Tracer une courbe en cloche (courbe de Gauss) en ligne
Des courbes de la loi normale à partir d’une moyenne et d’un écart-type : les bandes 68-95-99.7, une aire ombrée avec sa probabilité exacte, des scores z, des seuils de percentile ou deux courbes superposées. Pour les cours de statistiques, les examens, la préparation du bac et les articles.
Styles de courbe en cloche
Quatre styles, chacun sur une courbe différente : des tranches de notes A à F aux couleurs d’un manuel, la proportion de femmes mesurant entre 155 et 176 cm hachurée en noir et blanc pour un sujet d’examen, une courbe ajustée sur 40 longueurs d’ailes de drosophile en panneau de revue avec son axe de densité et son tapis de points, et les 10 % de nombres de pas quotidiens les plus élevés sur une diapositive sombre.
Exemples de courbes en cloche
Quatre rendus réels, chacun tracé à partir du prompt de sa carte : des scores de QI avec les intervalles à 68 %, 95 % et 99.7 % de la règle empirique, le poids de naissance des nouveau-nés avec la queue sous 2500 g ombrée à P = 0.0359, les deux zones de rejet de 0.0250 d’un test z à α = 0.05, et les courbes de pression artérielle sous placebo et sous traitement qui partagent 66.82 % de leur aire. Cliquez sur une carte pour charger son prompt.
Qu’est-ce qu’une courbe en cloche ?
Une courbe en cloche est la représentation graphique d’une loi normale : une courbe symétrique, à un seul sommet, centrée sur la moyenne, dont la largeur est fixée par l’écart-type. L’aire sous la courbe entre deux valeurs est la probabilité qu’une valeur tombe entre elles ; ombrer une aire répond donc à une question comme la proportion de scores de QI inférieurs à 85 (15.87 %). La courbe ne touche jamais l’axe ; à un écart-type de part et d’autre de la moyenne, elle est descendue à 61 % de sa hauteur maximale, et c’est exactement là que se trouvent ses points d’inflexion.
À propos de cet outil
- Saisissez les paramètres comme votre cours les écrit : moyenne 100, écart-type 15 ; μ = 0, σ = 1 ; 72 ± 8 ; N(100, 15²). Collez plutôt une liste de valeurs brutes et la courbe est ajustée avec la moyenne d’échantillon x̄ et l’écart-type d’échantillon s (n − 1).
- Les aires ombrées sont calculées à partir de la fonction de répartition de la loi normale avant le tracé et affichées à quatre décimales : P(X < 85) = 0.1587 et P(85 < X < 115) = 0.6827 pour une moyenne de 100 et un écart-type de 15.
- Les seuils en pourcentage sont obtenus à rebours par la fonction de répartition réciproque : les 5 % de QI les plus élevés commencent à 124.67, et le 90e percentile de la loi normale centrée réduite se situe à z = 1.282.
- L’axe des x va de μ − 4σ à μ + 4σ avec une graduation à chaque écart-type (ou à des valeurs rondes quand une borne indiquée tombe entre deux) ; jusqu’à trois courbes peuvent le partager, chacune nommée dans une légende.
- Seule la loi normale est tracée, sans barres : pour des données mesurées surmontées d’une courbe normale, le générateur d’histogrammes répartit l’échantillon en classes sur une échelle de densité.
Les courbes en cloche que vous pouvez générer
Sept figures de loi normale pour lesquelles on vient ici, ce que montre chacune et les mots qui permettent de l’obtenir.
Courbe en cloche de la règle empirique (68-95-99.7)
La courbe découpée en bandes à chaque écart-type : 34.13 % de part et d’autre de la moyenne, 13.59 % entre un et deux écarts-types, 2.14 % entre deux et trois, et 0.13 % dans chaque queue. Écrivez « règle empirique » ou « 68-95-99.7 » et les étiquettes suivent la règle telle qu’on l’enseigne (68 %, 95 % et 99.7 % sur des accolades emboîtées, 34 %, 13.5 %, 2.35 % et 0.15 % dans les bandes) ; écrivez « bandes d’écart-type » pour les aires exactes à deux décimales.
Courbe en cloche avec écarts-types
Une courbe normale dont l’axe est gradué de μ − 3σ à μ + 3σ, la figure derrière toute question sur l’éloignement d’une valeur par rapport à la moyenne. Le QI, de moyenne 100 et d’écart-type 15, donne des graduations à 55, 70, 85, 100, 115, 130 et 145 ; demandez des étiquettes en σ ou des scores z et une seconde ligne apparaît sous les nombres.
Aire ombrée sous la courbe normale
Une région en dessous, au-dessus, entre ou en dehors de valeurs données, avec sa probabilité inscrite dessus. Moyenne 3400 g, écart-type 500 g, ombrée sous 2500 g, affiche P(X < 2500) = 0.0359 ; la taille des femmes, de moyenne 162 cm et d’écart-type 7 cm, ombrée de 155 à 176 cm, affiche 0.8186. Chaque borne reçoit son propre trait vertical jusqu’à la courbe.
Courbe en cloche des scores z
La loi normale centrée réduite, de moyenne 0 et d’écart-type 1, tracée sur un axe z de −4 à 4. Marquez un score z, ombrez l’aire à sa gauche pour une figure de table de la loi normale, ou ombrez les deux zones de rejet d’un test bilatéral : α = 0.05 place les valeurs critiques à ±1.96 avec 0.0250 dans chaque queue, α = 0.01 à ±2.576.
Courbe de notation avec seuils de mention
La distribution des notes d’un examen, chaque tranche de mention ombrée de sa propre couleur avec la proportion d’étudiants qu’elle contient. Moyenne 72 et écart-type 8, avec Très bien au-dessus de 88, Bien de 80 à 88, Assez bien de 64 à 80, Passable de 56 à 64 et Insuffisant en dessous de 56, donnent 2.28 %, 13.59 %, 68.27 %, 13.59 % et 2.28 %. La notation par percentile fonctionne dans l’autre sens : « les 10 % meilleurs obtiennent Très bien » renvoie la note seuil.
Deux lois normales superposées
Traitement contre témoin, ou une méthode contre une autre, sur un axe commun avec une légende. Demandez le recouvrement et l’aire commune est calculée : placebo à 138 mmHg et traitement à 126 mmHg, tous deux d’écart-type 14, se recouvrent à 66.82 % avec un d de Cohen = 0.86. Des courbes d’écarts-types différents se croisent en deux points, et les deux sont localisés.
Courbe normale ajustée sur un échantillon
Collez les mesures brutes et la courbe est tracée à partir de leur moyenne et de leur écart-type d’échantillon, avec n, x̄ et s affichés à côté et, sur demande, un tapis des valeurs. Si vous voulez les données regroupées en classes sous forme de barres sous la courbe, cette figure est un histogramme avec courbe normale superposée.
La règle empirique (68-95-99.7), valeurs exactes
C’est la règle arrondie qu’on retient par cœur ; ce sont les aires exactes qu’une figure doit afficher. Chaque ligne est calculée à partir de Φ, la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, et présentée sur l’échelle du QI pour donner un ordre de grandeur.
| Intervalle | Aire à l’intérieur | Aire à l’extérieur | Échelle du QI (moyenne 100, écart-type 15) |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68.27 % | 31.73 % | 85 à 115 |
| μ ± 1.645σ | 90.00 % | 10.00 % | 75.3 à 124.7 |
| μ ± 1.96σ | 95.00 % | 5.00 % | 70.6 à 129.4 |
| μ ± 2σ | 95.45 % | 4.55 % | 70 à 130 |
| μ ± 2.576σ | 99.00 % | 1.00 % | 61.4 à 138.6 |
| μ ± 3σ | 99.73 % | 0.27 % | 55 à 145 |
95 % d’une loi normale se trouvent à moins de 1.96 écart-type de la moyenne, pas à moins de 2. Deux écarts-types contiennent 95.45 % ; 1.96 est le coefficient d’un intervalle de confiance à 95 % et la valeur critique d’un test bilatéral à α = 0.05.
La formule de la loi normale et le score z
La courbe en cloche est la densité f(x) de la loi normale, et chaque probabilité qu’on y lit est une aire sous f, obtenue en centrant-réduisant avec z = (x − μ)/σ. Un score z compte de combien d’écarts-types une valeur s’éloigne de la moyenne ; une seule table de Φ répond ainsi aux questions posées sur n’importe quelle échelle normale, des points de QI aux grammes.
f(x) = e^(−(x − μ)² / 2σ²) / (σ√(2π)) z = (x − μ) / σ P(X < x) = Φ(z)
En mots
La hauteur diminue avec le carré de la distance à μ ; l’aire à gauche de x vaut Φ(z).
Φ n’a pas d’expression explicite. Le générateur l’évalue en double précision à partir de la fonction d’erreur, Φ(z) = ½[1 + erf(z/√2)], si bien qu’un 0.1587 ou un 0.9750 affiché est juste sur ses quatre décimales, et il utilise la réciproque Φ⁻¹ pour transformer un percentile donné en seuil.
Où l’on utilise la courbe de la loi normale
La courbe en cloche apparaît partout où une mesure est résumée par une moyenne et un écart-type et où le lecteur doit voir ce que signifie cette dispersion.
Intervalles de référence en biologie médicale
Beaucoup d’intervalles de référence correspondent aux 95 % centraux d’une population saine, soit la moyenne ± 1.96 écart-type quand le paramètre dosé suit une loi normale ; une région centrale ombrée montre quels résultats sont signalés comme élevés ou bas.
Notation « sur la courbe »
Des seuils fixés à des distances données en écarts-types ou à des percentiles ; la figure montre à une promotion où se situe chaque seuil de note et quelle proportion d’étudiants chaque tranche contient.
Tests d’hypothèse et intervalles de confiance
Zones de rejet d’un test z, valeur de p comme aire de la queue au-delà du z observé, intervalle à 95 % comme les 95 % centraux : les figures classiques d’un cours d’introduction aux statistiques.
Scores de tests standardisés
Le QI (moyenne 100, écart-type 15) et les notes T (moyenne 50, écart-type 10) sont définis sur une échelle normale, si bien qu’un rang centile se lit directement sur la courbe : un QI de 130 est à deux écarts-types au-dessus, au-delà de 97.72 % des scores.
Vos questions sur la loi normale
Comment tracer une courbe en cloche ?
Donnez une moyenne et un écart-type, dites quelle aire ombrer, et générez. Par exemple : « Scores de QI, moyenne 100, écart-type 15, ombrer au-dessus de 130 et afficher la probabilité. » Les graduations à chaque écart-type, les hauteurs de la courbe et P(X > 130) = 0.0228 sont calculés avant que quoi que ce soit soit dessiné. Dans un tableur, la même figure demanderait une colonne de valeurs de x, LOI.NORMALE.N pour chacune et un graphique en courbes lissées.
Que dit la règle empirique (68-95-99.7) ?
Environ 68 % d’une loi normale se trouvent à moins d’un écart-type de la moyenne, 95 % à moins de deux et 99.7 % à moins de trois. Les aires exactes sont 68.27 %, 95.45 % et 99.73 %. La règle ne vaut que pour des données normales ; pour une distribution quelconque, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne garantit que 75 % à moins de deux écarts-types.
Comment calculer la probabilité d’une aire ombrée sous la courbe en cloche ?
Transformez chaque borne en score z, z = (x − μ)/σ, puis prenez Φ(z) pour l’aire en dessous, 1 − Φ(z) pour l’aire au-dessus, et la différence de deux valeurs de Φ pour l’aire entre les deux. Avec une moyenne de 100 et un écart-type de 15 : P(X < 85) = Φ(−1) = 0.1587, P(X > 115) = 0.1587, P(85 < X < 115) = 0.6827. Cette page est un générateur de figures plutôt qu’un calculateur de loi normale, mais elle fait exactement ce calcul et inscrit le résultat sur la région ombrée.
Qu’est-ce qu’un score z sur une courbe en cloche ?
Le nombre d’écarts-types qui séparent une valeur de la moyenne, z = (x − μ)/σ. Une taille de 176 cm, pour une moyenne de 162 cm et un écart-type de 7 cm, a z = 2.00, et 97.72 % de la distribution se trouvent en dessous. Sur la loi normale centrée réduite, l’axe des x est l’échelle z elle-même, et les valeurs critiques ±1.96 peuvent donc y être marquées directement.
Comment ombrer les 5 % supérieurs ou marquer un percentile ?
Demandez-le en pourcentage et le seuil est trouvé par la fonction de répartition réciproque de la loi normale. Les 5 % de QI les plus élevés commencent à 124.67 (z = 1.645), les 10 % les plus bas s’arrêtent à 80.78 (z = −1.282), et le 90e percentile du nombre de pas quotidiens, pour une moyenne de 8000 et un écart-type de 2000, est 10 563.
Courbe en cloche ou histogramme : que choisir ?
Un histogramme montre des données que vous avez mesurées ; une courbe en cloche montre un modèle, la loi normale de moyenne et d’écart-type donnés. Pour vérifier si un échantillon semble normal, tracez son histogramme avec une courbe normale superposée sur une échelle de densité. Tracez une courbe en cloche seule pour enseigner une loi, marquer des seuils ou montrer une probabilité.
Que doit dire la légende d’une courbe en cloche ?
Nommez la loi, ses paramètres et ce que signifie l’ombrage, par exemple : « Loi normale de moyenne 100 et d’écart-type 15 ; l’aire ombrée, P(X < 85) = 0.1587, est la proportion de scores inférieurs à 85. » Pour une courbe ajustée, donnez n, x̄ et s et précisez que la courbe est un ajustement normal et non les données. Quand μ et σ proviennent d’une population publiée, citez la source.
Peut-on comparer deux courbes normales sur un même graphique ?
Oui : jusqu’à trois courbes partagent un même axe, chacune de sa couleur et nommée une fois dans la légende. Deux courbes de même écart-type se croisent à mi-chemin entre leurs moyennes ; avec des écarts-types différents, elles se croisent deux fois, une fois de chaque côté du sommet de la courbe la plus étroite. Demandez le recouvrement, ou le d de Cohen, et ils sont affichés aussi.
L’IA modifie-t-elle ma moyenne, mon écart-type ou mes probabilités ?
Non. Chaque graduation, la hauteur de la courbe en dix-sept points, le score z de chaque borne et chaque probabilité ombrée sont d’abord calculés à partir de vos paramètres, et le modèle d’image a pour consigne de les placer, pas de les calculer. Une demande générale sans paramètres est tracée comme la loi normale centrée réduite (moyenne 0, écart-type 1) ; les figures de QI et de notes T utilisent les valeurs définies par ces échelles.
Mes données sont-elles assez normales pour une courbe en cloche ?
Une courbe normale convient à une variable à peu près symétrique autour d’un seul sommet ; vérifiez-le d’abord avec un histogramme ou un diagramme quantile-quantile (Q-Q plot) normal. Des mesures asymétriques à droite, comme les temps de réaction, les revenus ou les titres d’anticorps, sont très mal représentées par une courbe normale et se montrent mieux telles quelles, ou après une transformation logarithmique.
Sources
- 1.3.6.6.1. Normal Distribution — NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods
- 6.1 The Standard Normal Distribution — OpenStax, Introductory Statistics 2e
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Outils
Générez une courbe en cloche avec la probabilité déjà calculée
Saisissez une moyenne et un écart-type, nommez l’aire à ombrer, et obtenez une courbe de loi normale prête pour un cours, un examen ou un article.
Tracer une courbe en cloche