Créer un arbre de probabilité (arbre pondéré) en ligne
Un générateur d’arbres pour les maths et les statistiques : arbres pondérés avec chaque branche étiquetée et la probabilité de chaque issue calculée, ainsi qu’arbres de décision et arbres de classification, pour les cours, les fiches d’exercices et les rapports.
Styles d’arbre de probabilité
Chaque style est montré sur un arbre différent : les nombres réels découpés en leurs sous-ensembles, une roue de loterie tournée deux fois, la pluie et les retards, un examen du permis avec repassage. Cliquez sur une carte pour charger le prompt correspondant.
Exemples d’arbres de probabilité
Rendus réels des quatre exemples de départ : deux tirages sans remise dans une urne de 3 boules rouges et 2 bleues, un test de dépistage avec une prévalence de 2 % calculé jusqu’à P(test positif), les huit issues de trois lancers de pièce, et une décision de lancement de produit ramenée à son espérance. Cliquez sur l’un d’eux pour charger son prompt.
Qu’est-ce qu’un arbre de probabilité ?
Un arbre est un schéma ramifié qui énumère toutes les issues d’une suite d’épreuves ; en probabilités, c’est l’arbre pondéré, où chaque branche porte la probabilité d’une issue sachant les branches qui la précèdent, et où le produit le long d’un chemin donne la probabilité de ce chemin. On le lit de gauche à droite : le premier faisceau de branches est la première épreuve (le premier tirage, le premier lancer ou le résultat d’un test), chaque faisceau suivant repart de l’extrémité de chaque branche précédente, et le bout de chaque chemin est une issue de l’expérience complète. Les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à 1, tout comme l’ensemble des issues. Le même dessin sert aussi aux arbres de décision, qui ajoutent des choix et des gains, et aux arbres hiérarchiques, qui montrent seulement ce qui se range sous quoi.
Ce que calcule ce générateur d’arbres
- Les produits sont calculés, pas devinés. Chaque issue est calculée par le code le long de son chemin et écrite sous forme de produit, de fraction non simplifiée et de fraction simplifiée, par exemple 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10.
- Les fractions restent des fractions. Les branches écrites en fractions gardent leur dénominateur, si bien que le 2/4 d’un second tirage n’est pas discrètement transformé en 1/2 ; décimaux et pourcentages sont multipliés comme décimaux et pourcentages.
- Une probabilité contraire manquante est complétée. Quand une branche d’un nœud n’a pas de probabilité, elle reçoit 1 moins les autres (Pas de pluie après Pluie 0.3 devient 0.7). Des branches dont la somme indiquée dépasse 1 ou reste en dessous sont tracées exactement comme écrites, jamais corrigées à votre insu.
- Les événements que vous nommez sont additionnés. Demandez P(exactement une rouge), au moins deux fois face, même couleur ou un résultat unique comme test positif, et les issues correspondantes sont additionnées et écrites sous l’arbre.
- Dimensionné pour rester lisible. Jusqu’à quatre étapes et 48 issues dans un arbre : deux dés (36 issues) tiennent, trois dés (216) non.
Les arbres les plus demandés, et ce qu’il faut pour chacun
La plupart des demandes relèvent de l’un de ces six types. Ils diffèrent par ce qui est écrit sur les branches et au bout des chemins.
Arbre pondéré (arbre de probabilité)
L’arbre à deux ou trois niveaux des probabilités au lycée et dans le supérieur : un faisceau de branches par épreuve, une probabilité sur chaque branche et, à droite, la colonne des issues avec la probabilité de chaque chemin. Donnez les probabilités telles que vous les avez (3/5, 0.6 ou 60%) et nommez les événements à additionner, par exemple P(exactement une rouge).
Arbre de probabilité pour un tirage sans remise
Tirer des jetons, des cartes ou des boules sans les remettre modifie le second faisceau : avec 3 rouges et 2 bleues, Rouge 3/5 est suivi de Rouge 2/4 et Bleue 2/4, et Bleue 2/5 de Rouge 3/4 et Bleue 1/4. Décrivez l’urne et le nombre de tirages, et les fractions suivantes sont calculées par le code. Avec remise, chaque étape reprend simplement la première.
Arbre de probabilités conditionnelles (Bayes)
Les exercices de dépistage et de contrôle qualité : les premières branches séparent selon la condition (sa prévalence), les secondes selon le résultat du test (sensibilité en présence de la condition, taux de faux positifs en son absence). Avec 2 % de prévalence, 90 % de sensibilité et 5 % de faux positifs, P(test positif) = 1.8 % + 4.9 % = 6.7 %, donc seuls 27 % environ des tests positifs correspondent à un malade.
Arbres pour pièces et dés (univers des issues)
Toutes les branches sont équiprobables : 1/2 pour une pièce équilibrée, 1/6 pour un dé. Trois lancers donnent 8 issues de probabilité 1/8 chacune et deux dés 36 issues de 1/36 ; demandez un événement comme au moins deux fois face (4/8 = 1/2) et il est dénombré sur l’arbre, la façon la plus claire de montrer un univers.
Arbre de décision
Des carrés pour les décisions, des cercles pour les événements aléatoires et un gain au bout de chaque branche. Les espérances sont remontées à partir des gains : un lancement qui réussit avec une probabilité de 0.6 pour 500 000 $ et échoue pour −200 000 $ vaut 0.6 × 500 000 + 0.4 × (−200 000) = 220 000 $, il l’emporte donc sur l’option de ne pas lancer, et l’option écartée est barrée d’un double trait.
Arbre hiérarchique et de classification
Pas de probabilités, seulement ce qui se range sous quoi : les nombres réels séparés en rationnels et irrationnels, les rationnels en entiers et en fractions non entières, et ainsi de suite. Tracé de haut en bas dans des cadres, sauf si vous demandez de gauche à droite, avec jusqu’à quatre niveaux sous le cadre du sommet.
Les règles du produit et de la somme derrière chaque arbre
On multiplie le long d’un chemin pour obtenir sa probabilité, puis on additionne les chemins qui composent un événement. La première règle est la formule générale des probabilités composées : chaque branche après le premier niveau est une probabilité conditionnelle, la probabilité de B sachant que A s’est déjà produit. La seconde est la règle d’addition pour des issues incompatibles : deux chemins différents d’un même arbre ne peuvent jamais se réaliser ensemble, leurs probabilités s’additionnent donc simplement (c’est la formule des probabilités totales quand on regroupe les chemins qui mènent à un même événement).
P(A et B) = P(A) × P(B | A) P(événement) = Σ P(chemin)
En mots
probabilité d’un chemin = produit de ses branches ; probabilité d’un événement = somme de ses chemins
La formule de Bayes se lit sur le même arbre : P(A | B) = P(A et B) / P(B), le chemin qui passe par A et B divisé par la somme de tous les chemins qui aboutissent à B. Dans l’exemple du dépistage, cela donne 1.8 % / 6.7 % ≈ 26.9 %.
Tableau des issues : deux boules tirées parmi 3 rouges et 2 bleues
La colonne des issues du premier exemple, présentée sous forme de tableau. Ce sont les nombres que l’arbre écrit au bout de chaque chemin.
| Chemin | Branches multipliées | Probabilité |
|---|---|---|
| Rouge, Rouge | 3/5 × 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| Rouge, Bleue | 3/5 × 2/4 | 6/20 = 3/10 |
| Bleue, Rouge | 2/5 × 3/4 | 6/20 = 3/10 |
| Bleue, Bleue | 2/5 × 1/4 | 2/20 = 1/10 |
| Les quatre chemins | 20/20 = 1 |
P(exactement une rouge) = 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5. Avec remise, les secondes fractions seraient de nouveau 3/5 et 2/5, et P(Rouge, Rouge) vaudrait 9/25 au lieu de 3/10.
Comment construire un arbre de probabilité ?
Lister les étapes et leurs issues
Écrivez les épreuves dans l’ordre (premier tirage, second tirage) et les issues possibles de chacune. Chaque issue d’une étape reçoit sa propre branche au bout de chaque branche de l’étape précédente.
Mettre une probabilité sur chaque branche
Utilisez la probabilité sachant ce qui s’est déjà produit : après avoir tiré une rouge sans la remettre, l’urne contient une rouge de moins. Les branches issues d’un même nœud ont une somme égale à 1, c’est la vérification la plus rapide que rien ne manque.
Multiplier le long des chemins, puis additionner
Au bout de chaque chemin, écrivez le produit de ses branches ; sur l’ensemble de l’arbre, ces produits ont une somme égale à 1. Pour un événement, additionnez les chemins qui lui appartiennent, et eux seuls.
Arbre, tableau à double entrée ou diagramme de Venn
Un arbre montre les épreuves dans l’ordre avec les probabilités conditionnelles sur ses branches ; un tableau à double entrée montre les mêmes probabilités d’intersection dans une grille de cases ; un diagramme de Venn montre les recouvrements entre événements, sans ordre.
| Arbre de probabilité | Tableau à double entrée | Diagramme de Venn | |
|---|---|---|---|
| Ordre des épreuves | Visible, étape par étape | Non visible | Non visible |
| Probabilités conditionnelles | Écrites sur les branches suivantes | Calculées à partir d’un total de ligne ou de colonne | Pas visibles directement |
| Probabilités d’intersection | Au bout de chaque chemin | Dans chaque case | Dans chaque zone |
| Plus de deux étapes | Un faisceau de plus par étape | Malcommode au-delà de deux variables | Malcommode au-delà de trois ensembles |
| Idéal pour | Tirages, lancers et tests successifs | Effectifs d’enquête croisant deux caractères | Questions sur A ou B, A et B |
La plupart des exercices de manuel peuvent se représenter des trois façons. Prenez l’arbre quand la question porte sur une probabilité conditionnelle ou quand les épreuves se succèdent.
Vos questions sur l’arbre de probabilité
Qu’est-ce qu’un arbre en mathématiques et en statistiques ?
C’est un schéma qui énumère chaque issue d’une expérience à plusieurs étapes sous forme de chemin de branches, utilisé pour calculer la probabilité d’événements composés. Chaque faisceau de branches est une étape ; le nombre de chemins est le nombre d’issues (2 × 2 × 2 = 8 pour trois pièces), et le produit des probabilités le long d’un chemin donne la probabilité de cette issue. En dénombrement, on utilise le même arbre sans les probabilités.
Comment faire un arbre pondéré pour un exercice de probabilités ?
Tracez un faisceau de branches par épreuve, étiquetez chaque branche avec son issue et sa probabilité, puis multipliez le long de chaque chemin. Ici, vous pouvez saisir l’énoncé sous forme de phrase (une urne de 3 boules rouges et 2 bleues, deux tirages sans remise) ou les branches sous forme de liste indentée, une par ligne, avec 3/5, 0.6 ou 60% après chaque étiquette ; indentez davantage une ligne pour la rattacher à celle du dessus.
Comment lire les probabilités au bout d’un arbre ?
Chaque nombre au bout d’un chemin est une probabilité d’intersection : la probabilité que tous les événements de ce chemin se produisent, dans cet ordre. P(Rouge, Bleue) = 3/5 × 2/4 = 3/10 signifie rouge d’abord, bleue ensuite. Pour répondre à une question sur un événement, repérez tous les chemins qui y correspondent et additionnez leurs valeurs finales ; l’ensemble des valeurs finales a une somme égale à 1.
Qu’est-ce qui change dans l’arbre pour un tirage sans remise ?
Sans remise, le second faisceau dépend de ce qui reste après le premier tirage, si bien que ses fractions diffèrent d’une branche à l’autre. Avec 3 rouges et 2 bleues, les branches qui suivent une rouge sont Rouge 2/4 et Bleue 2/4, et après une bleue, Rouge 3/4 et Bleue 1/4. Avec remise, chaque faisceau reprend 3/5 et 2/5, et les tirages sont indépendants.
Pourquoi les branches issues d’un nœud doivent-elles avoir une somme égale à 1 ?
Parce que les branches qui partent d’un nœud représentent tous les résultats possibles de cette étape, et qu’un seul d’entre eux se produit. Si les branches après Pluie indiquent En retard 0.4 et À l’heure 0.5, il manque un résultat ou un nombre est faux. Cet outil complète une branche manquante unique par la probabilité contraire et trace tout faisceau dont la somme n’est pas 1 exactement comme vous l’avez écrit, sans le corriger.
Comment calculer une probabilité conditionnelle à partir d’un arbre ?
Divisez le chemin cherché par le total de tous les chemins qui vérifient la condition donnée. Pour le test de dépistage, P(malade | test positif) = P(malade et positif) / P(test positif) = 1.8 % / (1.8 % + 4.9 %) ≈ 26.9 %. C’est la formule de Bayes lue sur l’arbre, et c’est pourquoi un test positif pour une maladie rare est souvent une fausse alerte.
Faut-il simplifier les fractions sur un arbre ?
Les branches restent en général telles qu’elles sont données, et les valeurs finales sont souvent montrées à la fois non simplifiées et simplifiées. Garder 6/20 à côté de 3/10 fait apparaître le dénominateur commun, et l’on voit que les quatre issues totalisent 20/20. Décimaux et pourcentages conviennent aussi ; ne les mélangez que si votre cours le fait, car un arbre écrit d’une seule façon se vérifie plus facilement.
Un arbre de probabilité, est-ce la même chose qu’un arbre généalogique, un arbre phylogénétique, un cladogramme ou une clé de détermination ?
Non : ce sont quatre figures différentes, avec leurs propres conventions, et chacune a son outil ici. Un arbre familial de caractères héréditaires est un arbre généalogique génétique, un arbre évolutif avec des longueurs de branches est un arbre phylogénétique, un arbre construit sur des caractères dérivés partagés est un cladogramme, et un guide d’identification fait de choix successifs à deux options est une clé de détermination. En mathématiques, un arbre traite d’issues et de leurs probabilités.
L’IA va-t-elle modifier les probabilités que je donne ?
Non. Chaque valeur de branche, chaque produit, chaque somme et chaque espérance sont calculés par le code avant que l’image soit dessinée, et le modèle reçoit chacun d’eux mot pour mot. On ne lui demande jamais de multiplier 3/5 par 2/4. Si vos branches n’ont pas une somme égale à 1, l’arbre est tracé tel que vous l’avez écrit au lieu d’être discrètement corrigé ; vérifiez donc les nombres que vous saisissez.
Comment légender un arbre dans un rapport ou un article ?
Indiquez ce que sont les étapes, si les tirages se font avec ou sans remise, et quels nombres sont conditionnels. Par exemple : Figure 1. Arbre de probabilité de deux tirages sans remise dans une urne contenant 3 boules rouges et 2 bleues. Les valeurs sur les branches sont des probabilités conditionnelles ; les valeurs au bout des chemins sont des probabilités d’intersection. Pour un arbre de décision, précisez aussi l’unité des gains et la façon dont les espérances ont été remontées.
Un arbre de décision dessiné par une IA peut-il figurer dans un article de revue ?
Souvent oui, car c’est une image explicative et non une représentation de vos données, mais c’est la revue qui décide. La politique d’Elsevier sur l’IA générative pour ses revues cite les arbres de décision parmi les images explicatives que les outils d’IA peuvent aider à créer, alors que les images de données de recherche primaires ne peuvent pas être générées. Vérifiez la politique de votre revue et indiquez dans les méthodes ou la légende comment la figure a été réalisée.
Combien d’issues un arbre peut-il contenir ?
Jusqu’à quatre étapes et 48 issues ici, ce qui couvre deux dés (36 issues) et quatre lancers de pièce (16). Au-delà, un arbre n’est plus lisible sur une page : utilisez le principe multiplicatif de dénombrement ou un tableau, ou ne tracez que les branches dont la question a besoin (par exemple les seuls chemins comportant au moins un six).
Sources
- 3.5 Tree and Venn Diagrams — OpenStax Introductory Statistics 2e
- Introduction to Probability (Grinstead and Snell), tree diagrams and conditional probability — Dartmouth College
- Generative AI policies for journals — Elsevier
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