Einheitskreis mit Sinus und Kosinus
Der vollständige Einheitskreis für die Oberstufe, mit allen 16 Winkeln in Grad und Bogenmaß, den Koordinaten (cos, sin) und den Tangenswerten. Prüfen Sie jeden Winkel im Rechner, drucken Sie einen leeren Einheitskreis aus oder üben Sie mit dem Quiz.
Einheitskreis kostenlos herunterladen, ohne Anmeldung. Wird in Ihrem Browser gezeichnet.
Stile für den Einheitskreis
Vier Darstellungen, die der KI-Generator für den Einheitskreis zeichnet, jede auf einem anderen Diagramm. Die Werte stammen aus derselben exakten Tabelle wie im kostenlosen Diagramm; nur Strich, Farbe und Hintergrund ändern sich. Klicken Sie auf eine Karte, um ihren Prompt zu laden.
Beispiele für den Einheitskreis
Vier Beispiele für den Einheitskreis, jedes ein echtes Ergebnis des Prompts auf seiner Karte: der vollständige Kreis, Koordinaten mit Tangenswerten, ein Spickzettel mit den rechtwinkligen Sonderdreiecken und ein Arbeitsblatt zum Ausfüllen. Klicken Sie auf eine Karte, um sie in den Generator oben zu laden.
Die Übersicht für den Platz neben den Hausaufgaben.
Sobald der Tangens im Unterricht dran ist.
Der Stoff einer Trigonometrie-Klausur auf einer Seite.
Aus dem Gedächtnis ausfüllen, dann kontrollieren.
Was ist der Einheitskreis?
Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung, und der Punkt, in dem der freie Schenkel eines Winkels θ ihn schneidet, ist (cos θ, sin θ). Winkel werden von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen, also gehört zu jedem Winkel genau ein Punkt. Seine x-Koordinate ist der Kosinus, seine y-Koordinate der Sinus, und tan θ = sin θ / cos θ.
Was dieser Einheitskreis kann
- Zeigt alle 16 Standardwinkel in Grad und Bogenmaß mit exakten Koordinaten (cos θ, sin θ).
- Ergänzt auf Wunsch tan θ an jedem Winkel; tan 90° und tan 270° sind als nicht definiert markiert.
- Hebt jeden Winkel mit seinem Bezugsdreieck hervor und beschriftet die Katheten cos θ und sin θ.
- Berechnet Sinus, Kosinus und Tangens jedes Winkels in Grad oder Bogenmaß und findet umgekehrt die Winkel zu einem gegebenen Wert.
- Druckt einen leeren Einheitskreis als Arbeitsblatt, die Lösung steht auf Seite zwei.
- Lädt als PNG, SVG oder PDF direkt aus dem Browser herunter, farbig oder schwarz-weiß.
So lesen Sie Sinus und Kosinus am Einheitskreis ab
- 1
Winkel abtragen
Beginnen Sie an der positiven x-Achse und drehen Sie gegen den Uhrzeigersinn: 90° (π/2) liegt oben, 180° (π) links, 270° (3π/2) unten. Negative Winkel drehen im Uhrzeigersinn.
- 2
Koordinaten ablesen
Der Punkt auf dem Kreis ist (cos θ, sin θ). Bei 30° ist er (√3/2, 1/2), also cos 30° = √3/2 und sin 30° = 1/2.
- 3
Für den Tangens teilen
tan θ = sin θ / cos θ, also tan 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = √3/3. Wo cos θ = 0 ist, bei 90° und 270°, ist tan θ nicht definiert.
Einheitskreis-Tabelle mit allen 16 Winkeln
Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Der Punkt, in dem ein Winkel θ ihn trifft, ist (cos θ, sin θ), also steht jede Zeile dieser Tabelle für einen Punkt. x ist der Kosinus, y der Sinus, und tan θ ist y geteilt durch x.
| Grad | Bogenmaß | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | nicht definiert |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | nicht definiert |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
Die 16 Winkel sind die Vielfachen von 30° und 45° von 0° bis 330°. Jeder andere Winkel am Einheitskreis verwendet dieselben Beträge mit den Vorzeichen seines Quadranten.
sec, csc und cot am Einheitskreis
Die drei übrigen Funktionen sind die Kehrwerte der ersten drei: sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ, cot θ = cos θ/sin θ. Im ersten Quadranten gilt:
| Winkel | sec θ | csc θ | cot θ |
|---|---|---|---|
| 0° (0) | 1 | nicht definiert | nicht definiert |
| 30° (π/6) | 2√3/3 | 2 | √3 |
| 45° (π/4) | √2 | √2 | 1 |
| 60° (π/3) | 2 | 2√3/3 | √3/3 |
| 90° (π/2) | nicht definiert | 1 | 0 |
Quadranten und Vorzeichen am Einheitskreis
Der Quadrant legt die Vorzeichen von cos θ und sin θ fest, der Bezugswinkel ihren Betrag.
| Quadrant | Winkel | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ | Positiv (ASTC) |
|---|---|---|---|---|---|
| I | 0° bis 90° (0 bis π/2) | + | + | + | Alle positiv |
| II | 90° bis 180° (π/2 bis π) | − | + | − | Sinus positiv |
| III | 180° bis 270° (π bis 3π/2) | − | − | + | Tangens positiv |
| IV | 270° bis 360° (3π/2 bis 2π) | + | − | − | Kosinus positiv |
Winkel auf einer Achse gehören zu keinem Quadranten. Bei 0°, 90°, 180° und 270° ist eine Koordinate 0 und die andere 1 oder −1.
Tangens am Einheitskreis
Der Tangens ist der einzige Wert, den die Koordinaten nicht direkt zeigen. Am Einheitskreis gilt tan θ = sin θ / cos θ = y / x, und er hat ein eigenes Bild: Verlängern Sie den Radius, bis er die senkrechte Gerade x = 1 schneidet, die den Kreis im Punkt (1, 0) berührt. Die Höhe des Schnittpunkts ist tan θ.
- tan θ ist in den Quadranten I und III positiv, wo x und y dasselbe Vorzeichen haben, und in II und IV negativ.
- Bei 90° und 270° ist der Punkt (0, ±1), also x = 0 und tan θ nicht definiert. Der Radius verläuft parallel zur Geraden x = 1 und schneidet sie nie.
- Die Werte √3/3, 1 und √3 bei 30°, 45° und 60° wiederholen sich in jedem Quadranten mit dessen Vorzeichen. Schalten Sie oben tan ein, um sie in den Einheitskreis zu drucken.
Einheitskreis im Bogenmaß
Das Bogenmaß misst einen Winkel über den Bogen, den er aus dem Einheitskreis schneidet. Eine volle Umdrehung ist ein Bogen der Länge 2π, also 360° = 2π und 180° = π. Zum Umrechnen multiplizieren Sie Grad mit π/180 (150° × π/180 = 5π/6) und Bogenmaß mit 180/π. Die 16 Werte im Bogenmaß bilden nach ihrem Nenner vier Familien, eine kleine Bogenmaß-Tabelle:
| Familie | Bezugswinkel | Bogenmaß | Grad |
|---|---|---|---|
| Nenner 6 | 30° | π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 | 30°, 150°, 210°, 330° |
| Nenner 4 | 45° | π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 | 45°, 135°, 225°, 315° |
| Nenner 3 | 60° | π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3 | 60°, 120°, 240°, 300° |
| Auf den Achsen | 0° oder 90° | 0, π/2, π, 3π/2 | 0°, 90°, 180°, 270° |
Lesen Sie zuerst den Nenner. Er verrät den Bezugswinkel und damit die Werte, der Zähler verrät den Quadranten.
Leerer Einheitskreis zum Ausfüllen
Mit einem leeren Einheitskreis lernt man die Werte am zuverlässigsten: Punkte und Radien sind eingezeichnet, die Beschriftung tragen Sie selbst ein. Der Reiter Leere Vorlage oben druckt drei gängige Fassungen, jeweils mit Lösung auf Seite zwei.
- Grad vorgegeben: Bogenmaß und Koordinaten ergänzen, so wie in der typischen Oberstufenklausur.
- Ganz leer: alle Kästchen für Grad, Bogenmaß und Koordinaten frei, zur Kontrolle aus dem Gedächtnis.
- Mit Tangens: ein zusätzliches Kästchen unter jedem Koordinatenpaar für die Tangenswerte.
Quiz und Rechner zum Einheitskreis
Zwei Möglichkeiten, sich selbst zu prüfen, wenn Ihnen der Einheitskreis vertraut ist.
Quiz zum Einheitskreis
Runden mit zehn Fragen in fünf Modi: einen Punkt auf einem unbeschrifteten Kreis finden, Grad in Bogenmaß umrechnen und zurück, die Koordinaten eines Winkels nennen oder sin, cos bzw. tan angeben. Bei falschen Antworten zeigt der Kreis die richtige.
Rechner zum Einheitskreis
Geben Sie einen beliebigen Winkel in Grad oder Bogenmaß ein, auch negative Winkel und Winkel über 360°, etwa −45°, 7π/3 oder 2.5 rad. Sie erhalten Quadrant, Bezugswinkel, zwei gleichwertige Winkel und alle sechs Winkelfunktionen, exakt, wann immer der Winkel ein Vielfaches von 15° ist.
Wie man sich den Einheitskreis merkt
Niemand lernt den Einheitskreis als 48 einzelne Zahlen. Lernen Sie den ersten Quadranten, den Rest erledigen Symmetrie und Vorzeichen.
- 1
Das 1-2-3-Muster lernen
Für 0°, 30°, 45°, 60°, 90° läuft sin θ als √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, vereinfacht 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. cos θ ist dieselbe Liste rückwärts gelesen.
- 2
Die Handregel nutzen
Halten Sie die linke Hand hoch, die Handfläche zu Ihnen, und ordnen Sie den Fingern vom kleinen Finger bis zum Daumen die Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90° zu. Knicken Sie den Finger Ihres Winkels ein: sin θ = √(Finger auf der Seite des kleinen Fingers)/2 und cos θ = √(Finger auf der Daumenseite)/2. Für 30° knicken Sie den Ringfinger ein. Ein Finger auf der Seite des kleinen Fingers ergibt sin 30° = 1/2, drei auf der Daumenseite ergeben cos 30° = √3/2.
- 3
Mit dem Bezugswinkel spiegeln
Jeder Winkel in den Quadranten II bis IV hat dieselben Beträge wie sein Bezugswinkel, der spitze Winkel zur x-Achse. 150°, 210° und 330° verwenden alle die Werte von 30°.
- 4
Vorzeichen mit ASTC festlegen
Im Quadranten I sind alle drei Funktionen positiv, in II nur der Sinus, in III nur der Tangens, in IV nur der Kosinus. Die Anfangsbuchstaben Alle, Sinus, Tangens, Cosinus ergeben ASTC.
Wofür man den Einheitskreis braucht
Der Einheitskreis erweitert Sinus und Kosinus von den spitzen Winkeln im rechtwinkligen Dreieck auf jeden Winkel, ob positiv, negativ oder größer als 360°.
Werte beliebiger Winkel
Bezugswinkel und Vorzeichen des Quadranten liefern sin, cos und tan von 150°, −45° oder 480° aus den Werten des ersten Quadranten.
Graphen von Sinus und Kosinus
Verfolgt man die y-Koordinate, während θ umläuft, entsteht die Sinuskurve, aus der x-Koordinate die Kosinuskurve, beide mit der Periode 2π.
Trigonometrische Gleichungen lösen
sin θ = 1/2 hat pro Umlauf zwei Lösungen, 30° und 150°, nämlich die beiden Punkte des Kreises in der Höhe 1/2.
Drehungen und Schwingungen in der Physik
Kreisbewegung, Wechselstrom und Zeigerdiagramme beschreiben alle einen Punkt, der auf einem Kreis umläuft, mit cos und sin der Phase als x und y.
Häufige Fragen zum Einheitskreis
Was ist der Einheitskreis?+
Der Einheitskreis ist der Kreis mit Radius 1 um den Ursprung (0, 0). Ein Winkel θ, der an der positiven x-Achse beginnt, schneidet ihn im Punkt (cos θ, sin θ). Deshalb stehen Kosinus und Sinus am Einheitskreis als Koordinaten.
Warum hat der Einheitskreis den Radius 1?+
Im rechtwinkligen Dreieck gilt sin θ = Gegenkathete/Hypotenuse und cos θ = Ankathete/Hypotenuse. Ist die Hypotenuse 1, fallen die Brüche weg. Die Ankathete ist dann cos θ und die Gegenkathete sin θ, also werden beide zu den x- und y-Koordinaten des Punktes.
Wie liest man Sinus und Kosinus am Einheitskreis ab?+
Bestimmen Sie den Bezugswinkel (den spitzen Winkel zur x-Achse), nehmen Sie dessen Werte aus dem ersten Quadranten und geben Sie ihnen die Vorzeichen des Quadranten. 210° hat den Bezugswinkel 30° und liegt im Quadranten III, sein Punkt ist also (−√3/2, −1/2). Der Rechner neben dem Einheitskreis auf dieser Seite erledigt das für jeden Winkel.
Wie bestimmt man den Tangens am Einheitskreis?+
Teilen Sie die y-Koordinate durch die x-Koordinate: tan θ = sin θ / cos θ. Bei 135° ist der Punkt (−√2/2, √2/2), also tan 135° = −1. Wo x = 0 ist, bei 90° und 270°, ist tan θ nicht definiert. Schalten Sie oben im Einheitskreis tan ein, um alle 16 Werte anzuzeigen.
Welche Winkel stehen in der Einheitskreis-Tabelle?+
0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315° und 330°; im Bogenmaß 0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5π/6, π, 7π/6, 5π/4, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 7π/4 und 11π/6.
Wie rechnet man Grad in Bogenmaß um?+
Multiplizieren Sie mit π/180 und kürzen Sie: 225° × π/180 = 5π/4. Für die Rückrichtung multiplizieren Sie das Bogenmaß mit 180/π: 7π/6 × 180/π = 210°. Jede Angabe im Bogenmaß am Einheitskreis oben ist ein solches gekürztes Produkt.
Wie funktionieren negative Winkel am Einheitskreis?+
Ein negativer Winkel wird von der positiven x-Achse aus im Uhrzeigersinn gemessen. −45° endet dort, wo auch 315° endet, beide teilen sich den Punkt (√2/2, −√2/2). Allgemein gilt cos(−θ) = cos θ und sin(−θ) = −sin θ.
Wie zeichnet man einen Einheitskreis?+
Zeichnen Sie die x- und die y-Achse und um ihren Schnittpunkt einen Kreis mit Radius 1. Markieren Sie 0°, 90°, 180° und 270° an den Achsen, dann 30°, 45° und 60° im ersten Quadranten, und spiegeln Sie diese drei in die übrigen Quadranten. Beschriften Sie jeden Punkt mit Winkel und (cos θ, sin θ), oder laden Sie den fertigen Einheitskreis oben als PNG oder SVG herunter.
Quellen
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions — Precalculus 2e, OpenStax
- §4.14 Definitions and Periodicity (trigonometric functions) — NIST Digital Library of Mathematical Functions
Mehr entdecken
Unsere übrigen Diagramm-Werkzeuge und die Anleitungen dazu.
Werkzeuge
Drucken Sie den Einheitskreis, den Sie brauchen
Ganzer Kreis, nur Bogenmaß, erster Quadrant oder eine leere Vorlage mit Lösung, kostenlos im Browser, oder als Poster bzw. illustriertes Diagramm aus dem KI-Generator.
Zurück zum Einheitskreis