直方圖線上製作（直方圖產生器）
從原始測量值產生次數、相對次數和密度直方圖，每個組界和次數都在畫長條之前由程式算好。專為分布檢查、殘差圖和實驗報告打造。
直方圖範例
四個直方圖範例，皆依卡片上的提示詞和資料產生：依 Sturges 公式分組的 60 筆靜止心率，乾旱前後雀鳥喙深依相對次數疊加，附常態曲線的密度刻度迴歸殘差，以及組距 10 的考試成績累積次數。點選任一張即可載入輸入框。
直方圖風格
五種期刊預設，各用一組不同的樣本繪製：酵母細胞直徑、種子質量、粒線體長度、確診年齡和反應時間。點選卡片即可套用風格，或把測量值載入輸入框。
什麼是直方圖？
直方圖呈現一個連續變數的分布：把數值範圍切成相鄰的組，每根長條的面積代表落在該組的觀測數。 各組覆蓋一條不間斷的數線，所以長條彼此相接，這正是直方圖與表示獨立類別的長條圖的差別。
關於本工具
- 可輸入或貼上原始數值（直徑（µm）：5.3, 4.9, 5.0…），也可附加最多三個試算表（CSV、TSV 或 Excel），每欄一個樣本。
- 分組區間和次數組成的兩欄表格（10–15, 4）視為已分組資料，原樣繪製；50–59 這類組限在組界 49.5 和 59.5 處相接。
- 預設依 Sturges 公式分組，組界取整；指定組距、組數、Freedman–Diaconis 或 Scott 規則時以指定為準，範圍較小的整數則每個值一根長條。
- 每組包含左端點、不含右端點，只有最後一組兩端都含，所以落在組界上的值只計一次，位置也固定。
- 每次重新產生都會依你的數值重新計數，所以切換期刊預設或顏色不會移動任何一根長條。
可以製作的直方圖類型
研究人員和學生常要的六種直方圖，各自的縱軸代表什麼，以及要怎麼寫才能讓產生器畫出來。
次數分配直方圖
長條高度是該組的次數，所有高度加總為 n。 這是預設類型。用於讀者在意觀測數多寡的單一樣本，例如 60 筆靜止心率或 200 個顆粒直徑。
相對次數直方圖
長條高度是次數除以 n，所有高度加總為 1（要求百分比時為 100%）。寫「相對次數」即可。用於在同一座標軸上比較大小不同的樣本；形狀與次數版相同。
附常態曲線的密度直方圖
長條高度是次數除以 n 與組距的乘積，總面積為 1，可以在同一刻度上疊加依樣本平均數和 SD 畫的常態曲線。寫「附常態曲線的密度直方圖」。這是 t 檢定或變異數分析之前、以及檢查迴歸殘差時的常規做法。
兩個樣本疊加的直方圖
兩三個樣本使用相同的組界，各用半透明填色，重疊部分一目了然。 每個樣本各寫一行（乾旱前：…，乾旱後：…）。四到六個樣本，或寫「分面板」，會在共用 x 軸的面板中分別畫出；寫「堆疊」則堆疊顯示。
累積次數直方圖
每根長條是到該組末端為止的累計數，最後一根等於 n。 寫「累積」。它能回答 70 分以下有幾位學生這類問題，某個值的百分位數也能直接讀出。
由次數分配表畫直方圖
已經分好組的次數（40–49：3，50–59：8…）原樣繪製，絕不重新分組。 組限在組界（49.5、59.5…）處相接，長條相連；組距不相等時，高度改為次數密度，讓每根長條的面積仍與次數相符。
分幾組？Sturges 公式、Freedman–Diaconis 規則與組距
組距決定直方圖呈現什麼形狀：組太少會遮住第二個峰，組太多會讓長條變成雜訊。 用規則選組距可以重現，圖說中應寫明所用組距。
Sturges：k = ⌈log₂ n⌉ + 1 Freedman–Diaconis：h = 2 × IQR × n^(−1/3) 密度：高度 = 次數 ÷ (n × h)
用文字說明
Sturges 公式只依樣本數決定組數：50 個觀測值分 7 組，100 個分 8 組，1,000 個分 11 組。Freedman–Diaconis 規則則依四分位距決定組距，避免少數極端值把每一組都拉寬。密度直方圖把每個次數除以 n 與組距的乘積，長條總面積為 1，可以在上面疊畫機率曲線。
預設用 Sturges 公式，組距取整為 10 的次方的 1、2、2.5 或 5 倍。寫「組距 5」「12 組」「FD 分組」或「Scott 規則」可以更改，寫「從 40 開始」可以移動第一個組界。
如何製作直方圖
輸入測量值
每行貼上一個樣本，如 反應時間（ms）：276, 402, 294…，或附加試算表的一欄。兩行就是共用組界的兩個樣本；區間加次數的表格原樣繪製。
說明分組和刻度
分組可維持 Sturges 公式，也可指定組距或組數。可要求相對次數、百分比、密度、常態曲線或累積次數，並寫上座標軸標題。
產生並核對次數
圖依算出的組界和次數繪製。拿一兩根長條和你自己的計數對一下，在對話中繼續修改，匯出為 PNG、SVG 或 PPTX。
如何解讀直方圖的形狀
**解讀直方圖看的是中心、離散程度、偏態、峰的個數和離群值，這些特徵指向適合資料的模型。** 組距會改變看到的形狀，報告形狀前請換一個組距再看一次。
| 形狀 | 長條的樣子 | 通常代表 | 需要檢查 |
|---|---|---|---|
| 對稱，單峰 | 中間最高，往兩側均勻下降 | 接近常態分配 | t 檢定前做常態機率圖 |
| 右偏 | 峰的右側拖著一條矮長條長尾 | 以零為下限的值：大小、時間、濃度 | 報告中位數；試試對數刻度分組 |
| 左偏 | 長尾伸向左側 | 存在上限，例如接近滿分的考試成績 | 圖說寫中位數和 IQR |
| 雙峰 | 兩個分開的峰 | 一個樣本中混有兩個母體 | 依組拆開再疊加 |
| 均勻 | 長條高度大致相同 | 沒有偏好的數值，或組太寬 | 用較小的組距重畫 |
| 離群值或缺口 | 遠離其他長條的孤立長條，中間有空組 | 測量誤差或少見的次群體 | 排除前先核對這些觀測值 |
偏態依尾巴而不是峰的方向命名：右偏直方圖的峰在左邊。 右偏樣本的平均數位於中位數右側，所以圖說中兩者都值得寫上。
直方圖與長條圖的差別
直方圖把一個連續測量值分組以呈現其分布；長條圖為幾個獨立類別各給一個數值。 看 x 軸就能分辨：數值刻度是直方圖，組名是長條圖。
| 直方圖 | 長條圖 | 盒鬚圖 | |
|---|---|---|---|
| X 軸 | 分成若干組的數線 | 任意順序的類別名稱 | 組名 |
| 長條高度 | 該組中的觀測數或其密度 | 每個類別的平均數、計數或百分比 | 沒有長條：中位數、四分位數和鬚 |
| 長條間距 | 沒有，相鄰組共用一個組界 | 類別之間等距空開 | 盒子彼此分開 |
| 能否調換順序？ | 不能，組沿數線排列 | 能，依大小或名稱 | 能 |
| 回答的問題 | 哪些值常見，分布有多分散？ | 哪個類別最大？ | 各組整體如何比較？ |
要在多組間比較同一個測量值，依共用組界每組畫一張直方圖，能呈現各自完整的形狀；超過三組時，盒鬚圖能更精簡地完成同樣的比較。
期刊圖什麼時候需要直方圖
只要論文需要呈現樣本長什麼樣子，而不只是平均數，就會用到直方圖。
檢定前的分布檢查
審稿人會問資料是否符合 t 檢定或變異數分析的常態性假設；一張附常態曲線的密度直方圖放在補充資料裡就能回答。
迴歸殘差
以零為中心、沒有長尾的標準化殘差支持線性模型；偏斜或雙峰的殘差暗示漏掉了變數或需要轉換。
品質管制與校正
充填重量、檢測重複值或儀器讀數依規格界限分組，在方法學和確效論文中一眼就能看出漂移和離散。
大小與時間分布
細胞和顆粒直徑、粒線體長度、反應時間、確診年齡：這些右偏或多峰的變數，用平均數 ± SD 的長條會遮住它們的形狀。
直方圖常見問題
直方圖應該分幾組？
通常 5 到 15 組，樣本越大組越多。 Sturges 公式對 50 個值給出 7 組，100 個給出 8 組，1,000 個給出 11 組。本工具從這裡出發，把組距取成整齊的數，所以最後組數可能差一兩組；大樣本或偏斜樣本用 Freedman–Diaconis 規則往往更好讀。
直方圖的長條為什麼相連？
因為各組是同一條數線上首尾相接的區間，中間沒有空隙。 留出間隙會暗示有不可能出現的數值。只有某組為空時長條才會分開，呈現為一段空著的基線。
直方圖和長條圖有什麼不同？
直方圖依組呈現一個數值變數的分布；長條圖比較各類別的某個數值。 直方圖的 x 軸是連續刻度，長條相連；長條圖的類別彼此分開，可以任意排序。
組距怎麼選？
先用規則算出一個值，再取附近的整齊數：2、5 或 10 個單位，而不是 3.7。 寫「組距 5」來設定，寫「從 40 開始」來決定第一個組界。太寬會合併真實的峰，太窄會讓雜訊看起來像結構，決定前請比較兩個組距。
怎麼判斷直方圖是否偏斜？
看尾巴：矮長條往右拖是右偏，往左拖是左偏。 平均數會被拉向尾巴那一側，所以平均數明顯大於中位數就證實了右偏。反應時間、所得和顆粒大小通常是右偏的。
什麼時候直方圖該用對數刻度分組？
當所有數值都為正，且資料跨越一兩個數量級以上時，顆粒大小和濃度常是如此。 對數軸上的等寬分組讓小數值有空間，常常把長長的右尾變成對稱的形狀。寫「對數分組」或「x 軸用對數刻度」。
怎麼手繪直方圖？
求全距，定組距，把數值畫記到各組做成次數分配表，再畫高度等於次數、彼此相連的長條。 第一組從略低於最小值處開始；資料是整數時，組界取以 .5 結尾的數（49.5、59.5），就不會有值剛好落在組界上。在筆記本上和在這裡步驟都一樣。
縱軸該用次數、相對次數還是密度？
單一樣本用次數，比較大小不同的樣本用相對次數，要在長條上疊畫機率曲線或組距不相等時用密度。 組距相等時三者形狀相同，只有座標軸刻度不同。
怎麼用直方圖比較兩組？
兩個樣本用相同的組界和相同的座標軸，以半透明填色疊加，或上下分面板排列。 各組分組不同，形狀就無從比較。每組各寫一行數值，並寫上組名。
落在組界上的值歸到哪一組？
歸到從該組界開始的那一組。 每組包含左端點、不含右端點，只有最後一組兩端都含，確保最大值一定被計入；NumPy 的 histogram 函式也用同樣的慣例。
能用次數分配表的資料做直方圖嗎？
可以。給出各組及其次數，例如 40–49：3，50–59：8，60–69：12，就會原樣繪製。 組限在組界處相接，長條相連；各組組距不同時，高度改為次數密度，讓面積與次數成正比。
直方圖的圖說應寫明什麼？
樣本數、組距或決定組距的規則，以及縱軸代表什麼。 不知道組距，讀者就無法判斷形狀；密度座標軸還需要一句說明，照顧統計領域以外的讀者。
資料來源
- 1.3.3.14. Histogram — NIST, e-Handbook of Statistical Methods
- 2.2 Histograms, Frequency Polygons, and Time Series Graphs — OpenStax, Introductory Statistics 2e
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