Tracer un diagramme de Bode en ligne
Saisissez une fonction de transfert — factorisée, en coefficients num/den ou en zéros, pôles et gain. Le code calcule exactement le gain, la phase, les pulsations de cassure et les marges ; l’IA en dessine un diagramme de Bode prêt à publier.
Ou partir d'un exemple
Rendus de diagrammes de Bode
Un vrai rendu par style, chacun sur une fonction de transfert différente — cliquez sur une carte pour appliquer le rendu, ou reprenez sa fonction de transfert dans le champ.
Qu’est-ce qu’un diagramme de Bode ?
Un diagramme de Bode représente la réponse fréquentielle d’un système linéaire par deux courbes sur un même axe de pulsation logarithmique : le gain en décibels en haut, la phase en degrés en bas. Chaque pôle et chaque zéro change la pente du gain à sa pulsation de cassure, si bien que la structure de G(s) se lit directement sur le tracé.
À propos de ce traceur de Bode
- Saisissez G(s) sous forme factorisée, comme 100/((s+1)(s+100)), en listes de coefficients à la MATLAB num = [1 10], den = [1 3 2], ou en K, zéros et pôles — racines complexes comme −1±2j comprises.
- Les symboles sont remplacés dès que vous les définissez : ωn²/(s²+2ζωn s+ωn²) avec ζ = 0.2 et ωn = 10.
- Racines, pulsations de cassure, pentes, pic de résonance, pulsations de coupure et les deux marges de stabilité sont calculés par le code avant tout dessin.
- L’axe couvre deux décades de part et d’autre des cassures, en rad/s — ou en Hz si vous le demandez.
- Numérateur et dénominateur jusqu’au degré 8 ; zéros et pôles à partie réelle positive tracés tels que calculés.
Comment le gain en dB est calculé
Le gain vaut 20 fois le logarithme décimal de |G(jω)|, la phase est l’argument de G(jω) en degrés. Un facteur 10 donne +20 dB, un facteur 0,1 donne −20 dB et |G| = 1 donne 0 dB.
|G(jω)|dB = 20 · log₁₀ |G(jω)|, arg G(jω) = Σ arg zéros − Σ arg pôles
En clair
Remplacez s par jω, prenez le module du résultat complexe et convertissez-le en décibels ; pour la phase, additionnez les arguments des facteurs zéros et retranchez ceux des pôles. Un pôle réel en ω = a apporte −3 dB et −45° à sa cassure et fait décroître le gain de 20 dB par décade au-delà.
On utilise 20·log₁₀ car |G| est un rapport d’amplitudes ; les rapports de puissances utilisent 10·log₁₀.
Comment tracer un diagramme de Bode
Saisir la fonction de transfert
Écrivez G(s) = 10(s+2)/(s(s+10)), collez les listes num et den de MATLAB, ou donnez K, zéros et pôles. Les deux courbes calculées s’affichent au-dessus du champ dès que la saisie est lue.
Choisir le rendu
Manuel avec asymptotes en pointillés, l’aspect de bode() de MATLAB avec sa grille, une figure compacte pour colonne IEEE ou une diapositive sombre. Demandez « marges de gain et de phase indiquées » pour ajouter les repères.
Générer et affiner
L’IA fait passer chaque courbe par les points calculés et n’estime aucune pente ni aucune phase. Continuez dans le chat — axes, titre, changement de rendu — puis exportez en PNG, SVG ou PPTX.
Ce que chaque facteur apporte au diagramme de Bode
Tout diagramme de Bode est la somme de quelques facteurs élémentaires — c’est pourquoi le tracé asymptotique fonctionne.
| Facteur de G(s) | Pente du gain | Apport de phase | À la cassure |
|---|---|---|---|
| Gain K | 0 dB/décade, niveau 20·log₁₀|K| | 0° (±180° si K < 0) | — |
| Intégrateur 1/s | −20 dB/décade partout | −90° à toutes les pulsations | coupe 0 dB en ω = 1 |
| Pôle réel 1/(s/a + 1) | 0, puis −20 dB/décade au-delà de a | 0° à −90° | −3 dB et −45° en ω = a |
| Zéro réel (s/a + 1) | 0, puis +20 dB/décade au-delà de a | 0° à +90° | +3 dB et +45° en ω = a |
| Paire de pôles complexes (ωn, ζ) | 0, puis −40 dB/décade au-delà de ωn | 0° à −180° | −90° en ωn ; résonance si ζ < 0,707 |
| Zéro instable (1 − s/a) | 0, puis +20 dB/décade au-delà de a | 0° à −90° | retarde comme un pôle — déphasage non minimal |
Le tracé asymptotique s’écarte d’au plus 3 dB à une cassure réelle, mais une paire peu amortie peut le dépasser nettement — à ζ = 0,2 la résonance atteint environ +8 dB.
Diagramme de Bode, lieu de Nyquist ou abaque de Black-Nichols
Les trois montrent la même réponse G(jω) : le diagramme de Bode sépare gain et phase en fonction de la pulsation, le lieu de Nyquist la trace comme une courbe dans le plan complexe, l’abaque de Black-Nichols porte le gain en fonction de la phase.
| Question | Bode | Nyquist | Black-Nichols |
|---|---|---|---|
| Axes | Pulsation (log) vs dB et vs degrés | Partie réelle vs partie imaginaire | Phase (°) vs gain (dB) |
| Pulsation lisible | Oui, en abscisse | Seulement par des repères sur la courbe | Seulement par des repères sur la courbe |
| Marges de gain et de phase | Lues directement aux pulsations de coupure | Distance et angle au point −1 | Distance au point (−180°, 0 dB) |
| Boucle ouverte instable | Les marges seules ne suffisent pas | Critère de Nyquist | Pas directement |
| Tracé à la main | Facile, avec les asymptotes | Plus difficile | Rarement |
Les marges lues sur un diagramme de Bode supposent une boucle ouverte stable. Si G(s) a des pôles à partie réelle positive, l’outil trace et indique quand même les marges, mais la stabilité en boucle fermée relève du critère de Nyquist.
Où l’on utilise les diagrammes de Bode
Partout où la réponse d’un système dépend de la fréquence — asservissements, filtres, amplificateurs, vibrations mécaniques.
Synthèse de correcteurs
Bode de la boucle ouverte avec marges de gain et de phase, pour dimensionner un correcteur et vérifier ce que la boucle tolère en gain ou en retard.
Conception de filtres
Passe-bas, passe-haut et passe-bande avec leur fréquence de coupure et leur pente, pour l’électronique analogique et le traitement du signal.
Avance et retard de phase
La bosse de phase d’un correcteur à avance et la pulsation de son maximum — la figure type de tout rapport de synthèse.
Cours, TP et concours
Tracés propres façon manuel, asymptotes en pointillés, pour comptes rendus de TP, supports de cours et corrigés.
Questions sur le diagramme de Bode
Comment tracer un diagramme de Bode à partir d’une fonction de transfert ?
Saisissez la fonction de transfert — par exemple G(s) = 100/((s+1)(s+100)) —, choisissez un rendu et générez. Gain, phase, cassures et marges s’affichent au-dessus du champ avant toute dépense de crédit, et la figure est dessinée à partir de ces valeurs exactes.
Comment lire la marge de gain et la marge de phase sur un diagramme de Bode ?
La marge de phase vaut 180° plus la phase à la pulsation de coupure à 0 dB ; la marge de gain est l’opposé du gain en dB là où la phase atteint −180°. L’outil calcule les deux et les indique si vous le demandez ; si la phase n’atteint jamais −180°, la marge de gain est infinie.
Qu’est-ce qu’une pulsation de cassure ?
C’est la pulsation où un pôle ou un zéro commence à infléchir le gain — ω égale au module de la racine. Pour un pôle réel, la courbe y passe 3 dB sous l’asymptote et la phase a tourné de 45°.
Quelles pentes apportent les pôles et les zéros ?
Chaque pôle réel ajoute −20 dB par décade au-delà de sa cassure, chaque zéro réel +20 dB par décade, une paire complexe ±40 dB par décade. Un intégrateur (pôle en s = 0) donne −20 dB par décade dès les basses pulsations.
Comment convertir un gain en décibels ?
Multipliez par 20 le logarithme décimal du module : 20·log₁₀|G(jω)|. Un gain de 10 fait 20 dB, 100 fait 40 dB, 0,707 environ −3 dB et 1 fait 0 dB.
Est-ce équivalent à la commande bode() de MATLAB ?
Le calcul est le même — |G(jω)| en dB et arg G(jω) en degrés sur une grille logarithmique — et les mêmes listes num/den sont acceptées. Le rendu MATLAB imite l’aspect de bode() ; la figure est dessinée par l’IA à partir des courbes calculées : c’est une figure, pas un export de données.
Puis-je tracer un second ordre avec amortissement et pulsation propre ?
Oui — écrivez ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) avec ζ = 0.2 et ωn = 10, ou directement les nombres. Un amortissement inférieur à 0,707 donne un pic de résonance, calculé et dessiné à sa hauteur et à sa pulsation exactes.
Que sont les asymptotes d’un diagramme de Bode ?
Le tracé asymptotique : des segments horizontaux ou inclinés qui se rejoignent aux cassures. Le rendu Manuel les dessine en pointillés derrière la vraie courbe ; les autres rendus seulement sur demande.
L’axe peut-il être en Hz plutôt qu’en rad/s ?
Oui — écrivez « en Hz » dans la description et chaque fréquence est divisée par 2π. Sinon l’axe est en rad/s, l’unité naturelle d’une fonction de transfert en s.
L’IA modifie-t-elle ou invente-t-elle les courbes ?
Non. Racines, pentes, points des courbes, cassures et marges sont calculés par le code et écrits dans le prompt. Chaque régénération les recalcule depuis votre fonction de transfert : changer de rendu ne déplace aucune cassure.
Ce traceur de Bode est-il gratuit ?
Oui pour commencer — chaque nouveau compte reçoit 100 crédits gratuits, sans carte bancaire à l’inscription. L’aperçu calculé est gratuit ; les crédits ne sont dépensés qu’à la génération de la figure.
Sources
- bode — Bode frequency response of dynamic system — MathWorks (documentation MATLAB)
- Control Systems Engineering, 8th Edition (Norman S. Nise) — Wiley
- Diagramme de Bode — Wikipédia
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