正規分布曲線メーカー（ベルカーブ作成ツール）
平均と SD から正規分布曲線を描きます。68-95-99.7 則の区間、正確な確率付きの塗りつぶし、z 値、パーセンタイルの境界、2 本の曲線の重ね描きに対応し、統計の授業、試験問題、論文の図に使えます。
正規分布曲線のスタイル
4 つのスタイルを、それぞれ別の正規分布曲線で描きました。教科書風の配色で A〜F の成績区分を示した試験の分布、試験問題向けに白黒の斜線で示した身長 155〜176 cm の女性の割合、密度の軸とラグを付けて論文の図として描いた、ショウジョウバエ 40 匹の翅の長さに当てはめた曲線、ダークスライドに描いた 1 日の歩数の上位 10%。
正規分布曲線の例
カードのプロンプトから実際に生成した 4 枚です。68-95-99.7 則の 68%、95%、99.7% の区間を付けた IQ、2500 g 未満の裾を P = 0.0359 で塗りつぶした新生児の出生体重、α = 0.05 の z 検定の 0.0250 ずつの 2 つの棄却域、面積の 66.82% が重なるプラセボ群と投薬群の血圧の曲線。カードをクリックするとプロンプトを読み込みます。
正規分布曲線（ベルカーブ）とは？
正規分布曲線は正規分布のグラフで、平均を中心とした左右対称の山が 1 つの曲線です。幅は標準偏差で決まります。 2 つの値の間で曲線の下にある面積が、値がその間に入る確率になるので、面積を塗りつぶせば「IQ が 85 未満の人の割合は？」（15.87%）のような問いに答えられます。曲線は横軸に接することがありません。平均から標準偏差 1 つ分離れたところで高さは頂点の 61% まで下がり、ちょうどそこが上に凸から下に凸へ変わる変曲点です。
この正規分布曲線メーカーについて
- パラメータは授業での書き方そのままで入力できます。平均 100、SD 15。μ = 0, σ = 1。72 ± 8。N(100, 15²)。生の値のリストを貼り付けると、標本平均 x̄ と標本標準偏差 s（n − 1 で割る）で曲線を当てはめます。
- 塗りつぶした面積は描く前に正規分布の累積分布関数から計算し、小数第 4 位まで記します。平均 100、SD 15 なら P(X < 85) = 0.1587、P(85 < X < 115) = 0.6827 です。
- パーセントで指定した境界は、累積分布関数の逆関数でさかのぼって求めます。IQ の上位 5% は 124.67 から始まり、標準正規分布の 90 パーセンタイルは z = 1.282 です。
- 横軸は μ − 4σ から μ + 4σ までで、標準偏差ごとに目盛りを置きます（指定した境界がその間に来るときは、きりのよい数に置きます）。最大 3 本の曲線が軸を共有でき、それぞれ凡例に名前が載ります。
- 描くのは正規分布だけで、棒は描きません。測定データに正規曲線を重ねたい場合は、ヒストグラム作成ツールが標本を密度スケールで階級分けします。
作成できる正規分布のグラフ
よく求められる 7 種類の正規分布の図と、それぞれが示すもの、ツールに描かせるための書き方です。
68-95-99.7 則の正規分布曲線
曲線を標準偏差ごとに帯に区切ります。平均の両側に 34.13% ずつ、1〜2 SD に 13.59%、2〜3 SD に 2.14%、両方の裾に 0.13% ずつです。「68-95-99.7 則」や「経験則」と書くと、授業で教わるとおりのラベル（入れ子の区間に 68%、95%、99.7%、帯に 34%、13.5%、2.35%、0.15%）になり、「標準偏差の帯」と書くと小数第 2 位までの正確な面積になります。
標準偏差の目盛り付きの正規分布曲線
軸に μ − 3σ から μ + 3σ までの目盛りを付けた正規曲線で、値が平均からどれだけ離れているかを問う問題の土台になる図です。 平均 100、SD 15 の IQ なら目盛りは 55、70、85、100、115、130、145 です。σ のラベルや z 値を指定すると、数値の下にもう 1 段のラベルが加わります。
正規分布曲線の下の面積の塗りつぶし
指定した値より下、上、間、外側の 1 つの領域を塗り、その確率を書き込みます。 平均 3400 g、SD 500 g で 2500 g 未満を塗ると P(X < 2500) = 0.0359、平均 162 cm、SD 7 cm の女性の身長で 155〜176 cm を塗ると 0.8186 と記します。境界ごとに、曲線まで届く縦線を 1 本ずつ引きます。
z 値の正規分布曲線
平均 0、SD 1 の標準正規分布曲線を、−4 から 4 までの z の軸に描きます。 z 値に印を付ける、標準正規分布表の図のように左側の面積を塗る、両側検定の 2 つの棄却域を塗る、のいずれもできます。α = 0.05 なら臨界値は ±1.96 で両方の裾に 0.0250 ずつ、α = 0.01 なら ±2.576 です。
成績の境界を入れた相対評価の分布
試験の点数の分布で、成績の区分ごとに塗り分け、その区分に入る学生の割合を書き込みます。 平均 72、SD 8 で A が 88 超、B が 80〜88、C が 64〜80、D が 56〜64、F が 56 未満なら、2.28%、13.59%、68.27%、13.59%、2.28% になります。パーセンタイルで成績をつける場合は逆向きで、「上位 10% を A」と書けば境界の点数を返します。
2 つの正規分布の重ね描き
処置群と対照群、またはある方法と別の方法を、凡例付きの共通の軸の上で比べます。 重なりを指定すると共通部分の面積を計算します。どちらも SD 14 で、プラセボ群 138 mmHg と投薬群 126 mmHg なら重なりは 66.82%、Cohen の d = 0.86 です。SD の違う曲線は 2 点で交わり、その両方の位置を求めます。
標本に当てはめた正規曲線
生の測定値を貼り付けると、その平均と標本標準偏差から曲線を描き、横に n、x̄、s を記します。指定すれば値のラグも付けます。 階級分けしたデータを曲線の下に棒で描きたい場合は、正規曲線を重ねたヒストグラムになります。
68-95-99.7 則の正確な値
覚えるのは丸めた則ですが、図に書くべきなのは正確な面積です。どの行も標準正規分布の累積分布関数 Φ から計算し、目安として IQ の尺度での範囲も載せました。
| 区間 | 内側の面積 | 外側の面積 | IQ の尺度（平均 100、SD 15） |
|---|---|---|---|
| μ ± 1σ | 68.27% | 31.73% | 85〜115 |
| μ ± 1.645σ | 90.00% | 10.00% | 75.3〜124.7 |
| μ ± 1.96σ | 95.00% | 5.00% | 70.6〜129.4 |
| μ ± 2σ | 95.45% | 4.55% | 70〜130 |
| μ ± 2.576σ | 99.00% | 1.00% | 61.4〜138.6 |
| μ ± 3σ | 99.73% | 0.27% | 55〜145 |
正規分布の 95% が入るのは平均から標準偏差 1.96 個分の範囲で、2 個分ではありません。 2 SD の範囲に入るのは 95.45% です。1.96 は 95% 信頼区間の係数であり、α = 0.05 の両側検定の臨界値でもあります。
正規分布の確率密度関数と z 値
正規分布曲線は確率密度関数 f(x) のグラフで、そこから読み取る確率はすべて f の下の面積です。面積は z = (x − μ)/σ で標準化して求めます。 z 値は値が平均から標準偏差いくつ分離れているかを表すので、Φ の表 1 つで、IQ の点数からグラムまで、どの正規分布の尺度の問いにも答えられます。
f(x) = e^(−(x − μ)² / 2σ²) / (σ√(2π)) z = (x − μ) / σ P(X < x) = Φ(z)
言葉で説明すると
曲線の高さは μ からの距離の二乗に応じて下がり、x より左の面積が Φ(z) です。
Φ は初等関数で表せません。このツールは誤差関数から倍精度で計算するので（Φ(z) = ½[1 + erf(z/√2)]）、記される 0.1587 や 0.9750 は小数第 4 位まで正確です。指定したパーセンタイルを境界の値に変えるときは、逆関数 Φ⁻¹ を計算します。
正規分布曲線が使われる場面
測定値を平均と標準偏差で要約し、そのばらつきが何を意味するのかを読み手に見せる必要がある場面には、必ず正規分布曲線が登場します。
臨床検査の基準範囲
多くの基準範囲は健常者集団の中央 95% で、検査値が正規分布に従うなら平均 ± 1.96 SD です。中央の領域を塗りつぶすと、どの結果が高値・低値として判定されるかがわかります。
相対評価
境界を標準偏差の決まった距離やパーセンタイルで定めます。図を見せれば、クラスの学生に成績の境界がどこにあり、各区分に何割が入るかが伝わります。
仮説検定と信頼区間
z 検定の棄却域、観測した z より外側の裾の面積としての p 値、中央 95% としての 95% 区間。統計学の入門講義で定番の図です。
標準化された得点
IQ（平均 100、SD 15）や偏差値（T スコア、平均 50、SD 10）は正規分布の尺度で定義されているので、パーセンタイル順位は曲線からそのまま読めます。IQ 130 は 2 SD 上で、全体の 97.72% より上です。
正規分布についてのよくある質問
正規分布曲線はどうやって作る？
平均と標準偏差を指定し、塗りつぶす範囲を書いて生成します。 例：「IQ、平均 100、SD 15、130 より上を塗りつぶして確率を表示」。標準偏差ごとの目盛り、曲線の高さ、P(X > 130) = 0.0228 は、描く前にすべて計算されます。表計算ソフトで同じ図を作るなら、x の値の列を作り、それぞれに NORM.DIST を使い、平滑線のグラフにすることになります。
68-95-99.7 則（経験則）とは？
正規分布では、平均から標準偏差 1 つ分以内に約 68%、2 つ分以内に 95%、3 つ分以内に 99.7% が入るという法則です。 正確な面積は 68.27%、95.45%、99.73% です。この則が成り立つのは正規分布のデータだけです。どんな分布にも当てはまるチェビシェフの不等式が保証するのは、2 標準偏差以内に 75% ということだけです。
正規分布曲線の塗りつぶした部分の確率はどう求める？
各境界を z = (x − μ)/σ で z 値に直し、下側の面積は Φ(z)、上側は 1 − Φ(z)、間は 2 つの Φ の差で求めます。 平均 100、SD 15 なら、P(X < 85) = Φ(−1) = 0.1587、P(X > 115) = 0.1587、P(85 < X < 115) = 0.6827 です。このページは正規分布の計算機ではなく図を作るツールですが、まさにこの計算を行い、結果を塗りつぶした領域に書き込みます。
正規分布曲線での z 値とは？
値が平均から標準偏差いくつ分離れているかを表す数で、z = (x − μ)/σ です。 平均 162 cm、SD 7 cm のとき身長 176 cm は z = 2.00 で、分布の 97.72% がそれより下にあります。標準正規分布曲線では横軸そのものが z の尺度なので、臨界値 ±1.96 をそのまま書き込めます。
上位 5% を塗る、パーセンタイルに印を付けるには？
パーセントで指定すれば、正規分布の累積分布関数の逆関数で境界を求めます。 IQ の上位 5% は 124.67（z = 1.645）から始まり、下位 10% は 80.78（z = −1.282）で終わり、平均 8000、SD 2000 の 1 日の歩数の 90 パーセンタイルは 10,563 です。
正規分布曲線とヒストグラム、どちらを使うべき？
ヒストグラムは測定したデータを、正規分布曲線は平均と SD を指定した正規分布というモデルを示します。 標本が正規分布に見えるかを確かめるなら、密度スケールのヒストグラムに正規曲線を重ねて描きます。分布を教える、境界に印を付ける、確率を示すといった目的なら、正規分布曲線だけを描きます。
正規分布曲線の図の説明文には何を書く？
分布の名前、そのパラメータ、塗りつぶしの意味を書きます。 例：「平均 100、SD 15 の正規分布。塗りつぶした面積 P(X < 85) = 0.1587 は、85 未満の得点の割合を表す。」当てはめた曲線なら n、x̄、s を示し、曲線がデータそのものではなく正規分布の当てはめであることを書きます。μ と σ が公表された集団の値なら、その出典を示してください。
2 本の正規分布曲線を 1 つのグラフで比べられる？
できます。最大 3 本の曲線が 1 つの軸を共有し、それぞれ別の色で、凡例に 1 回ずつ名前が載ります。 SD が等しい 2 本の曲線が交わる点は、2 つの平均のちょうど中間です。SD が違うと 2 回交わり、狭い方の曲線の頂点の両側に 1 点ずつ来ます。重なりや Cohen の d を指定すれば、それも書き込みます。
AI が平均、SD、確率を変えることはない？
ありません。すべての目盛り、17 点での曲線の高さ、各境界の z 値、塗りつぶした確率は、まず入力したパラメータから計算し、画像モデルにはそれを計算させず配置するよう指示しています。 パラメータのない一般的な依頼は標準正規分布（平均 0、SD 1）で描き、IQ や偏差値の図はそれぞれの尺度で定義された値を使います。
自分のデータは正規分布曲線で描けるほど正規分布に近い？
正規曲線が合うのは、1 つの山のまわりにほぼ左右対称に分布する変数です。まずヒストグラムか正規 Q-Q プロットで確かめてください。 反応時間、所得、抗体価のような右に歪んだ測定値は、正規曲線で描くと実態を大きく見誤らせます。そのままの形で示すか、対数変換してから示す方が適切です。
出典
- 1.3.6.6.1. Normal Distribution — NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods
- 6.1 The Standard Normal Distribution — OpenStax, Introductory Statistics 2e
