14%，两端尾部各 0.13%。 写“3σ 原则”或“68-95-99.7”，标注就按课堂上的讲法来（嵌套括号上标 68%、95%、99.7%，条带内标 34%、13.5%、2.35% 和 0.15%）；写“标准差区间”则标出精确到两位小数的面积。
标出标准差的正态曲线
横轴从 μ − 3σ 标到 μ + 3σ 的正态曲线，所有关于“某个值离均值多远”的问题背后都是这张图。 智商均值 100、标准差 15 时，刻度为 55、70、85、100、115、130、145；要求标出 σ 或 z 分数时，数字下面会再加一行。
正态曲线下的涂色面积
在指定值以下、以上、之间或之外涂出一个区域，并在上面标出概率。 均值 3400 g、标准差 500 g，涂出 2500 g 以下，标出 P(X < 2500) = 0.0359；女性身高均值 162 cm、标准差 7 cm，涂出 155 到 176 cm，标出 0.8186。每条边界都有一条竖线画到曲线上。
z 分数钟形曲线
标准正态曲线，均值 0、标准差 1，画在 −4 到 4 的 z 轴上。 可以标出一个 z 分数、涂出它左侧的面积做成 z 表示意图，或者涂出双侧检验的两个拒绝域：α = 0.05 时临界值为 ±1.96，每侧尾部 0.0250；α = 0.01 时为 ±2.576。
按等级划分的成绩分布曲线
一次考试的成绩分布，每个等级区间各涂一种颜色，并标出该区间的学生比例。 均值 72、标准差 8，A 为 88 以上，B 为 80 到 88，C 为 64 到 80，D 为 56 到 64，F 为 56 以下，得到 2.28%、13.59%、68.27%、13.59% 和 2.28%。按百分位定等级则反过来算：“前 10% 得 A”会给出分界分数。
两条叠加的正态分布
处理组对照组，或一种方法对另一种方法，共用一条轴并带图例。 要求计算重叠时，会算出共同面积：安慰剂组 138 mmHg、用药组 126 mmHg，标准差都是 14，重叠 66.82%，Cohen's d = 0.86。标准差不同的两条曲线有两个交点，两个都会找出来。
按样本拟合的正态曲线
粘贴原始测量值，曲线就按它们的均值和样本标准差画出，旁边标出 n、x̄ 和 s，需要时还可加上数据的地毯图。 如果要把分组后的数据画成柱子放在曲线下面，那就是叠加正态曲线的直方图。
3σ 原则（68-95-99.7）的精确值
大家背的是取整后的口诀，图上该标的是精确面积。每一行都由标准正态分布函数 Φ 算出，并换算到智商量表上作参照。
| 区间 | 区间内面积 | 区间外面积 | 智商量表（均值 100，标准差 15） |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68.27% | 31.73% | 85 到 115 |
| μ ± 1.645σ | 90.00% | 10.00% | 75.3 到 124.7 |
| μ ± 1.96σ | 95.00% | 5.00% | 70.6 到 129.4 |
| μ ± 2σ | 95.45% | 4.55% | 70 到 130 |
| μ ± 2.576σ | 99.00% | 1.00% | 61.4 到 138.6 |
| μ ± 3σ | 99.73% | 0.27% | 55 到 145 |
正态分布的 95% 落在均值两侧 1.96 个标准差以内，而不是 2 个。 两个标准差包含 95.45%；1.96 是 95% 置信区间所用的倍数，也是 α = 0.05 双侧检验的临界值。
正态曲线公式和 z 分数
钟形曲线就是正态密度函数 f(x)，从图上读出的每个概率都是 f 下方的一块面积，用 z = (x − μ)/σ 标准化后求得。 z 分数表示一个值离均值有几个标准差，所以一张 Φ 表就能回答任何正态量表上的问题，从智商分数到克数都行。
f(x) = e^(−(x − μ)² / 2σ²) / (σ√(2π)) z = (x − μ) / σ P(X < x) = Φ(z)
文字表述
曲线高度随到 μ 距离的平方而下降；x 左侧的面积就是 Φ(z)。
Φ 没有初等函数形式的解析式。本工具用误差函数以双精度计算 Φ(z) = ½[1 + erf(z/√2)]，所以标出的 0.1587 或 0.9750 四位小数全部准确；再用反函数 Φ⁻¹ 把指定的百分位换算成分界点。
正态曲线用在哪里
凡是用均值和标准差概括一项测量、又需要让读者看懂这个离散程度意味着什么的地方，都会出现钟形曲线。
检验医学中的参考区间
许多参考区间取的是健康人群中间的 95%，被测物呈正态分布时就是均值 ± 1.96 个标准差；涂出中间区域，就能看出哪些结果会被标为偏高或偏低。
按曲线评分
分界点定在固定的标准差距离或百分位上；这张图让全班看到每个等级的边界在哪里，以及各等级占多少学生。
假设检验和置信区间
z 检验的拒绝域、作为观测 z 值之外尾部面积的 p 值、作为中间 95% 的 95% 置信区间：这些都是统计学入门课的标准图。
标准化测验分数
智商（均值 100，标准差 15）和 T 分数（均值 50，标准差 10）都是在正态量表上定义的，所以百分位等级可以直接从曲线上读出：智商 130 高出均值两个标准差，超过 97.72% 的分数。
正态分布常见问题
正态分布曲线怎么画？
给出均值和标准差，说明要涂哪块面积，然后生成。 例如：“智商分数，均值 100，标准差 15，涂出 130 以上的区域并标出概率。”每个标准差处的刻度、曲线的高度以及 P(X > 130) = 0.0228，都在绘图之前算好。在电子表格里做同样的图，则需要一列 x 值、每个值用 NORM.DIST 算一遍，再画成平滑折线图。
3σ 原则（68-95-99.7 法则）说的是什么？
正态分布约 68% 落在均值一个标准差以内，95% 在两个以内，99.7% 在三个以内。 精确面积是 68.27%、95.45% 和 99.73%。这条规律只对正态数据成立；对任意分布，切比雪夫不等式只能保证两个标准差以内至少有 75%。
钟形曲线下涂色区域的概率怎么求？
先把每条边界换算成 z 分数，z = (x − μ)/σ，再取 Φ(z) 得到下方面积，1 − Φ(z) 得到上方面积，两个 Φ 值之差得到两者之间的面积。 均值 100、标准差 15 时：P(X < 85) = Φ(−1) = 0.1587，P(X > 115) = 0.1587，P(85 < X < 115) = 0.6827。这个页面是画图工具，不是正态分布计算器，但它做的正是这套计算，并把结果标在涂色区域上。
钟形曲线上的 z 分数是什么？
一个值离均值有几个标准差，z = (x − μ)/σ。 均值 162 cm、标准差 7 cm 时，176 cm 的身高 z = 2.00，分布中 97.72% 位于它以下。在标准正态曲线上，x 轴本身就是 z 刻度，所以临界值 ±1.96 可以直接标出来。
怎么涂出前 5% 或标出某个百分位数？
用百分比来提要求，分界点就由正态分布函数的反函数求出。 智商前 5% 从 124.67 开始（z = 1.645），后 10% 到 80.78 为止（z = −1.282），均值 8000、标准差 2000 的每日步数，第 90 百分位数是 10,563。
该用正态分布曲线还是直方图？
直方图展示你实测的数据；钟形曲线展示的是一个模型，即给定均值和标准差的正态分布。 要检查样本是否近似正态，就在密度刻度上画它的直方图并叠加正态曲线。讲解一种分布、标出分界点或展示一个概率时，才画单独的钟形曲线。
正态分布曲线的图注应该写什么？
写明分布名称、参数以及涂色的含义，例如：“均值 100、标准差 15 的正态分布；涂色面积 P(X < 85) = 0.1587，即分数低于 85 的比例。”拟合曲线要给出 n、x̄ 和 s，并说明曲线是正态拟合而不是数据本身。μ 和 σ 来自已发表的总体数据时，要注明出处。
两条正态曲线能放在一张图上比较吗？
可以：最多三条曲线共用一条轴，各用一种颜色，在图例中各标一次名称。 标准差相等的两条曲线，交点在两个均值的正中间；标准差不等时有两个交点，分别位于较窄曲线峰值的两侧。要求计算重叠面积或 Cohen's d，也会一并标出。
AI 会改动我的均值、标准差或概率吗？
不会。每个刻度、曲线在十七个点上的高度、每条边界的 z 分数以及每个涂色概率，都先按你的参数算好，图像模型只被要求把它们画到位，而不是自己去算。 没有给出参数的笼统请求，按标准正态分布（均值 0，标准差 1）画出；智商和 T 分数的图使用这些量表的规定值。
我的数据够正态，能画成钟形曲线吗？
正态曲线适合大致围绕一个峰左右对称的变量；先用直方图或正态 Q-Q 图检查一下。 反应时间、收入或抗体滴度这类右偏的测量值，套上正态曲线会严重失真，最好按原样展示，或在取对数后再画。
资料来源
- 1.3.6.6.1. Normal Distribution — NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods
- 6.1 The Standard Normal Distribution — OpenStax, Introductory Statistics 2e
