Glockenkurve erstellen: Gaußsche Normalverteilungskurve
Normalverteilungskurven aus Mittelwert und SD: die Bänder 68-95-99.7, eine schattierte Fläche mit ihrer exakten Wahrscheinlichkeit, z-Werte, Perzentilgrenzen oder zwei überlagerte Kurven. Für den Stochastikunterricht, Klausuren, die Abiturvorbereitung und Publikationen.
Stile für Glockenkurven
Vier Stile, jeder an einer anderen Glockenkurve: Notenbereiche A bis F in Lehrbuchfarben, der Anteil der Frauen zwischen 155 und 176 cm schwarz-weiß schraffiert für einen Klausurbogen, eine an 40 Flügellängen von Taufliegen angepasste Kurve als Journal-Panel mit Dichteachse und Rug und die oberen 10 % der täglichen Schrittzahlen auf einer dunklen Folie.
Beispiele für Glockenkurven
Vier echte Ergebnisse, jedes aus dem Prompt seiner Karte gezeichnet: IQ-Werte mit den Klammern 68 %, 95 % und 99.7 % der empirischen Regel, das Geburtsgewicht Neugeborener mit dem Bereich unter 2500 g schattiert bei P = 0.0359, die beiden Ablehnungsbereiche von je 0.0250 eines z-Tests bei α = 0.05 und die Blutdruckkurven von Placebo und Wirkstoff, die sich 66.82 % ihrer Fläche teilen. Klicken Sie auf eine Karte, um ihren Prompt zu laden.
Was ist eine Glockenkurve?
Eine Glockenkurve ist der Graph einer Normalverteilung: eine symmetrische Kurve mit einem einzigen Gipfel beim Mittelwert, deren Breite die Standardabweichung festlegt. Die Fläche unter ihr zwischen zwei Werten ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert dazwischen liegt; eine schattierte Fläche beantwortet also Fragen wie die, welcher Anteil der IQ-Werte unter 85 liegt (15.87 %). Die Kurve berührt die Achse nie; eine Standardabweichung links und rechts vom Mittelwert ist sie auf 61 % ihrer Gipfelhöhe gefallen, und genau dort liegen ihre Wendepunkte.
Über diesen Glockenkurven-Generator
- Die Parameter so eintippen, wie Ihr Kurs sie schreibt: Mittelwert 100, SD 15; μ = 0, σ = 1; 72 ± 8; N(100, 15²). Fügen Sie stattdessen eine Liste von Rohwerten ein, wird die Kurve mit dem Stichprobenmittel x̄ und der Stichproben-SD s (n − 1) angepasst.
- Schattierte Flächen werden vor dem Zeichnen aus der Verteilungsfunktion der Normalverteilung berechnet und mit vier Nachkommastellen angegeben: P(X < 85) = 0.1587 und P(85 < X < 115) = 0.6827 bei Mittelwert 100, SD 15.
- Prozentgrenzen werden rückwärts über die Quantilfunktion bestimmt: Die oberen 5 % der IQ-Werte beginnen bei 124.67, und das 90. Perzentil der Standardnormalverteilung liegt bei z = 1.282.
- Die x-Achse reicht von μ − 4σ bis μ + 4σ mit einer Marke an jeder Standardabweichung (oder an runden Zahlen, wenn eine angegebene Grenze dazwischen fällt); bis zu drei Kurven können sie sich teilen, jede in einer Legende benannt.
- Gezeichnet wird nur die Normalverteilung, ohne Balken: Für Messdaten mit darübergelegter Normalverteilungskurve klassiert der Histogramm-Generator die Stichprobe auf einer Dichteskala.
Diese Glockenkurven können Sie erstellen
Sieben Abbildungen zur Normalverteilung, für die Nutzer hierherkommen, was jede zeigt und mit welchen Worten Sie sie bekommen.
Glockenkurve zur empirischen Regel (68-95-99.7)
Die Kurve in Streifen an jeder Standardabweichung geteilt: 34.13 % auf jeder Seite des Mittelwerts, 13.59 % von einer bis zwei SD, 2.14 % von zwei bis drei und 0.13 % in jedem Rand. Schreiben Sie „empirische Regel“ oder „68-95-99.7“, dann folgen die Beschriftungen der Regel, wie sie unterrichtet wird (68 %, 95 % und 99.7 % an verschachtelten Klammern, 34 %, 13.5 %, 2.35 % und 0.15 % in den Streifen); schreiben Sie „Standardabweichungsbänder“ für die exakten Flächen mit zwei Nachkommastellen.
Glockenkurve mit Standardabweichungen
Eine Normalverteilungskurve, deren Achse von μ − 3σ bis μ + 3σ markiert ist, die Abbildung hinter jeder Frage, wie weit ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt. Der IQ mit Mittelwert 100 und SD 15 ergibt Marken bei 55, 70, 85, 100, 115, 130 und 145; verlangen Sie σ-Beschriftungen oder z-Werte, erscheint eine zweite Zeile unter den Zahlen.
Schattierte Fläche unter der Normalverteilungskurve
Ein Bereich unter, über, zwischen oder außerhalb angegebener Werte, mit seiner Wahrscheinlichkeit darauf. Mittelwert 3400 g, SD 500 g, unter 2500 g schattiert, ergibt P(X < 2500) = 0.0359; Körpergrößen von Frauen mit Mittelwert 162 cm und SD 7 cm, von 155 bis 176 cm schattiert, ergeben 0.8186. Jede Grenze erhält eine eigene senkrechte Linie bis zur Kurve.
Glockenkurve mit z-Werten
Die Standardnormalverteilung, Mittelwert 0 und SD 1, auf einer z-Achse von −4 bis 4. Markieren Sie einen z-Wert, schattieren Sie die Fläche links davon für eine Abbildung zur Φ-Tabelle oder beide Ablehnungsbereiche eines zweiseitigen Tests: Bei α = 0.05 liegen die kritischen Werte bei ±1.96 mit 0.0250 in jedem Rand, bei α = 0.01 bei ±2.576.
Notenkurve mit Notengrenzen
Die Punkteverteilung einer Klausur, jeder Notenbereich mit eigener Füllung schattiert und mit dem Anteil der Studierenden darin. Mittelwert 72 und SD 8 mit Note 1 über 88, Note 2 von 80 bis 88, Note 3 von 64 bis 80, Note 4 von 56 bis 64 und Note 5 unter 56 ergibt 2.28 %, 13.59 %, 68.27 %, 13.59 % und 2.28 %. Benotung nach Perzentilen funktioniert umgekehrt: „die besten 10 % bekommen eine 1“ liefert die Punktgrenze.
Zwei überlagerte Normalverteilungen
Behandlung gegen Kontrolle oder eine Methode gegen eine andere, auf einer gemeinsamen Achse mit Legende. Fragen Sie nach der Überlappung, wird die gemeinsame Fläche berechnet: Placebo bei 138 mmHg und Wirkstoff bei 126 mmHg, beide mit SD 14, überlappen zu 66.82 % bei Cohens d = 0.86. Kurven mit unterschiedlicher SD schneiden sich in zwei Punkten, und beide werden bestimmt.
An eine Stichprobe angepasste Normalverteilungskurve
Fügen Sie die Rohmesswerte ein, dann wird die Kurve aus ihrem Mittelwert und ihrer Stichproben-Standardabweichung gezeichnet, mit n, x̄ und s daneben und auf Wunsch einem Rug der Werte. Sollen die klassierten Daten als Balken unter der Kurve erscheinen, ist das ein Histogramm mit Normalverteilungskurve.
Die empirische Regel (68-95-99.7) mit exakten Werten
Auswendig gelernt wird die gerundete Regel; in eine Abbildung gehören die exakten Flächen. Jede Zeile ist aus Φ berechnet, der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, und zur Einordnung auf der IQ-Skala angegeben.
| Intervall | Fläche innerhalb | Fläche außerhalb | IQ-Skala (Mittelwert 100, SD 15) |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68.27 % | 31.73 % | 85 bis 115 |
| μ ± 1.645σ | 90.00 % | 10.00 % | 75.3 bis 124.7 |
| μ ± 1.96σ | 95.00 % | 5.00 % | 70.6 bis 129.4 |
| μ ± 2σ | 95.45 % | 4.55 % | 70 bis 130 |
| μ ± 2.576σ | 99.00 % | 1.00 % | 61.4 bis 138.6 |
| μ ± 3σ | 99.73 % | 0.27 % | 55 bis 145 |
95 % einer Normalverteilung liegen innerhalb von 1.96 Standardabweichungen um den Mittelwert, nicht innerhalb von 2. Zwei SD umfassen 95.45 %; 1.96 ist der Faktor hinter einem 95-%-Konfidenzintervall und der kritische Wert eines zweiseitigen Tests bei α = 0.05.
Die Formel der Normalverteilung und der z-Wert
Die Glockenkurve ist die Dichtefunktion f(x) der Normalverteilung, und jede an ihr abgelesene Wahrscheinlichkeit ist eine Fläche unter f, die man durch Standardisieren mit z = (x − μ)/σ findet. Ein z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt; eine einzige Φ-Tabelle beantwortet damit Fragen auf jeder Normalskala, von IQ-Punkten bis zu Gramm.
f(x) = e^(−(x − μ)² / 2σ²) / (σ√(2π)) z = (x − μ) / σ P(X < x) = Φ(z)
In Worten
Die Höhe sinkt mit dem quadrierten Abstand von μ; die Fläche links von x ist Φ(z).
Φ hat keine geschlossene Form. Der Generator berechnet sie über die Fehlerfunktion in doppelter Genauigkeit, Φ(z) = ½[1 + erf(z/√2)], sodass ein angegebenes 0.1587 oder 0.9750 in allen vier Nachkommastellen stimmt, und nutzt die Umkehrfunktion Φ⁻¹, um ein angegebenes Perzentil in seine Grenze umzurechnen.
Wo die Normalverteilungskurve gebraucht wird
Glockenkurven tauchen überall dort auf, wo eine Messgröße durch Mittelwert und Standardabweichung zusammengefasst wird und der Leser sehen muss, was diese Streuung bedeutet.
Referenzbereiche in der Labormedizin
Viele Referenzintervalle sind die mittleren 95 % einer gesunden Population, bei normalverteiltem Analyten also Mittelwert ± 1.96 SD; ein schattierter Mittelbereich zeigt, welche Befunde als erhöht oder erniedrigt markiert werden.
Benotung nach der Kurve
Notengrenzen in festen SD-Abständen oder an Perzentilen; die Abbildung zeigt einem Kurs, wo jede Notengrenze liegt und welchen Anteil der Studierenden jeder Bereich umfasst.
Hypothesentests und Konfidenzintervalle
Ablehnungsbereiche eines z-Tests, ein p-Wert als Randfläche jenseits des beobachteten z, ein 95-%-Intervall als die mittleren 95 %: die Standardabbildungen jeder Einführung in die Statistik.
Standardisierte Testwerte
IQ (Mittelwert 100, SD 15) und T-Werte (Mittelwert 50, SD 10) sind auf einer Normalskala definiert, ein Prozentrang lässt sich also direkt an der Kurve ablesen: Ein IQ von 130 liegt zwei SD über dem Mittel, über 97.72 % aller Werte.
Häufige Fragen zur Normalverteilung
Wie erstelle ich eine Glockenkurve?
Mittelwert und Standardabweichung angeben, die zu schattierende Fläche nennen und erstellen. Zum Beispiel: „IQ-Werte, Mittelwert 100, SD 15, über 130 schattieren und die Wahrscheinlichkeit angeben.“ Die Achsenmarken an jeder Standardabweichung, die Höhen der Kurve und P(X > 130) = 0.0228 werden berechnet, bevor irgendetwas gezeichnet wird. In einer Tabellenkalkulation bräuchte dieselbe Abbildung eine Spalte mit x-Werten, NORM.VERT für jeden davon und ein geglättetes Liniendiagramm.
Was besagt die empirische Regel (68-95-99.7)?
Etwa 68 % einer Normalverteilung liegen innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert, 95 % innerhalb von zwei und 99.7 % innerhalb von drei. Die exakten Flächen sind 68.27 %, 95.45 % und 99.73 %. Die Regel gilt nur für normalverteilte Daten; für eine beliebige Verteilung garantiert die Tschebyscheff-Ungleichung nur 75 % innerhalb von zwei Standardabweichungen.
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit einer schattierten Fläche unter der Glockenkurve?
Jede Grenze in einen z-Wert umrechnen, z = (x − μ)/σ, dann Φ(z) für die Fläche darunter nehmen, 1 − Φ(z) für die Fläche darüber und die Differenz zweier Φ-Werte für die Fläche dazwischen. Bei Mittelwert 100 und SD 15: P(X < 85) = Φ(−1) = 0.1587, P(X > 115) = 0.1587, P(85 < X < 115) = 0.6827. Diese Seite ist ein Abbildungsgenerator und kein Normalverteilungsrechner, führt aber genau diese Rechnung aus und schreibt das Ergebnis auf die schattierte Fläche.
Was ist ein z-Wert an der Glockenkurve?
Die Zahl der Standardabweichungen, die ein Wert vom Mittelwert entfernt liegt, z = (x − μ)/σ. Eine Körpergröße von 176 cm hat bei Mittelwert 162 cm und SD 7 cm den Wert z = 2.00, und 97.72 % der Verteilung liegen darunter. Bei der Standardnormalverteilung ist die x-Achse selbst die z-Skala, die kritischen Werte ±1.96 lassen sich also direkt markieren.
Wie schattiere ich die oberen 5 % oder markiere ein Perzentil?
Geben Sie es als Prozent an, dann wird die Grenze über die Quantilfunktion der Normalverteilung bestimmt. Die oberen 5 % der IQ-Werte beginnen bei 124.67 (z = 1.645), die unteren 10 % enden bei 80.78 (z = −1.282), und das 90. Perzentil der täglichen Schritte bei Mittelwert 8000 und SD 2000 liegt bei 10 563.
Glockenkurve oder Histogramm: Was nehme ich?
Ein Histogramm zeigt Daten, die Sie gemessen haben; eine Glockenkurve zeigt ein Modell, die Normalverteilung mit angegebenem Mittelwert und SD. Um zu prüfen, ob eine Stichprobe normalverteilt aussieht, zeichnen Sie ihr Histogramm mit darübergelegter Normalverteilungskurve auf einer Dichteskala. Die bloße Glockenkurve zeichnen Sie, um eine Verteilung zu erklären, Grenzen zu markieren oder eine Wahrscheinlichkeit zu zeigen.
Was gehört in die Bildunterschrift einer Glockenkurve?
Die Verteilung, ihre Parameter und was die Schattierung bedeutet, zum Beispiel: „Normalverteilung mit Mittelwert 100 und SD 15; die schattierte Fläche, P(X < 85) = 0.1587, ist der Anteil der Werte unter 85.“ Bei einer angepassten Kurve nennen Sie n, x̄ und s und sagen, dass die Kurve eine Normalverteilungsanpassung ist und nicht die Daten selbst. Stammen μ und σ aus einer veröffentlichten Population, zitieren Sie diese.
Lassen sich zwei Normalverteilungskurven in einem Diagramm vergleichen?
Ja: Bis zu drei Kurven teilen sich eine Achse, jede in eigener Farbe und einmal in der Legende benannt. Zwei Kurven mit gleicher SD schneiden sich genau in der Mitte zwischen ihren Mittelwerten; bei ungleicher SD schneiden sie sich zweimal, je einmal auf jeder Seite des Gipfels der schmaleren Kurve. Fragen Sie nach der Überlappung oder nach Cohens d, dann werden auch diese angegeben.
Verändert die KI meinen Mittelwert, meine SD oder die Wahrscheinlichkeiten?
Nein. Jede Achsenmarke, die Höhe der Kurve an siebzehn Punkten, der z-Wert jeder Grenze und jede schattierte Wahrscheinlichkeit werden zuerst aus Ihren Parametern berechnet, und das Bildmodell erhält die Anweisung, sie zu platzieren, nicht sie auszurechnen. Eine allgemeine Anfrage ohne Parameter wird als Standardnormalverteilung gezeichnet (Mittelwert 0, SD 1); Abbildungen zu IQ und T-Werten verwenden die festgelegten Werte dieser Skalen.
Sind meine Daten normalverteilt genug für eine Glockenkurve?
Eine Normalverteilungskurve passt zu einer Variablen, die ungefähr symmetrisch um einen einzigen Gipfel liegt; prüfen Sie das zuerst mit einem Histogramm oder einem Normal-Q-Q-Plot. Rechtsschiefe Messgrößen wie Reaktionszeiten, Einkommen oder Antikörpertiter werden unter einer Normalverteilungskurve stark verzerrt dargestellt und zeigt man besser so, wie sie sind, oder nach einer Log-Transformation.
Quellen
- 1.3.6.6.1. Normal Distribution — NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods
- 6.1 The Standard Normal Distribution — OpenStax, Introductory Statistics 2e
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Glockenkurve erstellen, Wahrscheinlichkeit schon ausgerechnet
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Glockenkurve erstellen