點圖產生器 · 線上製作點圖
給統計作業、數學課和實驗報告用的點圖產生器：每個數值一個點，疊在數線上；兩組資料畫在對齊的數線上；平均數、中位數、四分位數和分布形狀都在繪圖前從你的數字算好。
點圖產生器的期刊風格
點圖產生器的五種預設，各搭配一項不同的研究：兩個小鼠品系的樹突棘密度、大山雀的窩卵數、三種處理下的 CD8+ T 細胞、兩個試驗組的住院天數，以及考試前的睡眠時數。點選卡片即可套用風格或載入它的數值。
點圖範例
四張點圖範例都出自點圖產生器，各依卡片上的提示詞和數值繪製：一次附形狀描述的小考、一組右偏的計數、同一條數線上的兩個班級，以及標成分數刻度、精確到 1/4 英吋的測量值。點選任一張卡片，提示詞和數值就會載入輸入框。
什麼是點圖？
點圖（dot plot，美國小學稱為 line plot）把一組數字畫成數線上方的點：每筆觀測值一個點，相同的數值往上疊成一欄，所以一疊點的高度就是該數值出現的次數。每個資料點都看得見，小樣本資料的形狀、中心和離散程度一眼就能讀出。因此美國共同核心標準六年級（Common Core 6.SP.4）和 AP 統計都把點圖當成呈現分布的第一種圖。
關於這個點圖產生器
- 數值可以直接輸入點圖產生器（成績: 6, 7, 7, 8, 8…），一組一行；也可以附加試算表（.csv、.tsv 或 .xlsx，最多三個），每組一欄。
- 點圖產生器在繪圖前就用程式算好每一疊點：每個數值上方的點數、數線和刻度，並核對各疊點數加起來等於 n。
- 向點圖產生器要平均數、中位數、眾數、全距、四分位數、百分位數或分布形狀的文字描述，它印出的都是從你的數值算出的數字，絕不由影像模型估計。
- 給點圖產生器兩組以上資料，它會畫成雙點圖：每組一列，數線完全相同，相同的數值上下對齊，中心和離散程度可以直接用眼睛比較。
- 在點圖產生器裡，整數每個數值一疊；1/4 和 1/8 英吋的測量值標成分數刻度；太細而疊不起來的數值只在堆疊時取整到整齊的間距，統計量仍用精確數值計算。
如何用點圖產生器製作點圖
- 1
把數值交給點圖產生器
在點圖產生器裡標籤後面輸入數值，例如 寵物: 0, 0, 1, 1, 1, 2…，重複的數值出現幾次就寫幾次。第二行就是第二組，畫成獨立的一列。也可以用試算表：每組一欄，或長格式，一欄放組名、下一欄放數值。
- 2
說明點圖要呈現什麼
告訴點圖產生器座標軸標題，以及要標出的東西：平均數、中位數、眾數、全距、Q1 和 Q3、第 90 百分位數、次數軸、實驗數據的平均數 ± SD，或「描述分布形狀」。要把數值放在 y 軸、畫成直欄，就說「直式」。
- 3
產生後數一疊點核對
點圖產生器依算好的堆疊作圖，最高的一欄點數和你的資料完全一致。拿一疊點和你的劃記核對，在對話裡要求修改，再匯出 PNG、SVG 或 PPTX。
點圖的組成部分
老師批改手繪點圖時會檢查的六個部分，以及點圖產生器在繪圖前就用程式固定好的部分。
- 數線
- 涵蓋所有資料的水平刻度，刻度之間等距；從最小值的前一格開始（計數資料則從 0 開始），到最大值的後一格結束。
- 點
- 每筆觀測值一個點，大小相同、間距相同，所以六個點的一疊看起來就比五個點的一疊高一格。
- 堆疊
- 同一數值的重複值垂直疊在它的刻度正上方，絕不放在兩個刻度之間。最高的一疊就是眾數，點圖產生器在繪圖前會先數好每一疊。
- 標題和座標軸標籤
- 寫出數的是什麼和單位，例如「寵物數量」或「身高 (cm)」。一般點圖沒有 y 軸；次數點圖才會加上 y 軸。
把點圖產生器當成平均數、中位數和眾數計算機
十五位學生回報暑假讀了幾本書。點圖產生器把這份清單變成一疊疊的點；同樣的堆疊可以回答點圖題目問的每一個數字，從下面的次數分配表就讀得出來。
| 書本數 (x) | 次數 (f) | x × f | 累積次數 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 2 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 6 | 6 |
| 3 | 4 | 12 | 10 |
| 4 | 2 | 8 | 12 |
| 5 | 1 | 5 | 13 |
| 6 | 1 | 6 | 14 |
| 11 | 1 | 11 | 15 |
| 合計 | 15 | 50 | — |
- 1
平均數：把所有數值加總
每個數值乘上它那一疊的高度再相加：50 本 ÷ 15 位學生 = 3.33。在點圖上這就是平衡點，點圖產生器會在數線下方用小三角形標出。
- 2
中位數：數到正中間的數值
有 15 個數值時，中位數是從左邊數來第 8 個。累積次數在 2 時到 6、在 3 時到 10，所以第 8 個落在 3 那一疊：中位數 = 3。
- 3
眾數和全距：最高的一疊、頭尾相減
最高的一疊有 4 個點，在 3，所以眾數是 3。全距是最大值減最小值：11 − 0 = 11。
- 4
四分位數和離群值
去掉中位數，把其餘的分成兩半：較小的 7 個數值（0, 1, 1, 2, 2, 2, 3）的中位數 Q1 = 2，較大的 7 個（3, 3, 4, 4, 5, 6, 11）的 Q3 = 4，所以 IQR = 2。上界是 4 + 1.5 × 2 = 7，因此 11 是離群值。
- 5
百分位數：數小於或等於的數值
第 80 百分位數取排名 ⌈0.8 × 15⌉ = 12 的數值：累積次數在 4 時到 12，所以是 4 本。讀了 5 本的學生大於或等於 15 個數值中的 13 個，落在第 87 百分位數。向點圖產生器要「第 80 百分位數」，它就會在那裡畫線。
平均數（3.33）落在中位數（3）右邊，因為讀了 11 本的那位把它往右拉；拿掉那個點，平均數是 39 ÷ 14 = 2.79。點圖有離群值或長尾時，應該報告中位數和 IQR。把清單交給點圖產生器，這張圖上的每個標記都會從同一份計數畫出。
如何描述點圖的分布
完整的回答要結合情境、用數字說出四件事：形狀、有沒有離群值、中心和離散程度（AP 統計稱為 SOCS）。先看形狀，因為形狀決定要報告哪一種中心和離散程度：大致對稱的點圖用平均數和標準差，偏斜或有離群值的點圖用中位數和 IQR。點圖產生器會先把離群值放到一邊，再依它數出的堆疊判斷形狀。
大致對稱
各疊點在中間兩側大致等量地遞減；平均數和中位數很接近。
報告平均數和 SD（或中位數和 IQR）
右偏
大多數數值集中在低的一端，右邊拖著少數大數值形成的長尾；平均數被拉到中位數之上。
報告中位數和 IQR
左偏
數值堆在高的一端，往左逐漸變少，像一次簡單的考試；平均數落在中位數之下。
報告中位數和 IQR
大致均勻
整個範圍內每一疊高度都差不多，像公正骰子擲 60 次；沒有高峰。
報告中位數和全距
雙峰
兩個分開的高疊、中間凹下，通常表示混合了兩群資料，例如兩個班級或兩個物種。
報告分別描述每個峰
一個群聚和一段空隙
大多數數值聚在一起，數線上一段空白把另外幾個隔開；要說出群聚的範圍和空隙的位置。
報告中位數和 IQR
一個離群值
遠離其他數值、超過 Q3 + 1.5 × IQR 或低於 Q1 − 1.5 × IQR 的值是離群值；描述其餘資料之前，先確認它不是打錯字。
報告中位數和 IQR，並指出離群值
讀書資料的參考答案
讀書本數的分布在 0 到 6 本之間大致對稱，11 本是一個離群值。中位數是 3 本，IQR 是 2 本；平均數（3.33）被離群值拉到中位數之上。7 到 10 本之間有一段空隙。
請點圖產生器「描述形狀、中心和離散程度」，它就會在圖下方印出同樣的四個部分，用的是擺放每個點的同一份計數。上面每張卡片都會載入一份該形狀的資料。
點圖產生器能畫什麼
學習單、AP 統計和實驗報告裡常見的七種點圖，各自的特色，以及怎麼向點圖產生器要。
分數刻度的點圖（line plot with fractions）
測量值精確到單位的 ½、¼ 或 ⅛，畫在標成分數的數線上，例如美國 Common Core 4.MD.4 和 5.MD.2。把數值寫成小數（1 ¼ 寫成 1.25），並說「分數標籤」：點圖產生器會把刻度標成 1、1 ¼、1 ½ …，每個測量值疊在自己的分數上方。
雙點圖
兩組資料畫在上下兩條完全相同的數線上，相同的數值上下對齊。美國七年級（7.SP.3）和 AP 非選擇題都用這種方式比較兩個分布；請點圖產生器比較中心和離散程度，它會印出哪一組中位數較高、哪一組比較分散。
次數點圖
加上垂直次數軸的點圖，每一疊的高度可以從刻度讀出，不必一個一個數。一疊超過十個點時很好用。說「次數軸」，點圖產生器就會加上從 0 到最高一疊的 y 軸。
標出平均數和中位數的點圖
平均數以數線下方的小三角形（平衡點）表示，中位數以虛線表示，兩者都畫在計算出的位置。看到兩者分開，是呈現偏斜或離群值拉力最快的方式；點圖產生器依數值擺放兩者，而不是用眼睛估。
抽樣分配的點圖
每個點是一次模擬樣本的統計量，例如樣本比例，整張圖呈現統計量在樣本之間如何變動。AP 統計從點的中心相對於真值的位置判斷偏誤，從分散的寬窄判斷變異性：遠離真值的緊密群聚就是高偏誤、低變異。把模擬出的統計量貼進點圖產生器，並把真值畫成標記線。
附平均數和誤差線的點圖
研究用的形式：每個條件一欄，數值在 y 軸，每個重複或每隻動物各自一個點，旁邊標出平均數 ± SD 或 ± SEM。小樣本實驗都這樣呈現，因為只畫平均數的長條會把資料點藏起來；向點圖產生器說「直式」和「平均數 ± SD」即可。
大量資料的點圖
當一疊會超過約 24 個標記時，每個標記代表好幾筆觀測值，並以圖例註明（每個符號 = 5 位學生）。點圖產生器會自己選這個單位；超過幾百個數值時，直方圖通常更好讀，直方圖產生器也接受同一份清單。
點圖、直方圖與散布圖的差別
點圖和直方圖都呈現一個數值變數；點圖保留每一個數值，直方圖把數值分組。散布圖則需要每個對象有兩個變數。美國小學數學的 line plot 和點圖是同一種圖，只是用 X 代替點。
| 比較項目 | 點圖 | 直方圖 | 散布圖 |
|---|---|---|---|
| 每個標記是 | 一筆觀測值，在它的數值上方畫一個點 | 每組一根長條，高度或面積就是次數 | 一個對象，由兩個測量值定位 |
| 變數 | 一個數值變數，可分組 | 一個數值變數 | 兩個數值變數 |
| 看得到個別數值 | 可以，每一個都看得到 | 不行，只看得出落在哪一組 | 可以 |
| 適用 | 小到中等的資料量，大約 100 個數值以內 | 中等到大量的資料 | 任何資料量；看的是關係，不是分布 |
| 眾數怎麼讀 | 最高的一疊 | 最高的長條（眾數組） | 不適用 |
| 比較組別 | 對齊數線上的多列 | 重疊、堆疊或並排的面板 | 每組用不同的標記形狀或顏色 |
同樣的數字，不同的問題：在點圖產生器裡畫出每個數值，用直方圖產生器把長清單分組，用盒鬚圖產生器濃縮成五數綜合摘要，或配上第二個變數畫成散布圖。
點圖練習題與解答
十一株菜豆種在日照下、十一株種在遮蔭下，生長 14 天。下面是點圖學習單會針對這類圖提出的問題，圖依點圖產生器排列兩組資料的方式繪製；先自己作答，再打開答案。
1.哪一列點圖表示資料 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 13？
兩列都不是。遮蔭列有十一個點：這份清單少了兩個 6 中的一個。把清單和點圖對起來，要核對每一疊的高度，不能只看範圍。
2.每一列的株高中位數是多少？
日照 12 cm，遮蔭 7 cm。11 株時中位數是從左邊數來第 6 株：日照列的那一株在 12 那一疊，遮蔭列的在 7 那一疊。
3.求遮蔭組的平均株高。
7.27 cm。把每株的株高相加：4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 13 = 80，再除以 11。平均數高於中位數 7，因為 13 那一株把它往右拉。
4.哪一列比較分散？
要看用哪一種量數。遮蔭列的全距較大（13 − 4 = 9，日照為 15 − 9 = 6），但兩列的 IQR 都是 2 cm（遮蔭 8 − 6，日照 13 − 11）。全距是被 13 那一株撐大的。
5.遮蔭組 13 cm 的那一株是離群值嗎？
是。Q1 = 6、Q3 = 8，所以 IQR = 2，上界是 8 + 1.5 × 2 = 11。13 超出上界。剔除之前，先確認是不是盆子標錯了。
6.比較兩個分布。
日照下的植株長得比較高：中位株高（12 cm）比遮蔭組的中位數（7 cm）高 5 cm。兩列都大致對稱，IQR 同為 2 cm；遮蔭列在 13 cm 有一個離群值。兩列只在 9 到 13 cm 之間重疊。
7.一次模擬得到 50 個樣本比例，點圖的中心在 0.62，只分布在 0.58 到 0.66 之間，而真實比例是 0.50。描述它的偏誤和變異性。
高偏誤、低變異。估計值緊密聚在一起，所以這個方法給出的答案很一致，但中心離 0.50 很遠，所以一直都是錯的。加大樣本會讓分散更小，卻修不好偏誤；改用更好的抽樣方法才行。
手上有自己的學習單嗎？把題目的數字貼進點圖產生器，一組一行，再拿它印出的中位數和離散程度核對你的答案。
點圖產生器 vs Excel、Google 試算表、Desmos 和 R
Excel 和 Google 試算表沒有點圖這種圖表類型，Desmos 和 R 則有。下表列出各工具和點圖產生器在計數、統計量和第二組資料上各自留給你做多少。
| 比較項目 | 這個點圖產生器 | Excel | Google 試算表 | Desmos | R (ggplot2) |
|---|---|---|---|---|---|
| 畫出點圖 | 輸入或附加數值；堆疊由程式計數 | 沒有這種圖表：加一欄 COUNTIF 累積計數，再畫成只顯示標記的 XY 散布圖 | 同樣的變通法：累積計數欄、散布圖，再隱藏格線和 y 軸 | 在繪圖計算機裡用 dotplot(list)，組距要手動設定 | geom_dotplot(binwidth = 1)；它畫出的 y 軸沒有意義，必須隱藏 |
| 兩組資料 | 兩行數值就畫成對齊數線上的兩列 | 第二個數列要手動位移 | 第二個數列要手動位移 | 第二份清單再畫一個 dotplot() | facet_wrap() 或分組 aesthetic |
| 平均數、中位數、眾數 | 依要求計算並標在圖上 | 在儲存格裡另寫公式 | 在儲存格裡另寫公式 | 另外輸入 mean() 和 median() | 分別呼叫函式；標記以圖層加上 |
| 四分位數、離群值、形狀 | 以兩半中位數法求 Q1、Q3，1.5 × IQR 判定離群值，並印出形狀描述 | QUARTILE.EXC 公式，圖上什麼都沒有 | QUARTILE 公式，圖上什麼都沒有 | 另外輸入 quartile() | fivenum()；形狀要自己描述 |
| 分數標籤 | 1/4 和 1/8 標成分數 | 座標軸套用分數數字格式 (# ?/?) | 座標軸套用分數數字格式 | 小數刻度 | 用 MASS::fractions 之類的標籤函式 |
| 成品 | 課堂或期刊風格，PNG、SVG 或 PPTX | Office 圖表樣式 | 試算表圖表樣式 | 截圖或匯出圖片 | 完全可控，但要寫程式 |
數字已經在試算表裡了？把 .xlsx 原封不動附加給點圖產生器：每組一欄、標題列寫組名，或長格式，一欄放組名、下一欄放數值。
點圖產生器常見問題
點圖怎麼畫？
畫一條以等距刻度涵蓋最小值到最大值的數線，然後每筆觀測值在數線上方放一個點，重複的值垂直往上疊。再給圖加上標題和含單位的座標軸標籤。點圖產生器從輸入的清單就能完成這一切：拿一疊點和你的資料核對即可。
怎麼從點圖求平均數？
每個數值乘上它上方的點數，把乘積相加，再除以點的總數。若 4、5、6 上方分別有 1、2、3 個點，平均數是 (4 + 10 + 18) ÷ 6 = 5.33。請點圖產生器標出平均數，它也是這樣計算。
怎麼從點圖求中位數？
從左邊數到正中間的點：第 ((n + 1) ÷ 2) 個點。點數為偶數時，取中間兩個數值的平均：20 個數值時，中位數在第 10 和第 11 個之間的正中央。點圖產生器可依要求把中位數畫成虛線。
line plot 和點圖是同一種圖嗎？
在中小學數學裡是：line plot 把每個數值畫成數線上方的 X 或點，也就是點圖。美國二到五年級稱為 line plot，六年級起稱為 dot plot。折線圖（line graph）把隨時間變化的點連起來，是另一種圖。
怎麼用 Excel 畫點圖？
Excel 沒有點圖這種圖表，所以要在排序好的數值旁邊加一欄累積計數（=COUNTIF($A$2:A2, A2)），再把兩欄畫成只顯示標記的 XY 散布圖。接著隱藏 y 軸和格線。點圖產生器省去這套變通法：直接附加原本的工作表即可。
怎麼畫分數刻度的點圖？
依測量值使用的分數在數線上標刻度，例如 1/4（0, ¼, ½, ¾, 1, 1 ¼ …），每個測量值在它的分數上方疊一個點。在點圖產生器裡把測量值寫成小數，並說「分數標籤」：1/4 和 1/8 的數值會標成分數。
什麼時候該用點圖而不是直方圖？
資料量小到每個數值都畫得出來（大約 100 個以內）時用點圖；資料量更大，或數值是連續的、很少重複時用直方圖。點圖保留精確數值和空隙；直方圖把它們藏在組裡。點圖產生器和直方圖產生器都能讀同一份貼上的清單。
點圖產生器最多能放多少個數值？
點圖產生器最多可放 800 個數值、分成至多六組，數值範圍不限。一疊超過約 24 個時，它會讓每個標記代表好幾筆觀測值並印出圖例；超過幾百個數值時，直方圖通常更清楚。
這個點圖產生器免費嗎？
可以免費開始：註冊就送 100 點免費額度，不需要信用卡。在點圖產生器裡計數堆疊和計算統計量都不扣點；只有畫圖時才會使用點數。
什麼是 Cleveland 點圖？
Cleveland 點圖在共同的刻度上，把每個類別的一個數值畫成一個點，類別沿側邊列出並依數值排序，是比長條圖更輕巧的替代方案。它和點圖產生器畫的分布點圖是不同的圖，後者呈現一個變數的每一筆觀測值。
什麼是點須圖（dot-and-whisker plot）？
點須圖把估計值（例如迴歸係數或效應量）畫成點，再用鬚線表示它們的信賴區間。它摘要的是模型而不是原始資料。若要呈現各研究的效應和合併估計值，請用森林圖產生器。
這是聯準會的點陣圖嗎？
不是：聯準會的點陣圖畫的是每位 FOMC 委員對政策利率的預測。這個頁面製作的是你自己資料的統計點圖。
資料來源
- Dot Plots — Leland Wilkinson, The American Statistician 53(3): 276–281 (1999)
- Grade 6 Statistics & Probability, 6.SP.B.4 — Common Core State Standards Initiative
- geom_dotplot: Dot plot — ggplot2 reference, Posit
- Statistics in the graphing calculator — Desmos Help Center
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