常態分布曲線線上製作（鐘形曲線產生器）
依平均數和標準差畫出常態分布曲線：68-95-99.7 區間、標出精確機率的塗色區域、z 分數、百分位數切點，或兩條疊加的曲線。適用於統計課、考卷和論文。
常態分布曲線風格
四種風格，各搭配一條不同的曲線：課本配色下 A 到 F 的成績等第區間，考卷用黑白斜線標出身高介於 155 到 176 cm 的女性比例，期刊圖版風格下依 40 隻果蠅翅長擬合的曲線（附密度軸和地毯圖），以及深色簡報上每日步數最高的 10%。
常態分布曲線範例
四個實際產生的結果，各依卡片上的提示詞繪製：標出 68-95-99.7 規則中 68%、95%、99.7% 區間的智商分數；新生兒出生體重，2500 g 以下的尾端塗色並標出 P = 0.0359；α = 0.05 時 z 檢定兩側各 0.0250 的拒絕域；以及安慰劑組和用藥組的血壓曲線，兩者重疊面積為 66.82%。點選卡片即可載入它的提示詞。
什麼是常態分布曲線（鐘形曲線）？
鐘形曲線就是常態分布的圖形：一條以平均數為中心、左右對稱的單峰曲線，寬窄由標準差決定。 曲線下兩個值之間的面積，就是數值落在兩者之間的機率，所以塗出一塊面積就能回答像「智商低於 85 的比例是多少」（15.87%）這樣的問題。曲線永遠不會碰到橫軸；在平均數兩側一個標準差處，高度降到峰值的 61%，而這裡正好是曲線從往下彎轉成往外彎的反曲點。
關於本工具
- 參數照你課本的寫法輸入就好：平均數 100，標準差 15；μ = 0, σ = 1；72 ± 8；N(100, 15²)。也可以貼上一串原始數值，曲線會以樣本平均數 x̄ 和樣本標準差 s（n − 1）擬合。
- 塗色面積在畫圖前由常態累積分布函數算出，取到小數第四位：平均數 100、標準差 15 時，P(X < 85) = 0.1587，P(85 < X < 115) = 0.6827。
- 百分比切點用反函數倒推：智商前 5% 從 124.67 開始，標準常態分布的第 90 百分位數在 z = 1.282。
- x 軸從 μ − 4σ 到 μ + 4σ，每個標準差一個刻度（指定的邊界落在兩個刻度之間時改用整數刻度）；最多三條曲線共用這條軸，圖例裡逐一標名。
- 只畫常態分布，不畫長條：要在實測資料上疊加常態曲線，請用直方圖工具，它會以密度刻度替樣本分組。
可以產生哪些常態分布圖
大家來這裡最常做的七種常態分布圖，各自呈現什麼，以及該怎麼寫。
68-95-99.7 規則鐘形曲線
在每個標準差處把曲線切成區塊：平均數兩側各 34.13%，一到兩個標準差之間 13.59%，二到三個之間 2.14%，兩端尾巴各 0.13%。 寫「68-95-99.7 規則」或「經驗法則」，標註就照課堂上教的方式（巢狀括號標 68%、95%、99.7%，區塊內標 34%、13.5%、2.35% 和 0.15%）；寫「標準差區間」則標出精確到小數第二位的面積。
標出標準差的常態曲線
橫軸從 μ − 3σ 標到 μ + 3σ 的常態曲線，所有「某個值離平均數多遠」的問題背後都是這張圖。 智商平均數 100、標準差 15 時，刻度為 55、70、85、100、115、130、145；要求標出 σ 或 z 分數時，數字下方會再多一行。
常態曲線下的塗色面積
在指定值以下、以上、之間或之外塗出一塊區域，並在上面標出機率。 平均數 3400 g、標準差 500 g，塗出 2500 g 以下，標出 P(X < 2500) = 0.0359；女性身高平均數 162 cm、標準差 7 cm，塗出 155 到 176 cm，標出 0.8186。每條邊界都有一條垂直線畫到曲線上。
z 分數鐘形曲線
標準常態曲線，平均數 0、標準差 1，畫在 −4 到 4 的 z 軸上。 可以標出一個 z 分數、塗出它左邊的面積做成 z 表示意圖，或塗出雙尾檢定的兩個拒絕域：α = 0.05 時臨界值為 ±1.96，每側尾端 0.0250；α = 0.01 時為 ±2.576。
依等第切分的成績分布曲線
一次考試的成績分布，每個等第區間各塗一種顏色，並標出該區間的學生比例。 平均數 72、標準差 8，A 為 88 以上，B 為 80 到 88，C 為 64 到 80，D 為 56 到 64，F 為 56 以下，得到 2.28%、13.59%、68.27%、13.59% 和 2.28%。依百分位數訂等第則反過來算：「前 10% 拿 A」會給出切點分數。
兩條疊加的常態分布
處理組對照組，或一種方法對另一種方法，共用一條軸並附圖例。 要求計算重疊時，會算出共同面積：安慰劑組 138 mmHg、用藥組 126 mmHg，標準差都是 14，重疊 66.82%，Cohen's d = 0.86。標準差不同的兩條曲線有兩個交點，兩個都會找出來。
依樣本擬合的常態曲線
貼上原始測量值，曲線就依它們的平均數和樣本標準差畫出，旁邊標出 n、x̄ 和 s，需要時還能加上資料的地毯圖。 如果要把分組後的資料畫成長條放在曲線下方，那就是疊加常態曲線的直方圖。
68-95-99.7 規則的精確值
大家背的是四捨五入後的口訣，圖上該標的是精確面積。每一列都由標準常態累積分布函數 Φ 算出，並換算到智商量尺上當參照。
| 區間 | 區間內面積 | 區間外面積 | 智商量尺（平均數 100，標準差 15） |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68.27% | 31.73% | 85 到 115 |
| μ ± 1.645σ | 90.00% | 10.00% | 75.3 到 124.7 |
| μ ± 1.96σ | 95.00% | 5.00% | 70.6 到 129.4 |
| μ ± 2σ | 95.45% | 4.55% | 70 到 130 |
| μ ± 2.576σ | 99.00% | 1.00% | 61.4 到 138.6 |
| μ ± 3σ | 99.73% | 0.27% | 55 到 145 |
常態分布有 95% 落在平均數兩側 1.96 個標準差以內，而不是 2 個。 兩個標準差包含 95.45%；1.96 是 95% 信賴區間使用的倍數，也是 α = 0.05 雙尾檢定的臨界值。
常態曲線公式與 z 分數
鐘形曲線就是常態機率密度函數 f(x)，從圖上讀出的每個機率都是 f 底下的一塊面積，以 z = (x − μ)/σ 標準化後求得。 z 分數表示一個值離平均數有幾個標準差，所以一張 Φ 表就能回答任何常態量尺上的問題，從智商分數到公克都適用。
f(x) = e^(−(x − μ)² / 2σ²) / (σ√(2π)) z = (x − μ) / σ P(X < x) = Φ(z)
文字說明
曲線高度隨著與 μ 距離的平方而下降；x 左側的面積就是 Φ(z)。
Φ 沒有初等函數的封閉形式。本工具用誤差函數以雙精度計算 Φ(z) = ½[1 + erf(z/√2)]，所以標出的 0.1587 或 0.9750 四位小數都正確；再用反函數 Φ⁻¹ 把指定的百分位數換算成切點。
常態曲線用在哪裡
只要一項測量是用平均數和標準差來概括，而讀者又需要看懂這個分散程度代表什麼，就會出現鐘形曲線。
檢驗醫學的參考區間
許多參考區間取的是健康族群中間的 95%，被測物呈常態分布時就是平均數 ± 1.96 個標準差；塗出中間區域，就能看出哪些結果會被標為偏高或偏低。
依曲線打成績
切點訂在固定的標準差距離或百分位數上；這張圖讓全班看到每個等第的界線在哪裡，以及各等第有多少比例的學生。
假設檢定與信賴區間
z 檢定的拒絕域、以觀察到的 z 值外側尾端面積表示的 p 值、以中間 95% 表示的 95% 信賴區間：這些都是統計學入門課的標準圖。
標準化測驗分數
智商（平均數 100，標準差 15）和 T 分數（平均數 50，標準差 10）都是以常態量尺定義的，所以百分等級可以直接從曲線讀出：智商 130 比平均數高兩個標準差，高於 97.72% 的分數。
常態分布常見問題
常態分布曲線要怎麼畫？
給出平均數和標準差，說明要塗哪塊面積，然後產生。 例如：「智商分數，平均數 100，標準差 15，把 130 以上塗色並標出機率。」每個標準差處的刻度、曲線的高度，以及 P(X > 130) = 0.0228，都會在畫圖前算好。在試算表裡做同一張圖，則需要一欄 x 值、每個值用 NORM.DIST 算一次，再畫成平滑折線圖。
68-95-99.7 規則（經驗法則）在說什麼？
常態分布大約有 68% 落在平均數一個標準差以內，95% 在兩個以內，99.7% 在三個以內。 精確面積是 68.27%、95.45% 和 99.73%。這條規則只適用於常態資料；對任何分布，柴比雪夫不等式只能保證兩個標準差以內至少有 75%。
鐘形曲線下塗色區域的機率怎麼求？
先把每條邊界換算成 z 分數，z = (x − μ)/σ，再用 Φ(z) 得到下方面積、1 − Φ(z) 得到上方面積，兩個 Φ 值相減得到中間的面積。 平均數 100、標準差 15 時：P(X < 85) = Φ(−1) = 0.1587，P(X > 115) = 0.1587，P(85 < X < 115) = 0.6827。這個頁面是畫圖工具，不是常態分布計算機，但它做的正是這套計算，並把結果標在塗色區域上。
鐘形曲線上的 z 分數是什麼？
一個值離平均數有幾個標準差，z = (x − μ)/σ。 平均數 162 cm、標準差 7 cm 時，176 cm 的身高 z = 2.00，分布中有 97.72% 在它之下。在標準常態曲線上，x 軸本身就是 z 刻度，所以臨界值 ±1.96 可以直接標上去。
怎麼塗出前 5%，或標出某個百分位數？
用百分比提出要求，切點就會用常態累積分布函數的反函數求出。 智商前 5% 從 124.67 開始（z = 1.645），後 10% 到 80.78 為止（z = −1.282），平均數 8000、標準差 2000 的每日步數，第 90 百分位數是 10,563。
該用常態分布曲線還是直方圖？
直方圖呈現你實際測得的資料；鐘形曲線呈現的是一個模型，也就是給定平均數和標準差的常態分布。 要檢查樣本是否接近常態，就以密度刻度畫出它的直方圖並疊上常態曲線。講解一種分布、標出切點或呈現某個機率時，才畫單獨的鐘形曲線。
常態分布曲線的圖說要寫什麼？
寫出分布名稱、參數以及塗色代表的意思，例如：「平均數 100、標準差 15 的常態分布；塗色面積 P(X < 85) = 0.1587，即分數低於 85 的比例。」擬合曲線要註明 n、x̄ 和 s，並說明曲線是常態擬合而不是資料本身。μ 和 σ 來自已發表的母體資料時，要註明出處。
兩條常態曲線可以放在同一張圖上比較嗎？
可以：最多三條曲線共用一條軸，各用一種顏色，在圖例中各標一次名稱。 標準差相等的兩條曲線，交點在兩個平均數的正中間；標準差不相等時有兩個交點，分別在較窄曲線峰值的兩側。要求計算重疊面積或 Cohen's d，也會一起標出。
AI 會更動我的平均數、標準差或機率嗎？
不會。每個刻度、曲線在十七個點上的高度、每條邊界的 z 分數以及每個塗色機率，都先依你的參數算好，影像模型只被要求把它們擺到正確位置，而不是自己去算。 沒有給參數的籠統要求，會畫成標準常態分布（平均數 0，標準差 1）；智商和 T 分數的圖使用這些量尺的定義值。
我的資料夠接近常態，可以畫成鐘形曲線嗎？
常態曲線適合大致圍繞單一峰值左右對稱的變數；先用直方圖或常態 Q-Q 圖檢查。 反應時間、所得或抗體力價這類右偏的測量值，套上常態曲線會嚴重失真，最好照原樣呈現，或取對數後再畫。
資料來源
- 1.3.6.6.1. Normal Distribution — NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods
- 6.1 The Standard Normal Distribution — OpenStax, Introductory Statistics 2e
