点图在线制作（点图生成器）
点图生成器，用于统计作业、AP 统计和实验报告：每个数值一个点，叠放在数轴上方；两组数据画在对齐的两条数轴上；平均数、中位数、四分位数和分布形状都先按你的数据算好，再动笔画图。
点图生成器的期刊风格
点图生成器的五种预设，各配一项不同的研究：两个小鼠品系的树突棘密度、大山雀的窝卵数、三种处理下的 CD8+ T 细胞、两个试验组的住院天数，以及考试前一晚的睡眠时长。点击卡片即可套用该风格或载入它的数值。
点图示例
四个来自点图生成器的点图示例，都是按卡片上的提示词和数值实际生成的：一次小测并描述了分布形状，一组右偏的计数数据，两个班级画在同一条数轴上，以及精确到四分之一英寸、刻度标成分数的测量值。点击任意卡片，它的提示词和数值就会载入上方输入框。
什么是点图？
点图（美国小学课本里叫 line plot）把一组数画成数轴上方的点：每个观测值一个点，相同数值的点往上叠成一列，所以一列的高度就是这个数值出现的次数。 每个数据点都看得见，小样本数据的分布形状、中心和离散程度一眼就能读出来。所以美国六年级数学（共同核心标准 6.SP.4）和 AP 统计都把它当作展示分布的第一种图。
关于这个点图工具
- 数值可以直接输入点图生成器（成绩：6, 7, 7, 8, 8…），每组一行；也可以附加电子表格（.csv、.tsv 或 .xlsx，最多三个），每组一列。
- 点图生成器在画图之前用程序计数每一堆点：每个数值上方的点数、数轴及其刻度，并核对各堆点数加起来等于 n。
- 向点图生成器要平均数、中位数、众数、极差、四分位数、某个百分位数或对分布形状的文字描述，它给出的数字都是按你的数值算出来的，不由图像模型估计。
- 给点图生成器两组或更多组数据，它会画成双点图：每组一行，数轴完全相同，相等的数值上下对齐，中心和离散程度用眼睛就能比较。
- 在点图生成器里，整数每个数值一堆；四分之一、八分之一英寸的测量值刻度标成分数；过于精细、无法成堆的数值只在叠点时取整到合适的步长，统计量仍用原始数值计算。
如何用点图生成器画点图
- 1
把数值交给点图生成器
在标签后面输入数值，宠物：0, 0, 1, 1, 1, 2…，重复的数值出现几次就写几次。第二行就是单独一行的第二组。也可以用电子表格：每组一列，或者长格式，一列组名、下一列数值。
- 2
说明点图上要显示什么
告诉点图生成器轴标题，以及要标出的内容：平均数、中位数、众数、极差、Q1 和 Q3、第 90 百分位数、频数轴、实验数据的均值 ± SD，或者“描述分布形状”。写“竖直”就会画成数值在 y 轴上的竖列。
- 3
生成并数一堆点核对
点图生成器按算好的点数来画，所以最高的一列正好有你的数据所说的那么多个点。拿一堆点和你的计数核对一下，需要修改就在对话里说，然后导出 PNG、SVG 或 PPTX。
点图的组成部分
老师批改手绘点图时检查的六个部分，以及点图生成器在画图之前用程序定好的那些。
- 数轴
- 一条覆盖全部数据的水平刻度，相邻刻度间距相等；从最小值下方一格开始（计数数据从 0 开始），到最大值上方一格结束。
- 点
- 每个观测值一个点，大小相同，间距相同，所以六个点的一堆看上去正好比五个点的一堆高出一个。
- 点堆
- 同一个数值的重复值沿它的刻度竖直往上叠，绝不落在两个刻度之间。最高的一堆就是众数，点图生成器在画每一堆之前都先数过。
- 标题和轴标签
- 写明数的是什么以及单位，比如宠物数量或身高（cm）。普通点图没有 y 轴；频数点图会加一条。
把点图生成器当作平均数、中位数和众数计算器
十五名学生报告了暑假读了几本书。点图生成器把这串数变成一堆堆点；同样这些点堆，可以从下面的频数表里读出点图题目要问的每一个数。
| 书的本数 (x) | 频数 (f) | x × f | 累计计数 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 2 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 6 | 6 |
| 3 | 4 | 12 | 10 |
| 4 | 2 | 8 | 12 |
| 5 | 1 | 5 | 13 |
| 6 | 1 | 6 | 14 |
| 11 | 1 | 11 | 15 |
| 合计 | 15 | 50 | — |
- 1
平均数：把所有数值加起来
每个数值乘以它那一堆的高度再相加：50 本 ÷ 15 名学生 = 3.33。在点图上这就是平衡点，点图生成器在数轴下方用一个小三角形标出它。
- 2
中位数：数到正中间的那个值
共 15 个数值，中位数是从左数第 8 个。累计计数在 2 处达到 6，在 3 处达到 10，所以第 8 个落在 3 那一堆：中位数 = 3。
- 3
众数和极差：最高的一堆，从头到尾
最高的一堆有 4 个点，在 3 处，所以众数是 3。极差是最大值减最小值：11 − 0 = 11。
- 4
四分位数和离群值
去掉中位数，把其余数值分成两半：下半部分 7 个数（0, 1, 1, 2, 2, 2, 3）的中位数 Q1 = 2，上半部分 7 个数（3, 3, 4, 4, 5, 6, 11）的 Q3 = 4，所以 IQR = 2。上限为 4 + 1.5 × 2 = 7，因此 11 是离群值。
- 5
百分位数：数小于或等于它的数值
第 80 百分位数取排在第 ⌈0.8 × 15⌉ = 12 位的数值：累计计数在 4 处达到 12，所以是 4 本书。读了 5 本书的学生不低于 15 个数值中的 13 个，处在第 87 百分位。向点图生成器要“第 80 百分位数”，它就在那个位置画线。
平均数（3.33）在中位数（3）右边，因为读了 11 本的那位学生把它拉了过去；去掉这个点，平均数是 39 ÷ 14 = 2.79。点图有离群值或长尾时，应报告中位数和 IQR。把这串数交给点图生成器，这张图上的每个标记都会按同样的计数画出来。
如何描述点图的分布
完整的回答要结合实际背景、带着数字说清四件事：形状、离群值、中心和离散程度（AP 统计里简称 SOCS）。先读形状，因为它决定该报告哪种中心和离散程度：大致对称的点图用平均数和标准差，偏态或有离群值的点图用中位数和 IQR。点图生成器先把离群值放在一边，再按数过的点堆说出分布形状。
大致对称
点堆从中间向两侧大致同样地降低；平均数和中位数很接近。
应报告平均数和 SD（或中位数和 IQR）
右偏
大多数数值集中在低端，右边拖着几个大数值形成的长尾；平均数被拉到中位数之上。
应报告中位数和 IQR
左偏
数值堆在高端，向左逐渐稀疏，就像一次简单的考试；平均数在中位数之下。
应报告中位数和 IQR
大致均匀
整个范围内每一堆高度都差不多，就像掷一枚均匀骰子 60 次；没有峰。
应报告中位数和极差
双峰
两个分开的高堆之间有一个低谷，通常说明混入了两个群体，比如两个班级或两个物种。
应报告分别描述每个峰
一个聚集区和一个空档
大多数数值挤在一起，数轴上一段空白把另外几个数值隔开；要说出聚集区的范围和空档的位置。
应报告中位数和 IQR
一个离群值
远离其余数据、大于 Q3 + 1.5 × IQR 或小于 Q1 − 1.5 × IQR 的数值是离群值；描述其余数据之前，先确认它不是录入错误。
应报告中位数和 IQR，并指出离群值
读书数据的参考答案
读书本数的分布在 0 到 6 之间大致对称，11 本处有一个离群值。中位数是 3 本，IQR 是 2 本；平均数（3.33）被离群值拉到了中位数之上。7 到 10 本之间是一个空档。
让点图生成器“描述形状、中心和离散程度”，它就会在图下方写出同样的四个部分，用的正是放置这些点的同一份计数。上面每张卡片都会载入一组这种形状的数据。
点图生成器能画哪些图
练习题、AP 统计和实验报告里常见的七种点图，各自的特点，以及要让点图生成器画出它该怎么写。
分数刻度的点图（line plot with fractions）
精确到 ½、¼ 或 ⅛ 个单位的测量值，画在刻度标成分数的数轴上，美国共同核心标准 4.MD.4 和 5.MD.2 就是这样要求的。 数值用小数输入（1 ¼ 写成 1.25），并写上“分数刻度”：点图生成器把刻度标成 1、1 ¼、1 ½……，每个测量值叠在自己的分数上方。
双点图
两组数据画在上下两条完全相同的数轴上，相等的数值上下对齐。 美国七年级（7.SP.3）和 AP 统计的简答题就是这样比较两个分布的；让点图生成器比较中心和离散程度，它会写出哪一组的中位数更高、哪一组更分散。
频数点图
带竖直频数轴的点图，每一堆的高度可以直接从刻度读出，不必一个个数。 一堆超过十个点时很有用。写“频数轴”，点图生成器就会加上一条从 0 到最高一堆的 y 轴。
标出平均数和中位数的点图
平均数用数轴下方的小三角形表示（平衡点），中位数用虚线表示，两者都画在算出的位置上。 看两者分开多少，是展示偏态或离群值牵引作用最快的办法；点图生成器按数值定位两者，不靠目测。
抽样分布的点图
每个点是一次模拟抽样得到的统计量，比如样本比例，整张图展示统计量在不同样本之间如何变化。 AP 统计从点的中心与真实值的偏离读出偏差，从点的分散程度读出变异性：一团紧密的点远离真实值，就是高偏差、低变异性。把模拟得到的统计量粘贴进点图生成器，再把真实值标成一条线。
带平均数和误差线的点图
科研用的形式：每个条件一列，数值在 y 轴上，每个重复或每只动物一个点，旁边是均值 ± SD 或 ± SEM。 小样本实验都这样展示，因为只画平均数的柱子会把数据点藏起来；对点图生成器写“竖直”和“均值 ± SD”即可。
大数据集的点图
一堆快超过约 24 个标记时，每个标记代表几个观测值，并用图例说明（每个符号 = 5 名学生）。 点图生成器会自己选这个单位；数值超过几百个时，直方图通常更清楚，直方图生成器接受同样的数据列表。
点图、直方图和散点图的区别
点图和直方图都展示一个数值变量；点图保留每个数值，直方图把数值分组到区间里。散点图则需要每个对象有两个变量。 美国小学数学里的 line plot 和点图是同一种图，只是用 X 代替了点。
| 对比项 | 点图 | 直方图 | 散点图 |
|---|---|---|---|
| 每个标记代表 | 一个观测值，一个点落在它的数值上方 | 每个区间一根柱，高度或面积是频数 | 一个对象，由两个测量值定位 |
| 变量 | 一个数值变量，可分组 | 一个数值变量 | 两个数值变量 |
| 能否看到单个数值 | 能，每一个都能看到 | 不能，只知道落在哪个区间 | 能 |
| 适用于 | 小到中等规模的数据，大约 100 个数值以内 | 中到大规模的数据 | 任何规模；看关系，不看分布 |
| 众数怎么读 | 最高的一堆 | 最高的柱（众数组） | 不适用 |
| 比较多组 | 对齐数轴上的多行 | 叠加、堆叠或并排分图 | 每组用不同的标记形状或颜色 |
同样的数，问的问题不同：在点图生成器里画出每个数值，在直方图生成器里把长长的数据列表分组，在箱线图生成器里概括成五个数，或者配上第二个变量画成散点图。
点图练习题与答案
十一株菜豆种在阳光下，十一株种在阴凉处，生长 14 天。下面是点图练习题会针对这样一张图问的问题，图按点图生成器排两组数据的方式画出；先自己做，再展开答案。
1.哪一行点图表示数据集 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 13？
哪一行都不是。 阴凉一行有十一个点：这个列表少了两个 6 中的一个。把列表和点图对应起来，要核对每一堆的高度，不能只看范围。
2.每一行的株高中位数是多少？
阳光 12 cm，阴凉 7 cm。 共 11 株，中位数是从左数第 6 株：阳光一行这株在 12 那一堆，阴凉一行在 7 那一堆。
3.求阴凉处植株的平均株高。
7.27 cm。 把每株的株高相加：4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 13 = 80，再除以 11。平均数高于中位数 7，因为 13 处那株把它往右拉了。
4.哪一行的离散程度更大？
取决于用哪种指标。 阴凉一行的极差更大（13 − 4 = 9，阳光为 15 − 9 = 6），但两行的 IQR 都是 2 cm（阴凉 8 − 6，阳光 13 − 11）。极差是被 13 处那一株拉大的。
5.阴凉处 13 cm 的那株是离群值吗？
是。 Q1 = 6，Q3 = 8，所以 IQR = 2，上限是 8 + 1.5 × 2 = 11。13 超过了上限。剔除它之前，先检查是不是花盆标签贴错了。
6.比较这两个分布。
阳光下的植株长得更高：它们的株高中位数（12 cm）比阴凉处植株的中位数（7 cm）高 5 cm。 两行都大致对称，IQR 同为 2 cm；阴凉一行在 13 cm 处有一个离群值。两行只在 9 到 13 cm 之间有重叠。
7.一次模拟得到 50 个样本比例，其点图中心在 0.62，只分布在 0.58 到 0.66 之间，而真实比例是 0.50。描述它的偏差和变异性。
高偏差、低变异性。 估计值聚集得很紧，说明这种方法给出的结果很一致，但中心远离 0.50，说明它一致地错了。增大样本量会进一步缩小离散程度，却纠正不了偏差；换一种更好的抽样方法才能纠正。
手上有自己的练习题？把题里的数粘贴进点图生成器，每组一行，再拿它给出的中位数和离散程度核对你的答案。
点图生成器与 Excel、Google 表格、Desmos 和 R 的对比
Excel 和 Google 表格没有点图这种图表类型，Desmos 和 R 有。下表列出每种工具（以及点图生成器）在计数、统计量和第二组数据上分别要你做多少。
| 对比项 | 本点图生成器 | Excel | Google 表格 | Desmos | R (ggplot2) |
|---|---|---|---|---|---|
| 怎样得到点图 | 输入或附加数值；点堆由程序计数 | 没有这种图表类型：加一列 COUNTIF 累计计数，画成只有标记的 XY 散点图 | 同样的变通办法：累计计数列、散点图，隐藏网格线和 y 轴 | 在图形计算器里用 dotplot(list)，组距手动设置 | geom_dotplot(binwidth = 1)；它画出的 y 轴没有意义，必须隐藏 |
| 两组数据 | 两行数值画成对齐数轴上的两行 | 第二个系列手动错开 | 第二个系列手动错开 | 对第二个列表再写一个 dotplot() | facet_wrap() 或分组映射 |
| 平均数、中位数、众数 | 按需计算并标出 | 在单元格里分别写公式 | 在单元格里分别写公式 | 分别输入 mean() 和 median() | 分别调用；标记作为图层添加 |
| 四分位数、离群值、形状 | 按两半取中位数得 Q1、Q3，按 1.5 × IQR 判离群值，并写出形状描述 | QUARTILE.EXC 公式，图上什么都没有 | QUARTILE 公式，图上什么都没有 | 单独输入 quartile() | fivenum()；形状要自己描述 |
| 分数刻度 | 四分之一和八分之一标成分数 | 坐标轴用分数数字格式（# ?/?） | 坐标轴用分数数字格式 | 小数刻度 | 用 MASS::fractions 之类的标签函数 |
| 成品 | 课堂或期刊风格，PNG、SVG 或 PPTX | Office 图表样式 | Google 表格图表样式 | 截图或导出图片 | 完全可控，靠写代码 |
数据已经在电子表格里？把 .xlsx 原样附加给点图生成器即可：每组一列、组名写在表头行，或者长格式，一列组名、下一列数值。
点图生成器常见问题
点图怎么画？
画一条数轴，用等距刻度覆盖从最小值到最大值的范围，然后每个观测值在数轴上方放一个点，重复值竖直往上叠。 给图加上标题和带单位的轴标签。点图生成器根据输入的数据列表完成这一切：拿一堆点和你的数据核对一下即可。
怎样从点图求平均数？
每个数值乘以它上方的点数，把乘积相加，再除以点的总数。 4、5、6 上方分别有 1、2、3 个点时，平均数是 (4 + 10 + 18) ÷ 6 = 5.33。让点图生成器标出平均数，它也是这样算的。
怎样从点图求中位数？
从左往右数到正中间的那个点：第 ((n + 1) ÷ 2) 个点。 数据个数为偶数时，取中间两个数的平均：20 个数值的中位数在第 10 个和第 11 个之间正中。需要时，点图生成器会把中位数画成虚线。
line plot 和点图是一回事吗？
在中小学数学里是：line plot 把每个数值画成数轴上方的一个 X 或一个点，这就是点图。 美国二到五年级叫 line plot，六年级起叫 dot plot。折线图把随时间变化的点连起来，是另一种图。
怎样用 Excel 画点图？
Excel 没有点图图表，所以要在排好序的数值旁加一列累计计数（=COUNTIF($A$2:A2, A2)），再把这两列画成只有标记的 XY 散点图。 然后隐藏 y 轴和网格线。点图生成器省去这套变通办法：把表格原样附加上去就行。
怎样画分数刻度的点图？
按测量值所用的分数给数轴标刻度，比如四分之一（0、¼、½、¾、1、1 ¼……），每个测量值在它的分数上方叠一个点。 在点图生成器里，测量值用小数输入，并写“分数刻度”：四分之一和八分之一的数值会标成分数。
什么时候该用点图而不是直方图？
数据少到能把每个数值都画出来（大约 100 个以内）时用点图；数据更多，或者是连续数值、很少重复时用直方图。 点图能看到精确数值和空档；直方图把它们藏进了区间。点图生成器和直方图生成器读取的是同一份粘贴的数据列表。
点图生成器最多能处理多少个数值？
点图生成器最多接受 800 个数值、最多六组，范围不限。 一堆超过约 24 个点时，它让每个标记代表几个观测值并给出图例；数值超过几百个时，直方图通常更清楚。
这个点图生成器免费吗？
起步免费：注册即送 100 免费积分，无需绑卡。 点图生成器计数点堆、计算统计量不花积分；积分只在画图时消耗。
什么是克利夫兰点图？
克利夫兰点图在同一刻度上把每个类别的一个数值画成一个点，类别沿侧边排列并按数值排序，是比柱状图更简洁的替代。 它和点图生成器画的分布点图不是一种图，后者展示的是一个变量的每一个观测值。
什么是点须图？
点须图把估计值（比如回归系数或效应量）画成点，再用须线表示它们的置信区间。 它概括的是模型，而不是原始数据。如果要画各项研究的效应量和合并估计值，请用森林图生成器。
这是美联储的点阵图吗？
不是：美联储点阵图画的是每位 FOMC 委员对政策利率的预测。 本页用你自己的数据画统计学意义上的点图。
参考资料
- Dot Plots — Leland Wilkinson, The American Statistician 53(3): 276–281 (1999)
- 六年级统计与概率，6.SP.B.4 — 美国共同核心州立标准（Common Core State Standards Initiative）
- geom_dotplot: Dot plot — ggplot2 参考文档，Posit
- 图形计算器中的统计功能 — Desmos 帮助中心
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