概率树状图在线制作（树状图生成器）
面向数学和统计的树状图生成器：画概率树状图，标出每条分支的概率并乘出每个结果，也能画决策树和分类树状图，用于上课、练习题和报告。
树状图风格
每种风格各配一棵不同的树：实数按子集逐级分类，转盘转两次，下雨与迟到，驾照考试与补考。点击卡片即可载入对应的提示词。
树状图示例
四个起始示例的实际生成结果：从 3 个红球和 2 个蓝球中不放回地摸两次；患病率 2% 的筛查检验，一直算到 P(检测阳性)；抛三次硬币的全部八种结果；以及逆推到期望值的产品上市决策。点击任一张即可载入其提示词。
什么是树状图？
树状图是一种分叉的图，把一连串事件的所有可能结果逐一列出；在概率中它就是概率树状图，每条分支标着在前面分支已发生的条件下该结果的概率，沿一条路径相乘就得到这条路径的概率。 从左往右看，第一组分支是第一个事件（第一次摸球、抛掷或检测结果），之后每一组分支都从前一步每条分支的末端重新展开，每条路径的终点是整个试验的一个结果。从同一点出发的分支概率之和为 1，所有结果加起来也为 1。同样的画法还用于决策树（加上决策和收益）和层级树状图（只表示从属关系）。
本工具会算出什么
- 乘积是算出来的，不是估的。 每个结果都由程序沿它的路径相乘，写成乘式、未约分的分数和约分后的分数，例如 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10。
- 分数保持分数。 以分数给出的分支保留原分母，所以第二次摸球的 2/4 不会被悄悄改成 1/2；小数和百分数按小数和百分数相乘。
- 缺少的对立事件会补上。 某个点上有一条分支没给概率时，按 1 减去其余分支补上（下雨 0.3 之后的不下雨记为 0.7）。你给出的分支加起来大于或小于 1 时，按原样画出，绝不在背后替你改正。
- 你点名的事件会被求和。 要求 P(恰好一个红球)、至少两次正面、颜色相同，或检测阳性这样的单一结果时，相应的结果会相加并写在树下。
- 规模以清晰为限。 一棵树最多四步、48 个结果：两颗骰子（36 个结果）放得下，三颗骰子（216 个）放不下。
常见的树状图，以及各自需要什么
大多数需求都属于下面六种。它们的区别在于分支上写什么、末端写什么。
概率树状图
初中和高中数学里两步或三步的树状图：每个事件一组分支，每条分支上一个概率，右侧是结果列，每条路径都乘好。概率怎么给的就怎么写（3/5、0.6 或 60%），再点名要相加的事件，例如 P(恰好一个红球)。
不放回的树状图
摸球、抽牌、取糖果后不放回，第二组分支就会变：从 3 个红球和 2 个蓝球中，红 3/5 之后是红 2/4 和蓝 2/4，蓝 2/5 之后是红 3/4 和蓝 1/4。描述袋中的球和摸球次数，后面的分数由程序算出。有放回时每一步都和第一步相同。
条件概率树状图（贝叶斯）
筛查和质检类题目：第一组分支按是否患病分开（即患病率），第二组按检测结果分开（患病者中为灵敏度，未患病者中为假阳性率）。患病率 2%、灵敏度 90%、假阳性率 5% 时，P(检测阳性) = 1.8% + 4.9% = 6.7%，所以阳性者中只有约 27% 真正患病。
硬币和骰子的树状图（样本空间）
每条分支概率相等：均匀硬币为 1/2，骰子为 1/6。抛三次硬币有 8 个结果、各 1/8，掷两颗骰子有 36 个结果、各 1/36；要求某个事件，比如至少两次正面（4/8 = 1/2），就从树上数出来，这是展示样本空间最清楚的方法。
决策树
方框表示决策，圆圈表示随机事件，每条分支末端写收益。期望值从收益逐级逆推：一次上市以 0.6 的概率成功、收益 $500,000，失败则为 −$200,000，其价值为 0.6 × 500,000 + 0.4 × (−200,000) = $220,000，所以优于不上市，被放弃的选项用双斜线划掉。
层级和分类树状图
没有概率，只表示谁属于谁：实数分为有理数和无理数，有理数再分为整数和分数，依此类推。默认从上到下画在方框里，也可以要求从左到右，顶层方框之下最多四层。
每棵树背后的乘法公式和加法公式
沿路径相乘得到这条路径的概率，再把组成某个事件的路径相加。 第一条是一般的概率乘法公式：第一步之后的每条分支都是条件概率，即在 A 已经发生的条件下 B 发生的概率。第二条是互斥事件的加法公式：同一棵树上两条不同的路径不可能同时发生，所以概率直接相加。
P(A 且 B) = P(A) × P(B | A) P(事件) = Σ P(路径)
文字表述
路径的概率 = 路径上各分支概率之积；事件的概率 = 其所含路径概率之和
贝叶斯公式也能从同一棵树上读出： P(A | B) = P(A 且 B) / P(B)，即经过 A 和 B 的那条路径，除以所有以 B 结尾的路径之和。在筛查示例中就是 1.8% / 6.7% ≈ 26.9%。
结果计算表：从 3 个红球和 2 个蓝球中摸两次
把第一个示例的结果列整理成表格。这些就是树状图在每条路径末端写的数。
| 路径 | 相乘的分支 | 概率 |
|---|---|---|
| 红，红 | 3/5 × 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| 红，蓝 | 3/5 × 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| 蓝，红 | 2/5 × 3/4 | 6/20 = 3/10 |
| 蓝，蓝 | 2/5 × 1/4 | 2/20 = 1/10 |
| 全部四条路径 | 20/20 = 1 |
P(恰好一个红球) = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5。 如果有放回，第二次的分数仍是 3/5 和 2/5，P(红，红) 就是 9/25，而不是 3/10。
如何画树状图
列出各步和每步的结果
按顺序写出各个事件（第一次摸球、第二次摸球）以及每个事件可能的结果。某一步的每个结果，都要从上一步每条分支的末端各引出一条分支。
在每条分支上标概率
用的是在已发生情况下的概率：摸出一个红球且不放回后，袋里就少了一个红球。从同一点出发的分支加起来等于 1，这是检查有无遗漏最快的办法。
横向相乘，纵向相加
在每条路径末端写出各分支概率之积；整棵树上这些乘积加起来等于 1。求某个事件的概率，就把属于它的路径相加，其他的不加。
树状图、列表法（二维表）与韦恩图的区别
树状图按先后顺序展示事件，条件概率写在分支上；二维表把同样的联合概率排成一个个格子；韦恩图展示事件之间的重叠，但不体现顺序。
| 树状图 | 二维表 | 韦恩图 | |
|---|---|---|---|
| 事件顺序 | 逐步显示 | 不显示 | 不显示 |
| 条件概率 | 写在后面的分支上 | 由行或列的合计算出 | 不直接显示 |
| 联合概率 | 在每条路径末端 | 在每个格子里 | 在每个区域里 |
| 两步以上 | 每多一步加一组分支 | 超过两个变量就很别扭 | 超过三个集合就很别扭 |
| 最适合 | 依次进行的摸球、抛掷和检测 | 按两个类别交叉分组的调查计数 | A 或 B、A 且 B 这类问题 |
课本上的大多数题目三种方法都能画。题目涉及条件概率，或事件一个接一个发生时，就用树状图。
树状图常见问题
数学和统计里的树状图是什么？
它把多步试验的每个结果画成一条由分支组成的路径，用来求复合事件的概率。 每组分支是一步；路径条数就是结果的个数（抛三枚硬币为 2 × 2 × 2 = 8），沿路径把概率相乘就得到该结果的概率。计数问题用的是同样的树，只是不写概率。
概率题的树状图怎么画？
每个事件画一组分支，每条分支标上结果和概率，然后沿每条路径相乘。 在这里可以直接用一句话输入题目（袋中有 3 个红球和 2 个蓝球，不放回地摸两次），也可以把分支写成缩进列表，每行一条，标签后写 3/5、0.6 或 60%；某一行再多缩进一级，就挂在上一行之下。
树状图末端的概率怎么看？
每条路径末端的数是联合概率：这条路径上的所有事件按这个顺序都发生的概率。 P(红，蓝) = 3/5 × 2/4 = 3/10 的意思是第一次红、第二次蓝。要回答关于某个事件的问题，就找出所有符合的路径，把末端的值相加；所有末端值加起来等于 1。
不放回时树状图有什么变化？
不放回时，第二组分支用的是第一次摸完后剩下的球，所以各分支上的分数不一样。 从 3 个红球和 2 个蓝球中，摸到红球之后的分支是红 2/4 和蓝 2/4，摸到蓝球之后是红 3/4 和蓝 1/4。有放回时每组分支都重复 3/5 和 2/5，两次摸球相互独立。
为什么从同一点出发的分支加起来必须等于 1？
因为从一个点出发的分支是这一步所有可能的结果，而且恰好有一个会发生。 如果下雨之后的分支写着迟到 0.4、准时 0.5，那就是漏了一个结果或者某个数写错了。本工具会用对立事件补上唯一缺失的分支；加起来不等于 1 的一组分支则按你写的原样画出，不作改正。
怎么用树状图求条件概率？
用你要的那条路径，除以所有满足已知条件的路径之和。 以筛查检验为例，P(患病 | 检测阳性) = P(患病且阳性) / P(检测阳性) = 1.8% / (1.8% + 4.9%) ≈ 26.9%。这就是从树上读出的贝叶斯公式，也说明了为什么罕见病检测的阳性结果常常是虚惊一场。
树状图上的分数要约分吗？
分支上的分数一般照原样保留，末端的值常常同时写出约分前后的形式。 6/20 和 3/10 并列，能看出公分母，四个结果加起来正好是 20/20。小数和百分数也可以用；只有你的教材这样混用时才混用，因为同一种形式的树更容易检查。
树状图和遗传系谱图、系统发育树、支序图、检索表是一回事吗？
不是：这四种是不同的图，各有自己的规范，这里也各有对应的工具。 表示性状遗传的家族图是遗传系谱图，带枝长的进化树是系统发育树，按共有衍征构建的是支序图，由成对选项组成的鉴定指南是检索表。数学里的树状图讲的是结果及其概率。
AI 会改动我给的概率吗？
不会。每个分支值、乘积、和与期望值都在绘图之前由程序算好，并逐字告诉模型。 模型从来不需要自己去算 3/5 乘 2/4。如果你的分支加起来不等于 1，树会按你写的原样画出，而不是被悄悄修正，所以请核对你输入的数字。
报告或论文里的树状图图注怎么写？
说明各步是什么、摸取是否放回，以及哪些数是条件概率。 例如：图 1. 从装有 3 个红球和 2 个蓝球的袋中不放回地摸两次的概率树状图。分支上的数值为条件概率，末端的数值为联合概率。决策树还要说明收益的单位，以及期望值是如何逆推的。
AI 画的决策树能放进期刊论文吗？
通常可以，因为它是解释性的示意图，不是你的数据图像，但最终由期刊决定。 Elsevier 的期刊生成式 AI 政策把决策树列为 AI 工具可以协助制作的解释性图像之一，而原始研究数据的图像不得由 AI 生成。请查阅你投稿期刊自己的政策，并在方法部分或图注中说明这张图是怎么做的。
一棵树状图最多能有多少个结果？
这里最多四步、48 个结果，足够画两颗骰子（36 个结果）和抛四次硬币（16 个）。 再多，树在一页纸上就看不清了：改用分步乘法计数原理或表格，或者只画题目需要的分支（例如只画至少出现一个六点的路径）。
资料来源
- 3.5 Tree and Venn Diagrams — OpenStax Introductory Statistics 2e
- Introduction to Probability (Grinstead and Snell), tree diagrams and conditional probability — Dartmouth College
- Generative AI policies for journals — Elsevier
