单位圆与三角函数值表
一张图看全单位圆与三角函数值表：16 个特殊角同时标出角度制和弧度制，并附 (cos, sin) 坐标和 tan 值。可以用计算器查任意角，打印空白单位圆，也可以用小测验练习。适合高中数学三角函数一章的学习和高考复习。
单位圆图免费下载，无需登录，直接在浏览器里绘制。
单位圆图的几种风格
AI 单位圆生成器能画出的四种外观，每种对应一张不同的图。数值和免费图表出自同一张精确的表，变化的只有笔迹、颜色和背景。点击卡片即可载入它的提示词。
单位圆图示例
四个单位圆图示例，都是按卡片上的提示词真实生成的：完整单位圆、带 tan 值的坐标图、附特殊直角三角形的速查表，以及填空练习纸。点击卡片即可载入上方的生成器。
放在作业旁随时对照的基础表。
学到正切以后用这一版。
一页纸装下整章三角函数。
先凭记忆填，再对答案。
什么是单位圆？
单位圆是以原点为圆心、半径为 1 的圆，角 θ 的终边与它的交点就是 (cos θ, sin θ)。 角从 x 轴正半轴开始按逆时针方向度量，所以每个角都落在圆上唯一的一个点：这个点的横坐标是余弦，纵坐标是正弦，而 tan θ = sin θ / cos θ。
关于这张单位圆图表
- 列出全部 16 个特殊角的角度制和弧度制，并给出精确的 (cos θ, sin θ) 坐标。
- 可按需给每个角加上 tan θ，并标明 tan 90° 和 tan 270° 不存在。
- 可突出任意一个角，画出它的参考三角形，并标出 cos θ 和 sin θ 两条直角边。
- 输入角度或弧度即可算出任意角的三角函数值，也可以由已知的正弦、余弦或正切值反求角。
- 可打印空白单位圆练习纸，第二页附答案。
- 可在浏览器里直接下载 PNG、SVG 或 PDF，彩色和黑白均可。
单位圆怎么用
- 1
找到角的位置
从 x 轴正半轴出发，按逆时针方向转：90°（π/2）在正上方，180°（π）在左侧，270°（3π/2）在正下方。负角按顺时针方向转。
- 2
读出坐标
圆上的点是 (cos θ, sin θ)。30° 对应的点是 (√3/2, 1/2)，所以 cos 30° = √3/2，sin 30° = 1/2。
- 3
相除得到正切
tan θ = sin θ / cos θ，所以 tan 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = √3/3。在 cos θ = 0 的 90° 和 270° 处，tan θ 不存在。
16 个特殊角的三角函数值表
单位圆是以原点为圆心、半径为 1 的圆。角 θ 的终边与它交于点 (cos θ, sin θ)，所以这张三角函数值表的每一行就是单位圆上的一个点：x 是余弦，y 是正弦，tan θ 等于 y 除以 x。
| 角度 | 弧度 | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | 不存在 |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | 不存在 |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
这 16 个角是 0° 到 330° 之间 30° 和 45° 的整数倍。单位圆上其他特殊角都沿用这些值，只是换上所在象限的符号。
单位圆上的 sec、csc 和 cot
另外三个函数分别是前三个的倒数：sec θ = 1/cos θ，csc θ = 1/sin θ，cot θ = cos θ/sin θ。它们在第一象限的值如下：
| 角 | sec θ | csc θ | cot θ |
|---|---|---|---|
| 0° (0) | 1 | 不存在 | 不存在 |
| 30° (π/6) | 2√3/3 | 2 | √3 |
| 45° (π/4) | √2 | √2 | 1 |
| 60° (π/3) | 2 | 2√3/3 | √3/3 |
| 90° (π/2) | 不存在 | 1 | 0 |
单位圆的象限与符号
象限决定 cos θ 和 sin θ 的正负，参考角决定它们的大小。
| 象限 | 角的范围 | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ | 口诀 |
|---|---|---|---|---|---|
| I | 0° 到 90°（0 到 π/2） | + | + | + | 一全正 |
| II | 90° 到 180°（π/2 到 π） | − | + | − | 二正弦 |
| III | 180° 到 270°（π 到 3π/2） | − | − | + | 三正切 |
| IV | 270° 到 360°（3π/2 到 2π） | + | − | − | 四余弦 |
终边在坐标轴上的角不属于任何象限。 在 0°、90°、180° 和 270° 处，一个坐标是 0，另一个是 1 或 −1。
标有正切值的单位圆
正切是坐标里唯一不能直接读出的值。在单位圆上 tan θ = sin θ / cos θ = y / x，它也有自己的几何意义：把终边延长，与在 (1, 0) 处和圆相切的竖直直线 x = 1 相交，交点的高度就是 tan θ。
- 在 x 和 y 同号的第一、第三象限，tan θ 为正；在第二、第四象限为负。
- 在 90° 和 270° 处，点是 (0, ±1)，x = 0，tan θ 不存在：此时终边与直线 x = 1 平行，永远不会相交。
- 第一象限 30°、45°、60° 的正切值 √3/3、1、√3 会在每个象限重复出现，只是符号随象限变化。在上方图表里打开 tan，就能把它们印到单位圆图上。
弧度制下的单位圆
弧度制用角在单位圆上截得的弧长来度量角：转一整圈对应的弧长是 2π，所以 360° = 2π，180° = π。角度化弧度乘以 π/180（150° × π/180 = 5π/6），弧度化角度乘以 180/π。单位圆图上的 16 个弧度值按分母可分成四组：
| 分组 | 参考角 | 弧度 | 角度 |
|---|---|---|---|
| 分母为 6 | 30° | π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 | 30°, 150°, 210°, 330° |
| 分母为 4 | 45° | π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 | 45°, 135°, 225°, 315° |
| 分母为 3 | 60° | π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3 | 60°, 120°, 240°, 300° |
| 轴线角 | 0° 或 90° | 0, π/2, π, 3π/2 | 0°, 90°, 180°, 270° |
先看分母，它告诉你参考角，也就确定了数值的大小；再看分子，它告诉你角在哪个象限。
可填写的空白单位圆
在空白单位圆上默写，是记住这张图的常规办法：点和终边都画好了，标注留给你自己填。上方的「空白练习纸」标签页可以打印三种常用版本，每份第二页都附答案。
- 已给角度，填写弧度和坐标，这是单元测验最常见的题型。
- 全部留空，角度、弧度和坐标都要自己填，用来检验记忆。
- 加上 tan，每对坐标下方多一个填正切值的空格。
单位圆小测验和计算器
熟悉单位圆图之后，有两种方式可以自测。
单位圆小测验
每轮十题，共五种模式：在没有标注的圆上找点、角度与弧度互化、说出某个角的坐标，或者写出它的 sin、cos、tan 值。答错时会在图上标出正确答案。
单位圆计算器
输入任意角度或弧度，包括负角和大于 360° 的角，比如 −45°、7π/3、2.5 rad。它会给出所在象限、参考角、两个终边相同的角以及全部六个三角函数值，凡是 15° 的整数倍都给出精确值。
单位圆怎么记
没有人会把单位圆图当成 48 个孤立的数字去背。记住第一象限，剩下的交给对称性和符号就行。
- 1
记住 0、1、2、3、4 的规律
0°、30°、45°、60°、90° 的 sin θ 依次是 √0/2、√1/2、√2/2、√3/2、√4/2，化简后是 0、1/2、√2/2、√3/2、1。cos θ 就是把这一列倒过来读。
- 2
用手指记
举起左手，掌心朝向自己，从小指到拇指依次对应 0°、30°、45°、60°、90°。弯下所求角对应的手指，sin θ = √(小指一侧剩下的手指数)/2，cos θ = √(拇指一侧剩下的手指数)/2。求 30° 就弯无名指：小指一侧有 1 根手指，所以 sin 30° = 1/2；拇指一侧有 3 根，所以 cos 30° = √3/2。
- 3
借参考角对称过去
第二到第四象限的每个角，三角函数值的绝对值都和它的参考角（终边与 x 轴所成的锐角）相同：150°、210° 和 330° 都用 30° 的值。
- 4
用「一全正，二正弦，三正切，四余弦」定符号
第一象限三个函数都为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。
单位圆有什么用
单位圆把正弦和余弦从直角三角形里的锐角推广到任意角，无论是正角、负角还是大于 360° 的角。
求任意角的三角函数值
借助参考角和象限符号，150°、−45° 或 480° 的 sin、cos、tan 都能由第一象限的值得出。
正弦和余弦的图象
θ 转一圈时追踪纵坐标就得到正弦曲线，追踪横坐标就得到余弦曲线，二者都以 2π 为周期。
解三角方程
sin θ = 1/2 在一圈内有 30° 和 150° 两个解，也就是圆上纵坐标为 1/2 的两个点。
物理中的转动与波
圆周运动、交流电和相量描述的都是在圆上转动的点，它的横、纵坐标就是相位的余弦和正弦。
单位圆与三角函数值表常见问题
什么是单位圆？+
单位圆是以原点 (0, 0) 为圆心、半径为 1 的圆。从 x 轴正半轴出发的角 θ，其终边与单位圆交于点 (cos θ, sin θ)，所以单位圆图把余弦和正弦写成坐标。
单位圆的半径为什么是 1？+
在直角三角形中，sin θ = 对边/斜边，cos θ = 邻边/斜边。斜边取 1 时分母就没了：邻边就是 cos θ，对边就是 sin θ，它们正好成为圆上那个点的横、纵坐标。
怎么求单位圆上某个角对应的坐标？+
先找出它的参考角（终边与 x 轴所成的锐角），取这个角在第一象限的值，再按所在象限加上符号，这和诱导公式「奇变偶不变，符号看象限」是同一个道理。210° 的参考角是 30°，位于第三象限，所以对应点是 (−√3/2, −1/2)。本页单位圆图旁边的计算器可以对任意角完成这一步。
单位圆上的 tan 怎么求？+
用纵坐标除以横坐标：tan θ = sin θ / cos θ。135° 对应的点是 (−√2/2, √2/2)，所以 tan 135° = −1。在 x = 0 的 90° 和 270° 处，tan θ 不存在。在上方单位圆图里打开 tan，就能印出全部 16 个值。
特殊角三角函数值表包括哪 16 个角？+
0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°、180°、210°、225°、240°、270°、300°、315° 和 330°；用弧度制表示是 0、π/6、π/4、π/3、π/2、2π/3、3π/4、5π/6、π、7π/6、5π/4、4π/3、3π/2、5π/3、7π/4 和 11π/6。
角度制和弧度制怎么换算？+
角度乘以 π/180 再化简：225° × π/180 = 5π/4。反过来，弧度乘以 180/π：7π/6 × 180/π = 210°。上方单位圆图上的每个弧度标注，都是这样乘出来再化简的结果。
负角在单位圆上怎么看？+
负角从 x 轴正半轴出发按顺时针方向度量。−45° 的终边和 315° 重合，所以二者对应同一个点 (√2/2, −√2/2)。一般地，cos(−θ) = cos θ，sin(−θ) = −sin θ。
单位圆怎么画？+
画出 x 轴和 y 轴，以交点为圆心画半径为 1 的圆。在圆与坐标轴的交点处标出 0°、90°、180° 和 270°，再在第一象限标出 30°、45° 和 60°，然后把这三个角对称到其他象限。给每个点标上角和 (cos θ, sin θ)；也可以直接把上方画好的单位圆图下载为 PNG 或 SVG。
参考资料
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions — Precalculus 2e，OpenStax
- §4.14 Definitions and Periodicity (trigonometric functions) — 美国国家标准与技术研究院（NIST）数学函数数字图书馆
