單位圓與三角函數表
一張圖看完單位圓與三角函數表：16 個特殊角同時標出度度量和弧度量，並附上 (cos, sin) 坐標和 tan 值。可以用計算器查任意角、列印空白單位圓，也能用小測驗練習。適合高中數學三角函數單元，以及學測、分科測驗的複習。
單位圓圖免費下載，不必登入，直接在瀏覽器裡繪製。
單位圓圖的幾種風格
AI 單位圓產生器能畫出的四種外觀，每種對應一張不同的圖。數值和免費圖表出自同一張精確的表，改變的只有筆跡、顏色和背景。點一下卡片就能載入它的提示詞。
單位圓圖範例
四個單位圓圖範例，都是依卡片上的提示詞實際產生的：完整單位圓、附 tan 值的坐標圖、附特殊直角三角形的速查表，以及填空練習單。點一下卡片就能載入上方的產生器。
放在作業旁隨時對照的基本表。
學到正切之後用這一版。
一頁收齊整個三角函數單元。
先憑記憶填，再對答案。
什麼是單位圓？
單位圓是以原點為圓心、半徑為 1 的圓，角 θ 的終邊與它的交點就是 (cos θ, sin θ)。 角從 x 軸正向開始以逆時針方向度量，所以每個角都落在圓上唯一的一點：這個點的 x 坐標是餘弦，y 坐標是正弦，而 tan θ = sin θ / cos θ。
關於這張單位圓圖表
- 列出全部 16 個標準角的度度量與弧度量，並給出精確的 (cos θ, sin θ) 坐標。
- 可依需要在每個角加上 tan θ，並標明 tan 90° 和 tan 270° 無定義。
- 可強調任意一個角，畫出它的參考三角形，並標出 cos θ 和 sin θ 兩股。
- 輸入度數或弧度即可算出任意角的三角函數值，也能由已知的正弦、餘弦或正切值反求角度。
- 可列印空白單位圓練習單，第二頁附解答。
- 可在瀏覽器直接下載 PNG、SVG 或 PDF，彩色和黑白皆可。
單位圓怎麼用
- 1
找到角的位置
從 x 軸正向出發，以逆時針方向轉：90°（π/2）在正上方，180°（π）在左邊，270°（3π/2）在正下方。負角以順時針方向轉。
- 2
讀出坐標
圓上的點是 (cos θ, sin θ)。30° 對應的點是 (√3/2, 1/2)，所以 cos 30° = √3/2，sin 30° = 1/2。
- 3
相除得到正切
tan θ = sin θ / cos θ，所以 tan 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = √3/3。在 cos θ = 0 的 90° 和 270°，tan θ 無定義。
16 個特殊角的三角函數表
單位圓是以原點為圓心、半徑為 1 的圓。角 θ 的終邊與它交於點 (cos θ, sin θ)，所以這張三角函數表的每一列就是單位圓上的一個點：x 是餘弦，y 是正弦，tan θ 等於 y 除以 x。
| 度數 | 弧度 | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | 無定義 |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | 無定義 |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
這 16 個角是 0° 到 330° 之間 30° 和 45° 的整數倍。單位圓上其他特殊角都沿用這些值，只要換上所在象限的正負號。
單位圓上的 sec、csc 和 cot
另外三個函數分別是前三個的倒數：sec θ = 1/cos θ，csc θ = 1/sin θ，cot θ = cos θ/sin θ。它們在第一象限的值如下：
| 角 | sec θ | csc θ | cot θ |
|---|---|---|---|
| 0° (0) | 1 | 無定義 | 無定義 |
| 30° (π/6) | 2√3/3 | 2 | √3 |
| 45° (π/4) | √2 | √2 | 1 |
| 60° (π/3) | 2 | 2√3/3 | √3/3 |
| 90° (π/2) | 無定義 | 1 | 0 |
單位圓的象限與正負號
象限決定 cos θ 和 sin θ 的正負，參考角決定它們的大小。
| 象限 | 角的範圍 | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ | 口訣 |
|---|---|---|---|---|---|
| I | 0° 到 90°（0 到 π/2） | + | + | + | 一全 |
| II | 90° 到 180°（π/2 到 π） | − | + | − | 二正（sin） |
| III | 180° 到 270°（π 到 3π/2） | − | − | + | 三切（tan） |
| IV | 270° 到 360°（3π/2 到 2π） | + | − | − | 四餘（cos） |
象限角不屬於任何象限： 在 0°、90°、180° 和 270°，一個坐標是 0，另一個是 1 或 −1。
標有正切值的單位圓
正切是坐標裡唯一不能直接讀出的值。在單位圓上 tan θ = sin θ / cos θ = y / x，它也有自己的幾何意義：把終邊延長，與在 (1, 0) 和圓相切的鉛直線 x = 1 相交，交點的高度就是 tan θ。
- 在 x 與 y 同號的第一、第三象限，tan θ 為正；在第二、第四象限為負。
- 在 90° 和 270°，點是 (0, ±1)，x = 0，tan θ 無定義：這時終邊與直線 x = 1 平行，永遠不會相交。
- 第一象限 30°、45°、60° 的正切值 √3/3、1、√3 會在每個象限重複出現，只是正負號跟著象限改變。在上方圖表打開 tan，就能把它們印在單位圓圖上。
用弧度看單位圓
弧度量是用角在單位圓上截出的弧長來度量角：轉一整圈的弧長是 2π，所以 360° = 2π，180° = π。度數換弧度要乘以 π/180（150° × π/180 = 5π/6），弧度換度數要乘以 180/π。單位圓圖上的 16 個弧度依分母可分成四組：
| 分組 | 參考角 | 弧度 | 度數 |
|---|---|---|---|
| 分母為 6 | 30° | π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 | 30°, 150°, 210°, 330° |
| 分母為 4 | 45° | π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 | 45°, 135°, 225°, 315° |
| 分母為 3 | 60° | π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3 | 60°, 120°, 240°, 300° |
| 象限角 | 0° 或 90° | 0, π/2, π, 3π/2 | 0°, 90°, 180°, 270° |
先看分母，它告訴你參考角，也就決定了數值的大小；再看分子，它告訴你角落在哪個象限。
可以填寫的空白單位圓
在空白單位圓上默寫，是記住這張圖的標準做法：點和終邊都畫好了，標示留給你自己填。上方的「空白練習單」分頁可以列印三種常用版本，每份第二頁都附解答。
- 已給度數，填寫弧度和坐標，是段考最常見的題型。
- 全部留白，度數、弧度和坐標都要自己填，用來檢查記憶。
- 加上 tan，每組坐標下方多一個填正切值的空格。
單位圓小測驗和計算器
熟悉單位圓圖之後，有兩種方式可以自我檢測。
單位圓小測驗
每回合十題，共五種模式：在沒有標示的圓上找點、度與弧度互換、說出某個角的坐標，或寫出它的 sin、cos、tan 值。答錯時會在圖上標出正確答案。
單位圓計算器
輸入任意度數或弧度，包括負角和超過 360° 的角，例如 −45°、7π/3、2.5 rad。它會給出所在象限、參考角、兩個同界角，以及全部六個三角函數值，只要是 15° 的整數倍都給出精確值。
單位圓怎麼背
沒有人會把單位圓圖當成 48 個零散的數字硬背。記住第一象限，其餘交給對稱性和正負號就好。
- 1
記住 0、1、2、3、4 的規律
0°、30°、45°、60°、90° 的 sin θ 依序是 √0/2、√1/2、√2/2、√3/2、√4/2，化簡後是 0、1/2、√2/2、√3/2、1。cos θ 就是把這一列倒過來讀。
- 2
用手指記
舉起左手，掌心朝向自己，從小指到拇指依序對應 0°、30°、45°、60°、90°。彎下所求角度對應的手指，sin θ = √(小指那一側剩下的手指數)/2，cos θ = √(拇指那一側剩下的手指數)/2。求 30° 就彎無名指：小指那側有 1 根，所以 sin 30° = 1/2；拇指那側有 3 根，所以 cos 30° = √3/2。
- 3
用參考角對稱過去
第二到第四象限的每個角，三角函數值的大小都和它的參考角（終邊與 x 軸所夾的銳角）相同：150°、210° 和 330° 都用 30° 的值。
- 4
用「一全二正三切四餘」定正負
第一象限三個函數全為正，第二象限只有正弦（sin）為正，第三象限只有正切（tan）為正，第四象限只有餘弦（cos）為正。
單位圓有什麼用
單位圓把正弦和餘弦從直角三角形裡的銳角推廣到任意角，不論是正角、負角還是大於 360° 的角。
求任意角的三角函數值
利用參考角和象限的正負號，150°、−45° 或 480° 的 sin、cos、tan 都能由第一象限的值求出。
正弦與餘弦的圖形
θ 轉一圈時追蹤 y 坐標就得到正弦波，追蹤 x 坐標就得到餘弦波，兩者都以 2π 為週期。
解三角方程式
sin θ = 1/2 在一圈內有 30° 和 150° 兩個解，也就是圓上高度為 1/2 的兩個點。
物理中的旋轉與波動
等速圓周運動、交流電和相量描述的都是在圓上轉動的點，它的 x、y 坐標就是相位的餘弦和正弦。
單位圓與三角函數表常見問題
什麼是單位圓？+
單位圓是以原點 (0, 0) 為圓心、半徑為 1 的圓。從 x 軸正向出發的角 θ，其終邊與單位圓交於點 (cos θ, sin θ)，所以單位圓圖把餘弦和正弦寫成坐標。
單位圓的半徑為什麼是 1？+
在直角三角形中，sin θ = 對邊/斜邊，cos θ = 鄰邊/斜邊。斜邊取 1 時分母就消失了：鄰邊就是 cos θ，對邊就是 sin θ，它們正好成為圓上那個點的 x、y 坐標。
單位圓上某個角的坐標怎麼求？+
先找出它的參考角（終邊與 x 軸所夾的銳角），取這個角在第一象限的值，再依所在象限加上正負號。210° 的參考角是 30°，位於第三象限，所以對應的點是 (−√3/2, −1/2)。本頁單位圓圖旁的計算器可以替任意角完成這一步。
單位圓上的 tan 怎麼求？+
用 y 坐標除以 x 坐標：tan θ = sin θ / cos θ。135° 對應的點是 (−√2/2, √2/2)，所以 tan 135° = −1。在 x = 0 的 90° 和 270°，tan θ 無定義。在上方單位圓圖打開 tan，就能印出全部 16 個值。
三角函數表上有哪 16 個角？+
0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、150°、180°、210°、225°、240°、270°、300°、315° 和 330°；換成弧度是 0、π/6、π/4、π/3、π/2、2π/3、3π/4、5π/6、π、7π/6、5π/4、4π/3、3π/2、5π/3、7π/4 和 11π/6。
度數和弧度怎麼換算？+
度數乘以 π/180 再約分：225° × π/180 = 5π/4。反過來，弧度乘以 180/π：7π/6 × 180/π = 210°。上方單位圓圖上的每個弧度標示，都是這樣相乘再約分的結果。
負角在單位圓上怎麼看？+
負角從 x 軸正向出發以順時針方向度量。−45° 的終邊和 315° 重合，兩者是同界角，對應同一個點 (√2/2, −√2/2)。一般來說，cos(−θ) = cos θ，sin(−θ) = −sin θ。
單位圓怎麼畫？+
畫出 x 軸和 y 軸，以交點為圓心畫半徑為 1 的圓。在圓與坐標軸的交點標出 0°、90°、180° 和 270°，再在第一象限標出 30°、45° 和 60°，然後把這三個角對稱到其他象限。替每個點標上角度和 (cos θ, sin θ)；也可以直接把上方畫好的單位圓圖下載成 PNG 或 SVG。
參考資料
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions — Precalculus 2e，OpenStax
- §4.14 Definitions and Periodicity (trigonometric functions) — 美國國家標準與技術研究院（NIST）數學函數數位圖書館
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