Cercle trigonométrique complet
Un cercle trigonométrique complet pour le lycée, avec les 16 angles en degrés et en radians, leurs coordonnées (cos, sin) et leurs tangentes. Vérifiez n’importe quel angle avec la calculatrice, imprimez un cercle trigonométrique vierge ou entraînez-vous avec le quiz.
Cercle trigonométrique gratuit à télécharger, sans inscription. Dessiné dans votre navigateur.
Styles de cercle trigonométrique
Quatre rendus que le générateur IA de cercle trigonométrique sait dessiner, chacun sur un cercle différent. Les valeurs viennent du même tableau exact que le cercle gratuit ; seuls le trait, la couleur et le fond changent. Cliquez sur une carte pour charger son prompt.
Exemples de cercle trigonométrique
Quatre exemples de cercle trigonométrique, chacun un vrai rendu du prompt de sa carte : le cercle complet, les coordonnées avec les tangentes, une fiche avec les triangles remarquables et un cercle à compléter. Cliquez sur une carte pour la charger dans le générateur ci-dessus.
Le cercle de référence à garder près des devoirs.
Dès que le cours aborde la tangente.
Tout un contrôle de trigo sur une page.
Complétez de mémoire, puis vérifiez.
Qu’est-ce que le cercle trigonométrique ?
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l’origine, et le point où le côté d’un angle θ le coupe a pour coordonnées (cos θ, sin θ). Les angles se mesurent à partir de l’axe des abscisses positif dans le sens direct, donc chaque angle correspond à un point : son abscisse est le cosinus, son ordonnée le sinus, et tan θ = sin θ / cos θ. En langage plus formel on parle aussi de cercle unité.
Ce que fait ce cercle trigonométrique
- Affiche les 16 angles usuels en degrés et en radians avec les coordonnées exactes (cos θ, sin θ).
- Ajoute tan θ à chaque angle si vous le souhaitez, tan 90° et tan 270° étant marquées non définies.
- Met en évidence n’importe quel angle avec son triangle de référence et les côtés cos θ et sin θ annotés.
- Calcule les valeurs de n’importe quel angle en degrés ou en radians, et retrouve les angles correspondant à un sinus, un cosinus ou une tangente donnés.
- Imprime un cercle trigonométrique vierge avec son corrigé en page deux.
- Se télécharge en PNG, SVG ou PDF depuis le navigateur, en couleur ou en noir et blanc.
Comment lire le cercle trigonométrique
- 1
Placer l’angle
Partez de l’axe des abscisses positif et tournez dans le sens direct : 90° (π/2) est en haut, 180° (π) à gauche, 270° (3π/2) en bas. Les angles négatifs tournent dans le sens des aiguilles d’une montre.
- 2
Lire les coordonnées
Le point du cercle a pour coordonnées (cos θ, sin θ). À 30° c’est (√3/2, 1/2), donc cos 30° = √3/2 et sin 30° = 1/2.
- 3
Diviser pour la tangente
tan θ = sin θ / cos θ, donc tan 30° = (1/2) ÷ (√3/2) = √3/3. Là où cos θ = 0, à 90° et 270°, tan θ n’est pas définie.
Tableau des valeurs remarquables du cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l’origine. Le point associé à un angle θ a pour coordonnées (cos θ, sin θ), donc chaque ligne de ce tableau est un point : x est le cosinus, y le sinus, et tan θ est y divisé par x.
| Degrés | Radians | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | non définie |
| 120° | 2π/3 | −1/2 | √3/2 | −√3 |
| 135° | 3π/4 | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | −√3/2 | 1/2 | −√3/3 |
| 180° | π | −1 | 0 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −√3/2 | −1/2 | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | −√2/2 | −√2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −1/2 | −√3/2 | √3 |
| 270° | 3π/2 | 0 | −1 | non définie |
| 300° | 5π/3 | 1/2 | −√3/2 | −√3 |
| 315° | 7π/4 | √2/2 | −√2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | √3/2 | −1/2 | −√3/3 |
Les 16 angles sont les multiples de 30° et de 45° de 0° à 330°. Tout autre angle remarquable du cercle trigonométrique reprend ces valeurs avec les signes de son quadrant.
sec, csc et cot sur le cercle trigonométrique
Les trois autres fonctions sont les inverses des trois premières : sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ, cot θ = cos θ/sin θ. Peu utilisées au lycée en France, elles valent dans le premier quadrant :
| Angle | sec θ | csc θ | cot θ |
|---|---|---|---|
| 0° (0) | 1 | non définie | non définie |
| 30° (π/6) | 2√3/3 | 2 | √3 |
| 45° (π/4) | √2 | √2 | 1 |
| 60° (π/3) | 2 | 2√3/3 | √3/3 |
| 90° (π/2) | non définie | 1 | 0 |
Quadrants et signes sur le cercle trigonométrique
Le quadrant fixe le signe de cos θ et sin θ, l’angle de référence fixe leur valeur absolue.
| Quadrant | Angles | cos θ (x) | sin θ (y) | tan θ | Fonctions positives |
|---|---|---|---|---|---|
| I | 0° à 90° (0 à π/2) | + | + | + | Toutes positives |
| II | 90° à 180° (π/2 à π) | − | + | − | Sinus positif |
| III | 180° à 270° (π à 3π/2) | − | − | + | Tangente positive |
| IV | 270° à 360° (3π/2 à 2π) | + | − | − | Cosinus positif |
Les angles situés sur un axe n’appartiennent à aucun quadrant. À 0°, 90°, 180° et 270°, une coordonnée vaut 0 et l’autre 1 ou −1.
La tangente sur le cercle trigonométrique
La tangente est la seule valeur que les coordonnées ne montrent pas directement. Sur le cercle trigonométrique tan θ = sin θ / cos θ = y / x, et elle se lit sur un dessin à part : prolongez le rayon jusqu’à la droite verticale x = 1, l’axe des tangentes qui touche le cercle en (1, 0). L’ordonnée du point de rencontre est tan θ.
- tan θ est positive dans les quadrants I et III, où x et y ont le même signe, et négative dans II et IV.
- À 90° et 270° le point est (0, ±1), donc x = 0 et tan θ n’est pas définie : le rayon est parallèle à la droite x = 1 et ne la coupe jamais.
- Les valeurs √3/3, 1 et √3 à 30°, 45° et 60° se retrouvent dans chaque quadrant avec le signe du quadrant. Activez tan dans le cercle ci-dessus pour les afficher sur le cercle trigonométrique.
Le cercle trigonométrique en radians
Le radian mesure un angle par la longueur de l’arc qu’il intercepte sur le cercle trigonométrique : un tour complet est un arc de 2π, donc 360° = 2π et 180° = π. Pour convertir, multipliez les degrés par π/180 (150° × π/180 = 5π/6) et les radians par 180/π. Les 16 mesures en radians du cercle se rangent en quatre familles selon leur dénominateur :
| Famille | Angle de référence | Mesures en radians | Degrés |
|---|---|---|---|
| Dénominateur 6 | 30° | π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 | 30°, 150°, 210°, 330° |
| Dénominateur 4 | 45° | π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4 | 45°, 135°, 225°, 315° |
| Dénominateur 3 | 60° | π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3 | 60°, 120°, 240°, 300° |
| Sur les axes | 0° ou 90° | 0, π/2, π, 3π/2 | 0°, 90°, 180°, 270° |
Lisez d’abord le dénominateur : il donne l’angle de référence et donc les valeurs, le numérateur indique le quadrant.
Cercle trigonométrique vierge à compléter
Un cercle trigonométrique vierge est la façon classique d’apprendre les valeurs : les points et les rayons sont tracés, les étiquettes sont à remplir. L’onglet Cercle vierge ci-dessus imprime trois versions courantes, chacune avec son corrigé en page deux.
- Degrés donnés : complétez les radians et les coordonnées, comme dans un contrôle de première.
- Entièrement vierge : toutes les cases de degrés, radians et coordonnées vides, pour vérifier ce que vous savez par cœur.
- Avec tangente : une case de plus sous chaque couple de coordonnées pour les tangentes.
Quiz et calculatrice du cercle trigonométrique
Deux façons de vous tester une fois le cercle trigonométrique bien en tête.
Quiz du cercle trigonométrique
Des séries de dix questions dans cinq modes : placer un point sur un cercle sans étiquettes, convertir des degrés en radians et inversement, donner les coordonnées d’un angle, ou donner son sinus, son cosinus ou sa tangente. En cas d’erreur, la bonne réponse s’affiche sur le cercle.
Calculatrice du cercle trigonométrique
Saisissez n’importe quel angle en degrés ou en radians, y compris négatif ou supérieur à 360° : −45°, 7π/3, 2.5 rad. Elle renvoie le quadrant, l’angle de référence, deux autres mesures du même angle et les six fonctions trigonométriques, en valeurs exactes dès que l’angle est un multiple de 15°.
Comment retenir le cercle trigonométrique
Personne n’apprend le cercle trigonométrique comme 48 nombres isolés. Apprenez le premier quadrant, la symétrie et les signes feront le reste.
- 1
Retenir la suite 1-2-3
Pour 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, sin θ vaut √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, soit 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. cos θ, c’est la même liste lue à l’envers.
- 2
Utiliser l’astuce de la main
Levez la main gauche, paume vers vous, et attribuez aux doigts les angles 0°, 30°, 45°, 60°, 90° de l’auriculaire au pouce. Pliez le doigt de votre angle : sin θ = √(doigts côté auriculaire)/2 et cos θ = √(doigts côté pouce)/2. Pour 30°, pliez l’annulaire : un doigt côté auriculaire donne sin 30° = 1/2, trois côté pouce donnent cos 30° = √3/2.
- 3
Utiliser les angles associés
Tout angle des quadrants II à IV a les mêmes valeurs absolues que son angle de référence, l’angle aigu qu’il fait avec l’axe des abscisses : 150° (π − π/6), 210° (π + π/6) et 330° (−π/6) reprennent tous les valeurs de 30°.
- 4
Fixer les signes quadrant par quadrant
Les trois fonctions sont positives dans le quadrant I, seul le sinus l’est dans II, seule la tangente dans III, seul le cosinus dans IV. Retenez l’ordre Toutes, Sinus, Tangente, Cosinus.
À quoi sert le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique étend le sinus et le cosinus des angles aigus du triangle rectangle à tous les angles, positifs, négatifs ou supérieurs à 360°.
Valeurs de n’importe quel angle
Les angles associés et les signes du quadrant donnent sin, cos et tan de 150°, −45° ou 480° à partir des valeurs du premier quadrant.
Courbes du sinus et du cosinus
Suivre l’ordonnée pendant que θ fait le tour trace la sinusoïde, et l’abscisse la courbe du cosinus, toutes deux périodiques de période 2π.
Résoudre des équations trigonométriques
sin θ = 1/2 a deux solutions par tour, 30° et 150°, les deux points du cercle situés à la hauteur 1/2.
Rotations et ondes en physique
Le mouvement circulaire, le courant alternatif et les vecteurs de Fresnel décrivent tous un point qui tourne sur un cercle, avec le cos et le sin de la phase pour x et y.
Questions fréquentes sur le cercle trigonométrique
Qu’est-ce que le cercle trigonométrique ?+
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l’origine (0, 0), parcouru dans le sens direct. Un angle θ mesuré depuis l’axe des abscisses positif le coupe au point (cos θ, sin θ), c’est pourquoi le cercle trigonométrique donne le cosinus et le sinus comme coordonnées.
Pourquoi le cercle trigonométrique a-t-il un rayon de 1 ?+
Dans un triangle rectangle, sin θ = côté opposé/hypoténuse et cos θ = côté adjacent/hypoténuse. Avec une hypoténuse égale à 1, les fractions disparaissent : le côté adjacent vaut cos θ et le côté opposé sin θ, qui deviennent l’abscisse et l’ordonnée du point.
Comment lire le cercle trigonométrique ?+
Repérez l’angle de référence (l’angle aigu avec l’axe des abscisses), prenez ses valeurs dans le premier quadrant, puis donnez-leur les signes du quadrant. 210° a pour angle de référence 30° et se trouve dans le quadrant III, son point est donc (−√3/2, −1/2). La calculatrice à côté du cercle trigonométrique sur cette page le fait pour n’importe quel angle.
Comment trouver la tangente sur le cercle trigonométrique ?+
Divisez l’ordonnée par l’abscisse : tan θ = sin θ / cos θ. À 135° le point est (−√2/2, √2/2), donc tan 135° = −1. Là où x = 0, à 90° et 270°, tan θ n’est pas définie. Activez tan dans le cercle trigonométrique ci-dessus pour afficher les 16 valeurs.
Quelles sont les valeurs remarquables du cercle trigonométrique ?+
Les 16 angles 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315° et 330° ; en radians 0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5π/6, π, 7π/6, 5π/4, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 7π/4 et 11π/6. Leurs cosinus, sinus et tangentes figurent dans le tableau ci-dessus.
Comment convertir des degrés en radians ?+
Multipliez par π/180 et simplifiez : 225° × π/180 = 5π/4. Dans l’autre sens, multipliez les radians par 180/π : 7π/6 × 180/π = 210°. Chaque mesure en radians du cercle trigonométrique ci-dessus est l’un de ces produits, simplifié.
Comment placer un angle négatif sur le cercle trigonométrique ?+
Un angle négatif se mesure dans le sens des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des abscisses positif. −45° arrive au même endroit que 315°, les deux partagent donc le point (√2/2, −√2/2). De façon générale, cos(−θ) = cos θ et sin(−θ) = −sin θ.
Comment tracer un cercle trigonométrique ?+
Tracez les axes des abscisses et des ordonnées et un cercle de rayon 1 centré à leur intersection. Marquez 0°, 90°, 180° et 270° là où le cercle coupe les axes, puis 30°, 45° et 60° dans le premier quadrant, et reportez ces trois angles par symétrie dans les autres quadrants. Annotez chaque point avec son angle et ses coordonnées (cos θ, sin θ), ou téléchargez le cercle trigonométrique terminé ci-dessus en PNG ou en SVG.
Sources
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions — Precalculus 2e, OpenStax
- §4.14 Definitions and Periodicity (trigonometric functions) — NIST Digital Library of Mathematical Functions
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