Baumdiagramm erstellen: Wahrscheinlichkeitsbaum-Generator
Ein Baumdiagramm-Generator für Mathematik und Statistik: Wahrscheinlichkeitsbäume mit beschrifteten Ästen und jedem Pfad ausmultipliziert, dazu Entscheidungsbäume und Klassifikationsbäume für Unterricht, Arbeitsblätter und Berichte.
Stile für Baumdiagramme
Jeder Stil an einem eigenen Baum: die reellen Zahlen in ihre Teilmengen zerlegt, ein Glücksrad zweimal gedreht, Regen und Verspätung, eine Fahrprüfung mit Wiederholung. Klicken Sie auf eine Karte, um den zugehörigen Prompt zu laden.
Baumdiagramm-Beispiele
Echte Ergebnisse der vier Startvorlagen: zweimal Ziehen ohne Zurücklegen aus einem Beutel mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, ein Screeningtest mit 2 % Prävalenz bis zu P(Test positiv) durchgerechnet, alle acht Ergebnisse eines dreifachen Münzwurfs und eine Entscheidung über einen Produktstart, auf ihren Erwartungswert zurückgerechnet. Klicken Sie eines an, um seinen Prompt zu laden.
Was ist ein Baumdiagramm?
Ein Baumdiagramm ist ein verzweigtes Diagramm, das jedes Ergebnis einer Folge von Ereignissen auflistet; in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es der Wahrscheinlichkeitsbaum, bei dem jeder Ast die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses unter der Bedingung der vorherigen Äste trägt und das Produkt entlang eines Pfads dessen Wahrscheinlichkeit ergibt. Gelesen wird von links nach rechts: Der erste Fächer von Ästen ist das erste Ereignis (der erste Zug, Wurf oder Testbefund), jeder weitere Fächer setzt am Ende jedes vorherigen Asts neu an, und das Ende jedes Pfads ist ein Ergebnis des gesamten Zufallsexperiments. Die Äste, die von einem Punkt ausgehen, ergeben zusammen 1, ebenso alle Ergebnisse zusammen. Dasselbe Bild dient auch für Entscheidungsbäume, die Entscheidungen und Auszahlungen ergänzen, und für Hierarchiebäume, die nur zeigen, was wozu gehört.
Was dieser Baumdiagramm-Generator ausrechnet
- Die Produkte werden berechnet, nicht geschätzt. Jedes Ergebnis wird per Code entlang seines Pfads ausmultipliziert und als Produkt, als ungekürzter und als gekürzter Bruch angegeben, zum Beispiel 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10.
- Brüche bleiben Brüche. Als Bruch angegebene Äste behalten ihren Nenner, die 2/4 eines zweiten Zugs werden also nicht stillschweigend zu 1/2; Dezimalzahlen und Prozentangaben werden als Dezimalzahlen und Prozentangaben multipliziert.
- Ein fehlendes Gegenereignis wird ergänzt. Hat an einem Punkt ein Ast keine Wahrscheinlichkeit, erhält er 1 minus die übrigen (Kein Regen nach Regen 0.3 wird 0.7). Äste, deren Summe Sie größer oder kleiner als 1 angeben, werden genau so gezeichnet, wie Sie sie geschrieben haben, und nie heimlich korrigiert.
- Benannte Ereignisse werden addiert. Fragen Sie nach P(genau eine rote), mindestens zweimal Kopf, gleiche Farbe oder einem einzelnen Ergebnis wie Test positiv, werden die passenden Pfade addiert und unter den Baum geschrieben.
- Lesbar bemessen. Bis zu vier Stufen und 48 Ergebnisse in einem Baum: Zwei Würfel (36 Ergebnisse) passen, drei Würfel (216) nicht.
Welche Baumdiagramme gebraucht werden und was jedes braucht
Die meisten Anfragen fallen unter eine dieser sechs Arten. Sie unterscheiden sich darin, was an den Ästen steht und was an den Enden notiert wird.
Wahrscheinlichkeitsbaum
Der zwei- oder dreistufige Baum der Stochastik in Mittelstufe, Oberstufe und Studium: ein Fächer von Ästen pro Ereignis, eine Wahrscheinlichkeit an jedem Ast und rechts die Ergebnisspalte mit jedem Pfad ausmultipliziert. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten so an, wie Sie sie haben (3/5, 0.6 oder 60%), und nennen Sie die zu addierenden Ereignisse, etwa P(genau eine rote).
Baumdiagramm ohne Zurücklegen
Werden Kugeln, Karten oder Bonbons gezogen und nicht zurückgelegt, ändert sich der zweite Fächer: Aus 3 roten und 2 blauen folgen auf Rot 3/5 die Äste Rot 2/4 und Blau 2/4, auf Blau 2/5 die Äste Rot 3/4 und Blau 1/4. Beschreiben Sie den Beutel und die Zahl der Züge, die späteren Brüche rechnet der Code aus. Mit Zurücklegen wiederholt jede Stufe einfach die erste.
Baumdiagramm zur bedingten Wahrscheinlichkeit (Bayes)
Aufgaben zu Screening und Qualitätskontrolle: Die ersten Äste teilen nach dem Merkmal (seiner Prävalenz), die zweiten nach dem Testergebnis (Sensitivität bei vorhandenem Merkmal, Falsch-positiv-Rate ohne). Bei 2 % Prävalenz, 90 % Sensitivität und 5 % falsch positiven Befunden ist P(Test positiv) = 1.8 % + 4.9 % = 6.7 %, nur etwa 27 % der positiv Getesteten sind also tatsächlich erkrankt.
Baumdiagramme für Münze und Würfel (Ergebnismenge)
Jeder Ast gleich wahrscheinlich: 1/2 für eine faire Münze, 1/6 für einen Würfel. Drei Würfe ergeben 8 Ergebnisse mit je 1/8, zwei Würfel 36 mit je 1/36; fragen Sie nach einem Ereignis wie mindestens zweimal Kopf (4/8 = 1/2), wird es am Baum abgezählt, die anschaulichste Art, eine Ergebnismenge zu zeigen.
Entscheidungsbaum
Quadrate für Entscheidungen, Kreise für Zufallsereignisse und eine Auszahlung am Ende jedes Asts. Erwartungswerte werden von den Auszahlungen her zurückgerechnet: Ein Produktstart, der mit Wahrscheinlichkeit 0.6 erfolgreich ist und 500 000 $ bringt und sonst −200 000 $ kostet, ist 0.6 × 500 000 + 0.4 × (−200 000) = 220 000 $ wert, schlägt also den Verzicht, und die verworfene Option wird mit einem Doppelstrich abgetrennt.
Hierarchie- und Klassifikationsbaum
Keine Wahrscheinlichkeiten, nur was unter was steht: die reellen Zahlen geteilt in rationale und irrationale, die rationalen in ganze Zahlen und nicht ganzzahlige Brüche und so weiter. Gezeichnet von oben nach unten in Kästen, sofern Sie nicht von links nach rechts verlangen, mit bis zu vier Ebenen unter dem obersten Kasten.
Die Pfadregeln hinter jedem Baum
Entlang eines Pfads multiplizieren, um dessen Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dann die Pfade addieren, die zu einem Ereignis gehören. Die erste Pfadregel ist der allgemeine Multiplikationssatz: Jeder Ast nach der ersten Stufe ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A schon eingetreten ist. Die zweite Pfadregel ist der Additionssatz für unvereinbare Ergebnisse: Zwei verschiedene Pfade eines Baums können nie gemeinsam eintreten, ihre Wahrscheinlichkeiten werden also einfach addiert.
P(A und B) = P(A) × P(B | A) P(Ereignis) = Σ P(Pfad)
In Worten
Wahrscheinlichkeit eines Pfads = Produkt seiner Äste; Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses = Summe seiner Pfade
Der Satz von Bayes lässt sich am selben Baum ablesen: P(A | B) = P(A und B) / P(B), also der eine Pfad durch A und B geteilt durch die Summe aller Pfade, die in B enden. Im Screening-Beispiel sind das 1.8 % / 6.7 % ≈ 26.9 %.
Ergebnistabelle zum Beispiel: zwei Kugeln aus 3 roten und 2 blauen
Die Ergebnisspalte des ersten Beispiels als Tabelle. Das sind die Zahlen, die der Baum am Ende jedes Pfads notiert.
| Pfad | Multiplizierte Äste | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| Rot, Rot | 3/5 × 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| Rot, Blau | 3/5 × 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| Blau, Rot | 2/5 × 3/4 | 6/20 = 3/10 |
| Blau, Blau | 2/5 × 1/4 | 2/20 = 1/10 |
| Alle vier Pfade | 20/20 = 1 |
P(genau eine rote) = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5. Mit Zurücklegen wären die zweiten Brüche wieder 3/5 und 2/5, und P(Rot, Rot) wäre 9/25 statt 3/10.
Wie zeichnet man ein Baumdiagramm?
Stufen und ihre Ergebnisse auflisten
Die Ereignisse in ihrer Reihenfolge notieren (erster Zug, zweiter Zug) und die möglichen Ergebnisse jedes einzelnen. Jedes Ergebnis einer Stufe erhält einen eigenen Ast am Ende jedes Asts der vorherigen Stufe.
An jeden Ast eine Wahrscheinlichkeit schreiben
Die Wahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung dessen verwenden, was schon passiert ist: Wurde eine rote Kugel gezogen und nicht zurückgelegt, enthält der Beutel eine rote weniger. Die Äste, die von einem Punkt ausgehen, ergeben zusammen 1; das ist die schnellste Probe, ob etwas fehlt.
Entlang multiplizieren, dann addieren
Ans Ende jedes Pfads das Produkt seiner Äste schreiben; über den ganzen Baum ergeben diese Produkte zusammen 1. Für ein Ereignis die Pfade addieren, die dazugehören, und keine anderen.
Baumdiagramm, Vierfeldertafel oder Venn-Diagramm
Ein Baumdiagramm zeigt Ereignisse in ihrer Reihenfolge mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten an den Ästen; eine Vierfeldertafel zeigt dieselben gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten als Raster aus Feldern; ein Venn-Diagramm zeigt Überschneidungen von Ereignissen, aber keine Reihenfolge.
| Baumdiagramm | Vierfeldertafel | Venn-Diagramm | |
|---|---|---|---|
| Reihenfolge der Ereignisse | Sichtbar, Stufe für Stufe | Nicht sichtbar | Nicht sichtbar |
| Bedingte Wahrscheinlichkeiten | An den späteren Ästen notiert | Aus einer Zeilen- oder Spaltensumme berechnet | Nicht direkt sichtbar |
| Gemeinsame Wahrscheinlichkeiten | Am Ende jedes Pfads | In jedem Feld | In jeder Teilfläche |
| Mehr als zwei Stufen | Ein weiterer Fächer pro Stufe | Über zwei Merkmale hinaus unhandlich | Über drei Mengen hinaus unhandlich |
| Am besten für | Züge, Würfe und Tests nacheinander | Umfragezahlen nach zwei Merkmalen aufgeteilt | Fragen zu A oder B, A und B |
Die meisten Schulbuchaufgaben lassen sich auf alle drei Arten darstellen. Zum Baum greift man, wenn die Frage bedingt ist oder die Ereignisse nacheinander eintreten.
Häufige Fragen zum Baumdiagramm
Was ist ein Baumdiagramm in Mathematik und Statistik?
Ein Diagramm, das jedes Ergebnis eines mehrstufigen Zufallsexperiments als Pfad aus Ästen darstellt und dazu dient, die Wahrscheinlichkeit zusammengesetzter Ereignisse zu bestimmen. Jeder Fächer von Ästen ist eine Stufe; die Zahl der Pfade ist die Zahl der Ergebnisse (2 × 2 × 2 = 8 bei drei Münzen), und das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfads ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses. In der Kombinatorik nutzt man denselben Baum ohne Wahrscheinlichkeiten.
Wie zeichne ich ein Baumdiagramm zu einer Wahrscheinlichkeitsaufgabe?
Pro Ereignis einen Fächer von Ästen zeichnen, jeden Ast mit Ergebnis und Wahrscheinlichkeit beschriften, dann entlang jedes Pfads multiplizieren. Hier können Sie die Aufgabe als Satz eintippen (ein Beutel mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, zweimal Ziehen ohne Zurücklegen) oder die Äste als eingerückte Liste, einer pro Zeile, mit 3/5, 0.6 oder 60% hinter jeder Beschriftung; eine weiter eingerückte Zeile hängt am Ast der Zeile darüber.
Wie liest man die Wahrscheinlichkeiten am Ende eines Baumdiagramms?
Jede Zahl am Ende eines Pfads ist eine gemeinsame Wahrscheinlichkeit: die Wahrscheinlichkeit, dass alle Ereignisse auf diesem Pfad in dieser Reihenfolge eintreten. P(Rot, Blau) = 3/5 × 2/4 = 3/10 bedeutet erst Rot, dann Blau. Um eine Frage zu einem Ereignis zu beantworten, suchen Sie jeden passenden Pfad und addieren seine Endwerte; alle Endwerte zusammen ergeben 1.
Was ändert sich am Baumdiagramm beim Ziehen ohne Zurücklegen?
Ohne Zurücklegen rechnet der zweite Fächer mit dem, was nach dem ersten Zug übrig ist, seine Brüche unterscheiden sich also von Ast zu Ast. Aus 3 roten und 2 blauen folgen auf eine rote Kugel die Äste Rot 2/4 und Blau 2/4, auf eine blaue Rot 3/4 und Blau 1/4. Mit Zurücklegen wiederholt jeder Fächer 3/5 und 2/5, und die Züge sind unabhängig.
Warum müssen die Äste an jedem Punkt zusammen 1 ergeben?
Weil die Äste, die von einem Punkt ausgehen, alle möglichen Ergebnisse dieser Stufe sind und genau eines davon eintritt. Stehen nach Regen die Äste Verspätet 0.4 und Pünktlich 0.5, fehlt ein Ergebnis oder eine Zahl ist falsch. Dieses Tool ergänzt einen einzelnen fehlenden Ast mit dem Gegenereignis und zeichnet jede Gruppe, die nicht 1 ergibt, genau so, wie Sie sie geschrieben haben, ohne sie zu korrigieren.
Wie bestimme ich eine bedingte Wahrscheinlichkeit am Baumdiagramm?
Den gesuchten Pfad durch die Summe aller Pfade teilen, die die gegebene Bedingung erfüllen. Beim Screeningtest ist P(krank | Test positiv) = P(krank und positiv) / P(Test positiv) = 1.8 % / (1.8 % + 4.9 %) ≈ 26.9 %. Das ist der Satz von Bayes, am Baum abgelesen, und der Grund, warum ein positiver Befund bei einer seltenen Krankheit oft ein Fehlalarm ist.
Kürzt man die Brüche im Baumdiagramm?
Die Äste bleiben meist so stehen, wie sie angegeben sind, und die Endwerte werden oft ungekürzt und gekürzt gezeigt. Steht 6/20 neben 3/10, sieht man den gemeinsamen Nenner, und dass die vier Ergebnisse zusammen 20/20 ergeben. Dezimalzahlen und Prozente gehen ebenfalls; mischen Sie sie nur, wenn Ihr Kurs das tut, denn ein Baum in einer einzigen Schreibweise lässt sich leichter prüfen.
Ist ein Baumdiagramm dasselbe wie ein Stammbaum, ein phylogenetischer Baum, ein Kladogramm oder ein Bestimmungsschlüssel?
Nein: Das sind vier verschiedene Abbildungen mit eigenen Konventionen, und für jede gibt es hier ein eigenes Tool. Ein Stammbaum vererbter Merkmale ist ein Stammbaum in der Genetik, ein Evolutionsbaum mit Astlängen ein phylogenetischer Baum, einer aus gemeinsamen abgeleiteten Merkmalen ein Kladogramm, und eine Bestimmungshilfe aus paarweisen Entscheidungen ein Bestimmungsschlüssel. Ein Baumdiagramm in der Mathematik handelt von Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten.
Verändert die KI die Wahrscheinlichkeiten, die ich angebe?
Nein. Jeder Astwert, jedes Produkt, jede Summe und jeder Erwartungswert wird per Code berechnet, bevor das Bild entsteht, und dem Modell wörtlich vorgegeben. Es muss nie selbst 3/5 mal 2/4 rechnen. Ergeben Ihre Äste nicht 1, wird der Baum so gezeichnet, wie Sie ihn geschrieben haben, statt stillschweigend korrigiert; prüfen Sie also die eingegebenen Zahlen.
Wie beschriftet man ein Baumdiagramm in einem Bericht oder einer Publikation?
Nennen Sie die Stufen, ob mit Zurücklegen gezogen wurde und welche Zahlen bedingt sind. Zum Beispiel: Abb. 1. Wahrscheinlichkeitsbaum für zweimaliges Ziehen ohne Zurücklegen aus einem Beutel mit 3 roten und 2 blauen Kugeln. Die Werte an den Ästen sind bedingte Wahrscheinlichkeiten, die Werte an den Enden gemeinsame Wahrscheinlichkeiten. Bei einem Entscheidungsbaum geben Sie zusätzlich die Einheit der Auszahlungen an und wie die Erwartungswerte zurückgerechnet wurden.
Darf ein KI-gezeichneter Entscheidungsbaum in einen Fachartikel?
Oft ja, weil er ein erklärendes Bild ist und keine Darstellung Ihrer Daten, die Entscheidung liegt aber bei der Zeitschrift. Elseviers Richtlinie zu generativer KI für Zeitschriften nennt Entscheidungsbäume unter den erklärenden Bildern, bei deren Erstellung KI-Tools helfen dürfen, während Bilder von Primärdaten nicht generiert werden dürfen. Prüfen Sie die Richtlinie Ihrer Zeitschrift und geben Sie in Methodenteil oder Bildunterschrift an, wie die Abbildung entstanden ist.
Wie viele Ergebnisse passen in ein Baumdiagramm?
Hier bis zu vier Stufen und 48 Ergebnisse, das reicht für zwei Würfel (36 Ergebnisse) und vier Münzwürfe (16). Darüber hinaus ist ein Baum auf einer Seite nicht mehr lesbar: Nehmen Sie das Zählprinzip oder eine Tabelle, oder zeichnen Sie nur die Äste, die die Frage braucht (etwa nur die Pfade mit mindestens einer Sechs).
Quellen
- 3.5 Tree and Venn Diagrams — OpenStax Introductory Statistics 2e
- Introduction to Probability (Grinstead and Snell), tree diagrams and conditional probability — Dartmouth College
- Generative AI policies for journals — Elsevier
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