機率樹狀圖線上製作（樹狀圖產生器）
給數學與統計用的樹狀圖產生器：畫出機率樹狀圖，每條分支標上機率、每個結果都乘好，也能畫決策樹和分類樹狀圖，適用於上課、學習單和報告。
樹狀圖風格
每種風格各搭配一棵不同的樹：實數依子集逐層分類、轉盤轉兩次、下雨與遲到、駕照路考與重考。點選卡片即可載入它背後的提示詞。
樹狀圖範例
四個起始範例的實際產生結果：從 3 顆紅球和 2 顆藍球中取後不放回取兩次；盛行率 2% 的篩檢試驗，一路算到 P(檢驗陽性)；擲三次硬幣的全部八種結果；以及倒推出期望值的產品上市決策。點選任一張即可載入它的提示詞。
什麼是樹狀圖？
樹狀圖是一種分岔的圖，把一連串事件的所有可能結果逐一列出；在機率裡它就是機率樹狀圖，每條分支標著在前面分支已發生的條件下，該結果發生的機率，沿著一條路徑相乘就得到這條路徑的機率。 由左往右看，第一組分支是第一個事件（第一次取球、投擲或檢驗結果），之後的每一組分支都從前一步每條分支的末端再展開，每條路徑的終點就是整個試驗的一個結果。從同一點分出的分支機率總和為 1，所有結果加起來也是 1。同樣的畫法也用在決策樹（加上決策和報酬）和階層樹狀圖（只表示從屬關係）。
本工具會算出什麼
- 乘積是算出來的，不是猜的。 每個結果都由程式沿著它的路徑相乘，寫成乘式、未約分的分數和約分後的分數，例如 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10。
- 分數就維持分數。 以分數給的分支保留原本的分母，所以第二次取球的 2/4 不會被偷偷改成 1/2；小數和百分率則以小數和百分率相乘。
- 缺的餘事件會補上。 某個點有一條分支沒寫機率時，會以 1 減去其他分支補上（下雨 0.3 之後的不下雨記為 0.7）。你給的分支加起來大於或小於 1 時，會照你寫的原樣畫出，絕不在背後幫你修正。
- 你指定的事件會被加總。 要求 P(恰好一顆紅球)、至少兩次正面、顏色相同，或是檢驗陽性這類單一結果時，符合的結果會相加並寫在樹的下方。
- 規模以看得清楚為限。 一棵樹最多四步、48 個結果：兩顆骰子（36 個結果）放得下，三顆骰子（216 個）放不下。
常見的樹狀圖，以及各自需要什麼
大部分的需求都是下面六種之一。差別在於分支上寫什麼、末端寫什麼。
機率樹狀圖
國中、高中數學裡兩步或三步的樹狀圖，學測和分科測驗的機率題也常用：每個事件一組分支，每條分支一個機率，右側是結果欄，每條路徑都乘好。機率怎麼給就怎麼寫（3/5、0.6 或 60%），再指定要相加的事件，例如 P(恰好一顆紅球)。
取後不放回的樹狀圖
取球、抽牌或拿糖果後不放回去，第二組分支就會改變：從 3 顆紅球和 2 顆藍球中，紅 3/5 之後接紅 2/4 和藍 2/4，藍 2/5 之後接紅 3/4 和藍 1/4。描述袋中的球和取球次數，後面的分數由程式算出。取後放回時，每一步都和第一步相同。
條件機率樹狀圖（貝氏定理）
篩檢和品管類的題目：第一組分支依是否患病分開（也就是盛行率），第二組依檢驗結果分開（患病者為敏感度，未患病者為偽陽性率）。盛行率 2%、敏感度 90%、偽陽性率 5% 時，P(檢驗陽性) = 1.8% + 4.9% = 6.7%，所以陽性者當中只有約 27% 真的患病。
硬幣與骰子的樹狀圖（樣本空間）
每條分支機率相等：公正硬幣為 1/2，骰子為 1/6。擲三次硬幣有 8 個結果、各 1/8，擲兩顆骰子有 36 個結果、各 1/36；指定一個事件，例如至少兩次正面（4/8 = 1/2），就會從樹上數出來，這是呈現樣本空間最清楚的方式。
決策樹
方框代表決策，圓圈代表機會事件，每條分支末端寫報酬。期望值從報酬一層層倒推：一次上市以 0.6 的機率成功、報酬 $500,000，失敗則為 −$200,000，它的價值是 0.6 × 500,000 + 0.4 × (−200,000) = $220,000，所以優於不上市，被捨棄的選項以雙斜線劃掉。
階層與分類樹狀圖
沒有機率，只表示誰屬於誰：實數分成有理數和無理數，有理數再分成整數和非整數的分數，依此類推。預設由上往下畫在方框裡，也可以要求由左往右，頂層方框以下最多四層。
每棵樹背後的乘法原理和加法原理
沿著路徑相乘得到這條路徑的機率，再把構成某個事件的路徑相加。 第一條是一般的機率乘法原理：第一步之後的每條分支都是條件機率，也就是在 A 已經發生的條件下 B 發生的機率。第二條是互斥事件的加法原理：同一棵樹上兩條不同的路徑不可能同時發生，所以機率直接相加。
P(A 且 B) = P(A) × P(B | A) P(事件) = Σ P(路徑)
文字說明
路徑的機率 = 路徑上各分支機率的乘積；事件的機率 = 它所包含路徑機率的總和
貝氏定理也能從同一棵樹讀出來： P(A | B) = P(A 且 B) / P(B)，也就是經過 A 和 B 的那條路徑，除以所有以 B 結尾的路徑總和。在篩檢範例中就是 1.8% / 6.7% ≈ 26.9%。
結果計算表：從 3 顆紅球和 2 顆藍球中取兩次
把第一個範例的結果欄整理成表格。這些就是樹狀圖寫在每條路徑末端的數字。
| 路徑 | 相乘的分支 | 機率 |
|---|---|---|
| 紅，紅 | 3/5 × 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| 紅，藍 | 3/5 × 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| 藍，紅 | 2/5 × 3/4 | 6/20 = 3/10 |
| 藍，藍 | 2/5 × 1/4 | 2/20 = 1/10 |
| 全部四條路徑 | 20/20 = 1 |
P(恰好一顆紅球) = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5。 如果是取後放回，第二次的分數仍是 3/5 和 2/5，P(紅，紅) 會是 9/25，而不是 3/10。
如何畫樹狀圖
列出各步驟和每步的結果
依序寫出各個事件（第一次取球、第二次取球），以及每個事件可能的結果。某一步的每個結果，都要從上一步每條分支的末端各畫出一條分支。
在每條分支標上機率
用的是在已發生情況下的機率：取出一顆紅球且不放回後，袋子裡就少了一顆紅球。從同一點分出的分支加起來等於 1，這是檢查有沒有漏掉最快的方法。
橫向相乘，縱向相加
在每條路徑末端寫出各分支機率的乘積；整棵樹上這些乘積加起來等於 1。求某個事件的機率，就把屬於它的路徑相加，其他的不加。
樹狀圖、雙向表和文氏圖的差別
樹狀圖依先後順序呈現事件，條件機率寫在分支上；雙向表把相同的聯合機率排成一格一格；文氏圖呈現事件之間的重疊，但看不出順序。
| 樹狀圖 | 雙向表 | 文氏圖 | |
|---|---|---|---|
| 事件順序 | 逐步呈現 | 看不出來 | 看不出來 |
| 條件機率 | 寫在後面的分支上 | 由列或欄的合計算出 | 無法直接看出 |
| 聯合機率 | 在每條路徑末端 | 在每一格裡 | 在每個區域裡 |
| 兩步以上 | 每多一步多一組分支 | 超過兩個變數就很難排 | 超過三個集合就很難畫 |
| 最適合 | 依序進行的取球、投擲和檢驗 | 依兩種類別交叉分組的調查次數 | A 或 B、A 且 B 這類問題 |
課本上大多數題目三種方法都畫得出來。題目牽涉條件機率，或事件一個接一個發生時，就用樹狀圖。
樹狀圖常見問題
數學和統計裡的樹狀圖是什麼？
它把多步驟試驗的每個結果畫成一條由分支組成的路徑，用來求複合事件的機率。 每組分支是一個步驟；路徑數就是結果數（擲三枚硬幣為 2 × 2 × 2 = 8），沿著路徑把機率相乘就得到該結果的機率。計數問題用的是同樣的樹，只是不寫機率。
機率題的樹狀圖要怎麼畫？
每個事件畫一組分支，每條分支標上結果和機率，再沿著每條路徑相乘。 在這裡可以直接用一句話輸入題目（袋中有 3 顆紅球和 2 顆藍球，取後不放回取兩次），也可以把分支寫成縮排清單，每行一條，標籤後寫 3/5、0.6 或 60%；某一行再多縮排一層，就會接在上一行底下。
樹狀圖末端的機率要怎麼看？
每條路徑末端的數字是聯合機率：這條路徑上的所有事件依這個順序全部發生的機率。 P(紅，藍) = 3/5 × 2/4 = 3/10 的意思是第一次紅、第二次藍。要回答某個事件的問題，就找出所有符合的路徑，把末端的值相加；所有末端值加起來等於 1。
取後不放回時，樹狀圖會有什麼變化？
取後不放回時，第二組分支用的是第一次取完剩下的球，所以各分支上的分數不同。 從 3 顆紅球和 2 顆藍球中，取到紅球之後的分支是紅 2/4 和藍 2/4，取到藍球之後是紅 3/4 和藍 1/4。取後放回時，每組分支都重複 3/5 和 2/5，兩次取球互相獨立。
為什麼從同一點分出的分支加起來一定要是 1？
因為從一個點分出的分支就是這一步所有可能的結果，而且剛好會有一個發生。 如果下雨之後的分支寫著遲到 0.4、準時 0.5，那就是漏了一個結果，或某個數字寫錯了。本工具會用餘事件補上唯一缺少的分支；加起來不等於 1 的一組分支，則照你寫的原樣畫出，不做修正。
怎麼用樹狀圖求條件機率？
用你要的那條路徑，除以所有符合已知條件的路徑總和。 以篩檢試驗為例，P(患病 | 檢驗陽性) = P(患病且陽性) / P(檢驗陽性) = 1.8% / (1.8% + 4.9%) ≈ 26.9%。這就是從樹上讀出的貝氏定理，也說明了為什麼罕見疾病的檢驗陽性常常是虛驚一場。
樹狀圖上的分數要約分嗎？
分支上的分數通常照原樣保留，末端的值則常同時寫出約分前後兩種形式。 6/20 和 3/10 並列，可以看出公分母，四個結果加起來正好是 20/20。小數和百分率也可以用；只有你的課本這樣混用時才混用，因為同一種寫法的樹比較好檢查。
樹狀圖和遺傳譜系圖、親緣關係樹、支序圖、檢索表是同一種東西嗎？
不是：這四種是不同的圖，各有自己的慣例，這裡也各有對應的工具。 表示性狀遺傳的家族圖是遺傳譜系圖，帶枝長的演化樹是親緣關係樹，依共有衍徵建立的是支序圖，由成對選項組成的鑑定指南是檢索表。數學裡的樹狀圖談的是結果和它們的機率。
AI 會更動我給的機率嗎？
不會。每個分支值、乘積、總和和期望值都在畫圖前由程式算好，並一字不差地告訴模型。 模型從來不需要自己算 3/5 乘 2/4。如果你的分支加起來不等於 1，樹會照你寫的原樣畫出，而不是被悄悄修正，所以請檢查你輸入的數字。
報告或論文裡的樹狀圖，圖說要怎麼寫？
說明各步驟是什麼、取出後是否放回，以及哪些數字是條件機率。 例如：圖 1. 從裝有 3 顆紅球和 2 顆藍球的袋中取後不放回取兩次的機率樹狀圖。分支上的數值為條件機率，末端的數值為聯合機率。決策樹還要說明報酬的單位，以及期望值是怎麼倒推的。
AI 畫的決策樹可以放進期刊論文嗎？
通常可以，因為它是說明用的示意圖，而不是你的研究資料影像，但最終由期刊決定。 Elsevier 的期刊生成式 AI 政策把決策樹列為 AI 工具可以協助製作的說明性圖像之一，而原始研究資料的影像則不得以 AI 產生。請查閱投稿期刊自己的政策，並在方法或圖說中說明這張圖的製作方式。
一張樹狀圖最多可以有多少個結果？
這裡最多四步、48 個結果，足夠畫兩顆骰子（36 個結果）和擲四次硬幣（16 個）。 再多，樹在一頁紙上就看不清楚了：改用乘法原理或表格，或只畫題目需要的分支（例如只畫至少出現一次六點的路徑）。
資料來源
- 3.5 Tree and Venn Diagrams — OpenStax Introductory Statistics 2e
- Introduction to Probability (Grinstead and Snell), tree diagrams and conditional probability — Dartmouth College
- Generative AI policies for journals — Elsevier
